3.1方程与列方程（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学六年级上册

3.1方程与列方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。这意味着一个式子要成为方程，必须同时满足两个条件：一是含有未知数（如x、y等字母表示的数），二是必须是等式（即式子中有等号“=”）。 2. 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。只有当等式中含有未知数时，这个等式才是方程。例如，3+2=5是等式，但不是方程；而2x+3=7既是等式也是方程。 二、方程的解 1. 方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，对于方程x+5=9，当x=4时，左边=4+5=9，右边=9，所以x=4就是这个方程的解。 三、列方程解决问题的步骤 1. 审题，理解题意：仔细阅读题目，明确题目中所描述的事件和数量关系，找出已知条件和要求的问题。 2. 设未知数：根据题目要求，选择一个合适的未知数，通常用字母x（或其他字母）表示，并在设未知数时注明单位（如果需要）。一般设所求的量为未知数，有时也会设与所求量相关的其他量为未知数以便于列方程。 3. 找出等量关系：这是列方程的关键步骤。分析题目中数量之间的相等关系，通常可以通过题目中的关键词语（如“一共”“比……多”“比……少”“是……的几倍”“相差”等）或基本的数量公式来确定等量关系。 4. 根据等量关系列方程：把题目中的已知数和所设的未知数代入找出的等量关系中，列出含有未知数的等式，即方程。 5. 解方程：运用等式的性质或加减乘除各部分之间的关系求出方程的解。 6. 检验并写出答语：把求出的未知数的值代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。如果相等，说明解是正确的；如果不相等，需要重新检查解方程的过程或等量关系的确定是否有误。检验无误后，写出完整的答语，回答题目所提出的问题。 型 习 练 题 判断是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 3．已知下列各式：①；②；③；④；⑤，其中是方程的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 5．下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 列方程 6．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 7．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 8．根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 10．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 判断是否是方程的解 11．下列方程中，解为的是（） A． B． C． D． 12．下列方程的解是的方程是（） A． B． C． D． 13．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 14．若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 已知方程的解求参数 16．整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 17．如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 18．已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 19．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（   ） A． B．2 C． D．16 20．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1方程与列方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、方程的概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。这意味着一个式子要成为方程，必须同时满足两个条件：一是含有未知数（如x、y等字母表示的数），二是必须是等式（即式子中有等号“=”）。 2. 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。只有当等式中含有未知数时，这个等式才是方程。例如，3+2=5是等式，但不是方程；而2x+3=7既是等式也是方程。 二、方程的解 1. 方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，对于方程x+5=9，当x=4时，左边=4+5=9，右边=9，所以x=4就是这个方程的解。 三、列方程解决问题的步骤 1. 审题，理解题意：仔细阅读题目，明确题目中所描述的事件和数量关系，找出已知条件和要求的问题。 2. 设未知数：根据题目要求，选择一个合适的未知数，通常用字母x（或其他字母）表示，并在设未知数时注明单位（如果需要）。一般设所求的量为未知数，有时也会设与所求量相关的其他量为未知数以便于列方程。 3. 找出等量关系：这是列方程的关键步骤。分析题目中数量之间的相等关系，通常可以通过题目中的关键词语（如“一共”“比……多”“比……少”“是……的几倍”“相差”等）或基本的数量公式来确定等量关系。 4. 根据等量关系列方程：把题目中的已知数和所设的未知数代入找出的等量关系中，列出含有未知数的等式，即方程。 5. 解方程：运用等式的性质或加减乘除各部分之间的关系求出方程的解。 6. 检验并写出答语：把求出的未知数的值代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。如果相等，说明解是正确的；如果不相等，需要重新检查解方程的过程或等量关系的确定是否有误。检验无误后，写出完整的答语，回答题目所提出的问题。 型 习 练 题 判断是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． ，无等号，不是方程； B． ，含不等号，不是方程； C． ，有等号且含未知数，是方程； D． ，无未知数，不是方程． 故选：C． 2．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 3．已知下列各式：①；②；③；④；⑤，其中是方程的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，熟悉掌握方程的定义是解题的关键．根据方程的定义（含有未知数的等式），逐一判断各式子是否符合条件． 【详解】①：是等式且含有未知数x，属于方程． ②：是等式且含有未知数x和y，属于方程． ③：是等式，但无未知数，仅为算术式，不是方程． ④：不是等式，仅为代数式，不是方程． ⑤：是等式且含有未知数x，属于方程． 综上，①、②、⑤是方程，共3个，故选． 4．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】A、 含未知数a，但不是等式，不符合题意； B、 含未知数n，但无等号，不符合题意； C、是等式且含未知数x，满足方程定义，符合题意； D、 是等式，但无未知数，不符合题意 故选：C． 5．下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义， 根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件． 【详解】解：因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以A不符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以B不符合题意； 因为，虽然含有未知数，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以D不符合题意． 故选：C． 列方程 6．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 7．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 8．根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，能够正确理解运算顺序，注意代数式的正确书写． 关键描述语是：的倍减去等于 【详解】解：根据：的倍减去等于得方程． 故选：C． 9．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 10．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据实际售价-进价=利润，用代数式表示出售价，进价，利润即可解题． 【详解】解：设每件商品的进价为元，依题意得： ， 故选：C． 判断是否是方程的解 11．下列方程中，解为的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 将代入每个方程，验证等式是否成立． 【详解】解：∵对于选项A：当时，左边，右边，，故不符合题意； 对于选项B：当时，左边，右边，，故不符合题意； 对于选项C：当时，左边，右边，，故符合题意； 对于选项D：当时，左边，右边，，故不符合题意； 故选C． 12．下列方程的解是的方程是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入每个方程，验证左右两边是否相等，从而判断是否为方程的解，据此逐项判断即可． 【详解】解：将代入各方程： A．左边，右边，即左边右边，故成立，符合题意； B．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意； C．左边 ，右边 ， 左边 ≠ 右边，不成立，不符合题意； D．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意． 故选A． 13．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值及方程的解，先整理得，根据表格数据，得出当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是 故选：D． 14．若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 【详解】解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 15．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 已知方程的解求参数 16．整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 17．如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于a和b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 故选：C． 18．已知是关于的方程的解，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了方程解的定义，已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程．将代入方程中，直接求解的值． 【详解】是方程的解， ， 即， ． 因此，的值为， 故选：A． 19．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（   ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是本题求解的关键． 将代入方程，即解出被污染的常数． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入方程， 即， ∴． 故选：B． 20．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $