5.2.2排列数公式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦排列数公式及有限制条件的排列问题，通过复习排列概念，以“m个空位填空”探究活动，从分步乘法计数原理推导公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“问题探究-公式推导-典例应用”为主线，结合志愿者分配、节目单排列等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维分类讨论（如甲不站两端的两种解法）、用数学语言表达公式与建模。帮助学生提升逻辑推理能力，教师可直接使用系统例题与方法总结提升教学效率。

§2 排 列 问 题 第五章 第五章：计 数 原 理 2.2 排列数公式 学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解。（重点） 2.理解排列数公式及简单应用。（重点） 3.掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公 式解决简单的实际问题。（难点） 复习导入 一、排列的概念 二、排列数与排列问题 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 下标n是总的对象的个数 上标m是取出的对象的个数 =n（n-1） =n(n-1)(n-2) =？ 探究：假定有排好顺序的m个空位，从n 个不同元素 中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就对应一个排列，共有多少种排列呢? · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-1 n-2 n-(m-1) 利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式: 2025年11月21日11时55分 （其中n，m∈N+，并且m ≤ n．） 探索新知 分步 一、排列数公式 连续乘m项 其中n，m∈N+，并且m ≤ n，这个公式叫作排列数公式． 从n开始 逐项减1 探索新知 1.有m个连续正整数的积； 2.各因数从n开始依次减小1； 3.即最后一个因数是下标ｎ减去上标ｍ再加上１. 公式特点： 例1：计算下列排列数： (1) (2) (3) n(n－1)(n－2) ··· 3 2 1 典例讲解 （4） （5） ； （6）解方程 . 解：由，得解得 ， 由原式可得，解得或 或 . 又因为，所以 . 典例讲解 （6）解方程 . 当m＝n时，即从n个不同元素中取出n个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时 我们将右端简记为n!，叫作n的阶乘，表示正整数1到n的连乘积． 即 n! = n(n－1)(n－2) ··· 3 2 1． 特别地，规定=1， 0! = 1． (n，m∈N+且m≤n) 二、全排列与阶乘 探索新知 8 求下列阶乘： 1！ 2！ 3！ 4！ 5！ 6！ .... （熟记） 探索新知 典例讲解 1. 可以表示为( ). B A.B. C. D. 2.（多选题）下列等式正确的是( ). ACD A. B. C. D. 3.不等式 A.B. C.{3,4} D.{4} C 4.解方程 . 解：由，得 ， 化简得，解得， . 又因为，且，所以原方程的解是 . 典例讲解 三、排列问题综合 例1：在冬奥会招募志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B， C三个项目的志愿者活动，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者. （1）若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，且甲、乙都参 加项目，则有几种方法？ （2）若甲、乙都不参加，则有多少种方法？ （3）若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，则共有多少 种不同的志愿者分配方案？ 解：（1） 若甲、乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参加A项 目，B项目有3种方法 （2） 若甲、乙都不参加，则有种方法 解： 若甲、乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参加A项目， 剩下三人选一人参加B项目有3种方法； 若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目， 剩下三人选两人参加A，B项目有 种方法； 若乙参加，甲不参加，则乙只能参加A项目， 剩下三人选两人参加 B，C项目有 种方法； 若甲、乙都不参加，则有 种方法. 根据分类加法计数原理，共有种不同的志 愿者分配方案 典例讲解 （3）若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，则共有多少 种不同的志愿者分配方案？ 先分类后分步 典例讲解 排队、排节目问题的解题策略 （1）合理归类：将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、 特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的 方法解题. （2）恰当结合：排列问题的解决离不开两个计数原理的应用， 解题过程中要恰当结合两个计数原理. （3）正难则反：这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可 起到事半功倍的效果. 例2 有7名学生，其中3名男生、4名女生，在下列不同的条件下，求不同的排法种数. （1）选5人排成一排； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边； （4）全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边； （5）男生顺序已定，女生顺序不定； （6）站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的 中间位置； （7）7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； （8）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻. 典例讲解 解： （1）从7人中选5人排列，不同的排法种数为 （2）先排女生，有 种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生， 有种排法，故不同的排法种数为 . （3）（法一）先排甲，有5种排法，其余6人有 种排法，故不同的排法种数为 . （法二）左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有 种排法，故不同的排法种数为 . （4）（法一）分两类：第一类，甲在最右边，有 种排法；第二类，甲不在最右边， 甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选1个，有 种排法，而乙可排在除去最右边 的位置及甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种排法，其余人全排列，有 种排法. 故不同的排法种数为 . 