3.2一元一次方程及其解法（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

该初中数学单元复习讲义以思维导图为核心构建一元一次方程及其解法的知识体系，系统梳理方程概念、等式性质、解法步骤及注意事项，通过知识框架图呈现概念内涵与解法流程的内在联系，突出“定义-性质-解法-应用”的逻辑递进关系。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，涵盖判断方程类型、等式性质应用、已知解求参数（如“方程解为2025求新方程解”）及解方程等题型，通过具体实例强化运算能力与推理意识。针对基础薄弱学生设置“30分提至70分”专项训练，帮助学生掌握去分母、移项等关键步骤，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

3.2一元一次方程及其解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元一次方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根。 二、等式的基本性质 1. 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果，那么，。 2. 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果，那么，（）。 三、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，括号前是“+”号，去括号后各项不变号；括号前是“-”号，去括号后各项都变号。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）。 4. 合并同类项：把方程化成（(a)，(b)是常数，）的形式，即将同类项的系数相加。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。 四、解一元一次方程的注意事项 1. 去分母时，分子是多项式的要加括号。 2. 去括号时，要正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项。 3. 移项时，必须改变移动的项的符号，未移动的项不变号。 4. 合并同类项时，只是系数相加，字母及其指数不变。 5. 系数化为1时，要注意符号，且除数不能为0。 型 习 练 题 判断是否是一元一次方程 1．下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．3 B． C． D．0 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 等式的性质 6．根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 8．下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 10．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 已知一元一次方程的解，求参数 11．某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 12．若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 13．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 14．关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 15．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 解一元一次方程 16．解方程： 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．解方程： (1)； (2)． 20．解下列方程： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2一元一次方程及其解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元一次方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根。 二、等式的基本性质 1. 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果，那么，。 2. 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果，那么，（）。 三、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，括号前是“+”号，去括号后各项不变号；括号前是“-”号，去括号后各项都变号。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）。 4. 合并同类项：把方程化成（(a)，(b)是常数，）的形式，即将同类项的系数相加。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。 四、解一元一次方程的注意事项 1. 去分母时，分子是多项式的要加括号。 2. 去括号时，要正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项。 3. 移项时，必须改变移动的项的符号，未移动的项不变号。 4. 合并同类项时，只是系数相加，字母及其指数不变。 5. 系数化为1时，要注意符号，且除数不能为0。 型 习 练 题 判断是否是一元一次方程 1．下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 2．已知是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数 x 的指数必须为 1． 【详解】解：∵ 方程 是关于 x 的一元一次方程， ∴ x 的指数， ∴． 故选： A． 3．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 4．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个， 故选：B． 5．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的定义，只有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，据此即可求解． 【详解】解：A、的未知数的最高次数是2，因而不是一元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项正确； C、含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误． D、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 等式的性质 6．根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则或，错误应用等式性质1，不合题意； B. 若，则，正确，符合题意； C. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意； D. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意． 故选：B 7．根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的加减乘除（除数不为零）运算，等式仍然成立．选项B中，不一定成立，因为时，a和b可能不为零． 【详解】解：∵， ∴对于A：，两边同减c，正确； 对于B：，当时，，错误； 对于C：，两边同除以3，正确； 对于D：， ∵， ∴， ∴，正确． 故选：B． 8．下列结论错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，解题的关键点在于严格依据等式的基本性质进行判断， 等式两边同时乘（或除以）同一个不为的整式，等式仍然成立；等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；根据性质逐项判断即可． 【详解】选项A、若，则（等式性质：两边同减同一数，等式仍成立），选项A结论正确，不符合题意； 选项B、若，则，（等式性质：两边同乘同一个非零数，等式仍成立），选项B结论正确，不符合题意； 选项C、若，，则（等式性质：两边同除同一非零数，等式仍成立），选项C结论正确，不符合题意； 选项D、若，时，则不一定成立，选项D结论错误，符合题意． 9．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 10．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致；选项B变形错误；选项C中a可能为0；选项D两边同乘，正确． 【详解】解：A：若，则或，但不成立； B：若，两边同乘6，得，而非； C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立， D：若，则两边同乘，得，成立． 故选D． 已知一元一次方程的解，求参数 11．某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 12．若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程求得，再整体代入方程，据此计算即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴方程为， ∵， ∴， 故选：B． 13．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值． 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴． ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）． 15的约数为． 令，则． 代入值求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）． ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9． 其和为． 故选：D． 14．关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 15．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 解一元一次方程 16．解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，通过去分母将方程化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同时乘以的最小公倍数），得：， ， 解得：． 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）方程按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）方程按去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ， ∴． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1等解方程的基本步骤是解决问题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后将未知数系数化为1，得到方程的解； （2）先通过去分母消去方程中的分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，求解方程． 【详解】（1）解：去括号，得     移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）， ， ， ， ， 解得． 20．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可． 【详解】（1）去括号，得， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 学科网（北京）股份有限公司 $