1.4有理数的乘方（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从定义（求n个相同因数积的运算）切入，衔接有理数乘法基础，逐步展开符号法则（正数、负数、0的乘方规律）、10的乘方特点（1后n个0）、运算步骤（定符号-算绝对值-得结果）及注意事项（乘方与乘法区别、括号使用），构建层层递进的学习支架，助力基础薄弱学生系统掌握。 资料突出分层提升与素养导向，练习题融入《庄子》“一尺之捶”、结绳计数等传统文化及细胞分裂等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量规律。通过符号判断与步骤化运算培养运算能力和推理意识，课中便于教师实施分层教学，课后学生可借助概念辨析与应用练习巩固知识，有效弥补薄弱环节。

1.4有理数的乘方 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如，(2×2×2)可以写作，读作“2的3次方”或“2的3次幂”，其结果为8。 二、乘方的符号法则 1. 正数的任何次幂都是正数。例如，，等。 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如，（指数3是奇数，结果为负），（指数2是偶数，结果为正）。 3. 0的任何正整数次幂都是0。例如，，等。 三、10的乘方的特点 10的n次幂等于1后面有n个0。例如，（1后面1个0），（1后面2个0），（1后面3个0）等。 四、有理数乘方的运算步骤 1. 确定幂的符号：根据乘方的符号法则判断结果的正负性。 2. 计算绝对值的乘方：将底数的绝对值进行乘方运算，得到结果的绝对值。 3. 结合符号和绝对值得到最终结果。例如，计算，先确定符号，指数3是奇数，结果为负；再计算，所以。 五、注意事项 1. 乘方与乘法的区别：乘方是特殊的乘法运算（因数相同的乘法），表示n个相同因数的积，而乘法是一般的求几个因数积的运算。 2. 底数是负数或分数时，必须加上括号。例如，表示的相反数，即(-(2×2×2×2)=-16)；而表示4个(-2)相乘，即((-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16)。同样，表示3个相乘，而表示的倒数。 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知：，则（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 4．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 5．表示的意义是（    ） A．2个相乘 B．2个5相乘的相反数 C．5个2相乘的相反数 D．与5相乘 有理数的乘方运算 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 8．下面各式计算结果相同的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 10．若，则的值是（    ） A．-12 B．12 C．36 D． 乘方的应用 11．《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺（“尺”是我国传统长度单位）之捶，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 12．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．54 B．194 C．970 D．1234 13．《庄子》中有这样一句话：“二尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是二尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长度为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 14．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 15．一个细胞每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过5小时，细胞由1个可分裂成（      ） A．512个 B．513个 C．1024个 D．1025个 有理数乘方逆运算 16．若，则 ． 17．已知a、b互为倒数，化简： ． 18．如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 19．，则 ； 20．已知，那么 ； 的立方等于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4有理数的乘方 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如，(2×2×2)可以写作，读作“2的3次方”或“2的3次幂”，其结果为8。 二、乘方的符号法则 1. 正数的任何次幂都是正数。例如，，等。 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如，（指数3是奇数，结果为负），（指数2是偶数，结果为正）。 3. 0的任何正整数次幂都是0。例如，，等。 三、10的乘方的特点 10的n次幂等于1后面有n个0。例如，（1后面1个0），（1后面2个0），（1后面3个0）等。 四、有理数乘方的运算步骤 1. 确定幂的符号：根据乘方的符号法则判断结果的正负性。 2. 计算绝对值的乘方：将底数的绝对值进行乘方运算，得到结果的绝对值。 3. 结合符号和绝对值得到最终结果。例如，计算，先确定符号，指数3是奇数，结果为负；再计算，所以。 五、注意事项 1. 乘方与乘法的区别：乘方是特殊的乘法运算（因数相同的乘法），表示n个相同因数的积，而乘法是一般的求几个因数积的运算。 2. 底数是负数或分数时，必须加上括号。例如，表示的相反数，即(-(2×2×2×2)=-16)；而表示4个(-2)相乘，即((-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16)。同样，表示3个相乘，而表示的倒数。 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘方运算，理解乘方的意义是解题的关键；根据分子是幂运算（x个6相乘），分母是乘法运算（y个7相加），直接计算即可． 【详解】∵ 分子是x个6相乘， ∴ 分子； ∵ 分母是y个7相加， ∴ 分母； ∴ 原式； 故选：D． 2．已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数指数幂的概念，根据有理数指数幂的概念，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 3．