5.2.2排列数公式（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦排列数公式的推导与应用，通过知识回顾排列、排列数定义及前期分步计算，以“从n个球取m个放m个盒子”为模型，用问题链和表格引导分步推导，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，用“球盒模型”抽象排列过程（数学眼光），通过分步乘法原理推导公式（数学思维），典例含信号旗分类计数等实际问题。课堂小结梳理公式、方法与思想，巩固训练分层设计，助力学生发展逻辑推理与应用能力，教师可高效备课。

5.2.2 排列数公式 第五章 计数原理 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解排列与排列数的定义，明确二者的核心区别，能准确判断实际问题是否为排列问题. 掌握排列数公式的推导逻辑，熟记公式的结构特征，并能熟练运用公式进行计算. 学会解决排列实际问题的基本步骤，能运用排列数公式解决有关的实际问题，提升逻辑推理与应用能力. 知识回顾 问题1：什么是排列？ 排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作. 问题2：什么是排列数？ 问题3：上节课如何计算这些排列数呢？ =3×2×1=6 ． =4×3=12 ． =4×3×2=24． =n×(n-1) ． =n×(n-1)×(n-2). 分步 新知探究 问题3：如何计算排列数呢？ 追问1：确定要完成的一件事是什么？ 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列， 的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球. 盒子 1 2 3 …… m 方法数 追问2：怎样完成这件事？分类 还是 分步？ 分步 第1步，从n个球中任选一个放入第1个盒子； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选1个放入第2个盒子； 第3步，从剩下的(n-2)个球中任选1个填在第3个盒子； 即可看成从n个不同 n n-1 n-2 新知探究 问题3：如何计算排列数呢？ 盒子 1 2 3 …… m 方法数 追问2：怎样完成这件事？分类 还是 分步？ 分步 第1步，从n个球中任选一个放入第1个盒子； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选1个放入第2个盒子； 第3步，从剩下的(n-2)个球中任选1个填在第3个盒子； 根据分步乘法计数原理， 不同的方法数为n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]． 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个球中任选1个填在第m个盒子； n n-1 n-2 …… n-(m-1) 故=n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]． 新知探究 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)•…•[n-(m-1)]种，所以 概念辨析1：这个公式有几因数，这些因数有着怎样的变化规律？ 有m个因数； 各因数从n开始依次减小1. 上述这个公式叫作排列数公式. =n(n-1)(n-2)•…•[n-(m-1)]． 概念辨析2：你能直接运用公式计算下列排列数吗？ =4×3=12 ． =5×4×3=60 ． =n(n-1)(n-2)•…•2•1． =1． 新知探究 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)•…•[n-(m-1)]种，所以 上述这个公式叫作排列数公式. =n(n-1)(n-2)•…•[n-(m-1)]． 我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时m=n，即有 叫做n的阶乘，记作n!，即=n! ． =n(n-1)(n-2)•…•2•1． 规定：0! =1． 典例分析 解 例1 计算下列排列数： (1)； (2)； (3)； (4). (1) =15×14×13 =27320． (2) =50×49×48 =117600． (3) =5！ =5×4×3×2×1 =120． (4) =6！ =6×5×4×3×2×1 =720． 思考1：你能发现与的关系吗？ =6!=6×5×4×3×2×1 =6×5! 故=6， 即6!=6×5! 思考2：你能类比得到与的关系吗？ =n·， 即n!=n×(n-1)! 典例分析 分析 例2 利用1，2，3，4这4个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 这是排列问题吗？ 本题是从1,2,3,4这4个数字中，任意选出3个数字排成一排，有多少种排法的排列问题. 解 因为=4×3×2=24, 所以利用1,2,3,4这4个数字，可以组成24个没有重复数字的三位数. 典例分析 分析 例3 现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？ 这是排列问题吗？ 旗杆上可以挂1面旗子，也可以挂2面、3面旗子，因此，需要分类计数． 解 根据分析，可知需要分3类进行： 第1类，旗杆上挂1面旗子，可以组成种信号； 旗子顺序不同表示的信号也不同，因此，对每一类来说是一个排列问题． 第2类，旗杆上挂2面旗子，可以组成种信号； 第3类，旗杆上挂3面旗子，可以组成种信号． 因此，根据分类加法计数原理，一共可以组成 ++=3+3×2+3×2×1=15 种信号. 巩固训练 1.9个人站成一排照相，其中甲必须站在左侧第一个位置，共有多少种排法? 2.计算： (1); (2); (3)-2; (4). 3.计算阶乘数，并填入表中： n 1 2 3 4 5 6 7 8 n! 巩固训练 1.9个人站成一排照相，其中甲必须站在左侧第一个位置，共有多少种排法? 解 9个人站成一排照相， 也就是把9个人安排在如图的格子中， 是有顺序的， 属排列问题， 但左侧第一个位置已经被甲占据了， 甲 所以只要看剩余的8个人和8个位置就可以了， 即8个人的全排列， =8!=8×7×6×…×2×1=40320. 故共有40320种排法. 巩固训练 2.计算： (1); (2); (3)-2; (4). 解 (1) =13×12×11×10 =17160． (2) =9×8×7×6×5×4×3×2×1 =362880． (3)-2 =8×7×6×5-2×8×7 =1568． (4) = =151200． 巩固训练 3.计算阶乘数，并填入表中： n 1 2 3 4 5 6 7 8 n! 解 1!=1, 2!=2×1=2, 3!=3×2×1=6, 4!=4×3×2×1=24, 5!=5×4×3×2×1=120, 6!=6×5×4×3×2×1=720, 7!=7×6×5×4×3×2×1=5040, 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320, 1 2 6 24 120 720 5040 40320 基本知识： (1) 排列数公式： (2) 全排列(m=n)： 基本方法： 判断有序否 → 建模(多类情况还是多步完成)→ 课堂小结 基本思想： (1) 类比思想； (2) 化归思想. 代公式计算. =n(n-1)(n-2)•…•[n-(m-1)]． =n(n-1)(n-2)•…•2•1． (3) 规定： 0!=1． 基础作业： 课本习题5-2A组第1，2，3题． 拓展练习： 课本习题5-2B组第1，2题． 布置作业 感谢聆听! $