典例讲解 典例讲解 （法二）7名学生全排列，有种排法，其中当甲在最左边时，有 种排法，当乙在 最右边时，有 种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边 的情形，有种排法，故不同的排法种数为 . （5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有 种，由于男生顺序已 定，女生顺序不定，故不同的排法种数为 . （6）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的 排法种数为 . （7）先排出甲、乙、丙3人外的4人，有 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙 排好，有 种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间 及两端的5个空位中，有种排法，故不同的排法种数为 . （8）将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、乙两人 可交换位置，故不同的排法种数为 . 典例讲解 方法总结 （1）排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件 主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置上不排某些元素，解决该类排列问题 的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置. （2）在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体， 与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”， 即“相邻元素捆绑法”. （3）某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档， 这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”. 典例讲解 巩固训练 某班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个 魔术节目，要求排出一个节目单. （1）2个相声节目要排在一起，有多少种不同的排法？ （2）相声节目不排在第一个节目，有多少种不同的排法？ （3）2个相声节目不相邻且中间恰好有1个其他节目，有多少种不 同的排法？ 典例讲解 解：（1）将2个相声节目捆绑在一起，有种排法，再与其余4个 节目一起排,有种排法， 则共有 种不同的排法. （2）若相声节目排在第一个节目，则有 种不同的排法， 故相声节目不排在第一个节目有 种不同的排法. (3)第一步:2个相声节目中间夹着1个其他节目,有 种情况. 第二步：将第一步中的3个节目作为一个整体与剩余的3个节目全排， 有 种情况.共有种不同的排法 典例讲解 例3 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 （1）六位数奇数？ （2）个位数字不是5的六位数？ （3）不大于4 310的四位偶数？ 解:（1）（法一）从特殊位置入手（直接法）： 第一步，排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有种排法； 第二步，排十万位，有 种排法；第三步，排其他位，有种排法. 故可以组成无重复数字的六位数奇数共有 （个）. （法二）从特殊元素入手（直接法）不在两端，有 种排法； 从1，3，5中任选一个排在个位上，有种排法；其他数字全排列 有 种排法.故可以组成无重复数字的六位数奇数共有 （个）. 典例讲解 （2）（法一：排除法）6个数字的全排列有个,0在十万位上的排 列有 个,5在个位上的排列有个,0在十万位上且5在个位上的排列 有 个.故符合题意的六位数共有 （个）. （法二：直接法）个位上不排5，有 种排法.但十万位上数字的排 法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当 个位上排0时，有 种排法；第二类，当个位上不排0时，有 种排法.故符合题意的六位数共有个. （3）（法一：直接法）①当千位上排1，3时，有 种排法； ②当千位上排2时，有种排法；③当千位上排4时，形如， 的各有种排法，形如 典例讲解 的有种排法，形如 的只有4 310和4 302这2个数.故共有 个符合条件的四位偶数. （法二：排除法）在四位偶数中：在个位的有个； 在十位 或百位的有个；③不含0的有个.故四位偶数有 （个）.其中形如的有个， 形如的有个，形如的有 个，形如的有1个， 形如 而大于4 310的只有4 312这1个数，故大于4 310的四位偶 数共有 （个）.因此符合题意的四位 偶数共有 （个）. 典例讲解 【变式设问1】 若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的无重复 数字的五位数？ 解: 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有 个；若个位 上是5，不含0，则有个，含0，但0不作首位，则0的位置有种 排法，其余各位有 种排法.故共有 个能被5整除的五位数 典例讲解 【变式设问2】 若用0，1，3，5，7这五个数字，则可以组成多少 个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？ 解: 本题可分两类：第一类，0在十位位置上，这时，因为5不在十 位位置上，所以五位数的个数为 ；第二类，0不在十位位置 上，这时，因为5不能排在十位位置上，所以十位位置上只能排1或 3或7，有 （种），又0不能排在万位位置上，所以万位位置 上只能排5或1，3，7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一， 有（种），十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排 列即可，有 （种）.根据分步乘法计数原理，第二类中所求五 位数的个数为 .由分类加 法计数原理知，符合条件的五位数共有 （个）. 典例讲解 方法总结 排数字问题常见的解题方法 （1）两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充. 如“0”不排“首位”. （2）分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分 类加法计数原理进行，要注意分类标准必须恰当，分类过程要做到 不重不漏. （3）排除法：全排列数减去不符合条件的排列数. （4）位置分析法：按位置逐步讨论，把数字的每个数位排好. 典例讲解 巩固训练 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数. （1）这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的数有多少个？ （2）这些四位数中大于6 500的有多少个？ [解析] （1）偶数的个位数只能是2，4，6，有种排法，其他位上有 种排法. 由分步乘法计数原理知，这些四位数中偶数共有 （个）. 能被5整除的数个位必须是5，故有 （个）. （2）当最高位上是7时，大于6 500的有 个； 当最高位上是6时，百位上只能是7或5，有 个. 故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6 500的共有（个） $