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查幂运算中底数和指数的概念，以及绝对值的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，底数是，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、在中，指数是8，故该选项符合题意； D、若，则或，故该选项不符合题意； 故选：C 4．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的概念． 根据乘方的定义，逐个选项判断正误． 【详解】解：A.的底数是2，原说法错误； B.表示3个2相乘，原说法错误； C.表示三个相乘，表示三个2相乘的相反数，意义不同，原说法错误； D.的指数是3，原说法正确； 故选：D． 5．表示的意义是（    ） A．2个相乘 B．2个5相乘的相反数 C．5个2相乘的相反数 D．与5相乘 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：C． 有理数的乘方运算 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，乘方，绝对值的性质．根据有理数的减法运算，乘方，绝对值的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选∶D 7．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法的意义（多个相同数相加用乘法表示）与乘方的意义（多个相同数相乘用乘方表示），熟练掌握乘法和乘方的概念是解题的关键． 先明确“个3相加”的运算形式，再明确“个4相乘”的运算形式，最后将两者合并． 【详解】解：∵ 个3相加为，个4相乘为， ∴ 原式． 故选：A． 8．下面各式计算结果相同的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．通过计算每个选项的两个表达式的值，判断是否相等即可． 【详解】解：A． 与结果不相同，故选项不符合题意； B． 与结果相同，故选项符合题意； C． 与结果不相同，故选项不符合题意； D． 与结果不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数、绝对值和平方的性质．据此相关性质内容进行逐一判断各选项的正误，即可作答． 【详解】解：A、0是有理数，但0没有倒数，则任何一个有理数都有倒数是错误的，故该选项不符合题意； B、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，则有理数的相反数一定是负数是错误的，故该选项不符合题意； C、互为相反数的两个数绝对值相等是正确的，故该选项符合题意； D、0的平方是0，0不是正数，则一个有理数的平方一定是正数是错误的，故该选项不符合题意； 故选：C 10．若，则的值是（    ） A．-12 B．12 C．36 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，乘方运算等知识．根据绝对值的非负性，两个绝对值之和为零，则每个绝对值均为零，从而求出，再计算乘方即可求解． 【详解】解：∵ 且，且， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 乘方的应用 11．《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺（“尺”是我国传统长度单位）之捶，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，因此第6次截取后剩下的长度是初始长度乘以． 【详解】解：因为初始长度为1尺， 第1次截取后剩余长度为尺， 第2次截取后剩余长度为尺， 第3次截取后剩余长度为尺， …… 所以第次截取后剩余长度为尺， 所以当时，剩余长度为 尺． 故选：B． 12．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．54 B．194 C．970 D．1234 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确理解题意． 根据题意“满五进一”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表5，第三根绳子一个结代表，第四根绳子一个结代表，再进行计算即可． 【详解】解：． 即他一共捕到的鱼的数量为194． 故选B． 13．《庄子》中有这样一句话：“二尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是二尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长度为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【分析】根据题意，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，因此第6次截取后剩下的长度是初始长度乘以， 本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 【详解】解：∵初始长度为2尺，每日截取一半， ∴第n次截取后剩下的长度为尺， 当时，尺， ∴第6次截取后剩下的木棒长度为尺， 故选：A． 14．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方计算，3小时可以分裂6次，每一次分裂得到的结果都是前一次分裂的结果的2倍，那么分裂n次可以得到个，据此求解即可． 【详解】解：因为分钟小时，所以分裂次数为（次），， ∴经过3小时，细胞由1个可分裂成个， 故选：B． 15．一个细胞每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过5小时，细胞由1个可分裂成（      ） A．512个 B．513个 C．1024个 D．1025个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的除法，乘方计算，5小时可以分裂10次，每一次分裂得到的结果都是前一次分裂的结果的2倍，那么分裂n次可以得到个，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴经过5小时，细胞由1个可分裂成1024个， 故选：C． 有理数乘方逆运算 16．若，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 17．已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 18．如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 19．，则 ； 【答案】3 【分析】本题考查乘方，利用求解即可． 【详解】，， ∴， ． 故答案为：3． 20．已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 学科网（北京）股份有限公司 $