专题04 指数函数与对数函数17考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题04 指数函数与对数函数 17大高频考点概览 考点 01 指数的运算 考点 02 指数函数的定义域值域 考点 03 指数函数的图象 考点 04 指数函数的性质 考点 05 对数的运算 考点 06 对数的实际应用 考点 07 对数函数的定义域和值域 考点 08 对数函数的图象 考点 09 对数函数的性质 考点 10 指对幂比较大小 考点 11 零点概念的理解 考点 12 判断零点所在的区间 考点 13 根据函数零点的分布求参数范围 考点 14 求函数零点或方程根的个数 考点 15 根据函数零点的个数求参数范围 考点 16 求零点之和或比较零点大小 考点 17 函数模型及其应用 地 城 考点01 指数的运算 1．（2024秋•广东校级期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•中山市期末）将化成分数指数幂的形式是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•龙华区期末）求值：　　． 4．（多选）（2024秋•汕尾期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•高州市期末）若，则　　 A．1 B． C． D． 地 城 考点02 指数函数的定义域值域 6．（2023秋•盐田区校级期末）集合，集合，则　　 A． B．， C．， D． 7．（2024秋•清远期末）函数的值域是　　 A． B． C． D． 地 城 考点03 指数函数的图象 8．（2024秋•肇庆期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•深圳期末）已知函数且的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 　　． 故答案为：12． 10．（2023秋•南山区校级期末）指数函数的图象如图所示，其中，，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•汕尾期末）已知，，则函数的图象必定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2022秋•番禺区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 13．（2020秋•罗湖区期末）已知，若（a）（b），则的取值范围是　　 A． B． C． D． 地 城 考点04 指数函数的性质 14．（2024秋•汕尾期末）已知，函数在，上的最大值不超过4，则的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 15．（2021秋•惠阳区校级期末）已知函数是偶函数，则　　，则的最大值为 　　． 16．（2023秋•化州市期末）已知函数． （1）若函数的图象过点，求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 17．（2022秋•深圳期末）已知且，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•荔湾区校级期末）已知函数． （1）若图象过点，求的值； （2）若函数在区间，上的最大值比最小值大，求的值． 地 城 考点05 对数的运算 19．（2024秋•高州市期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•广州期末）已知，，则　　． 21．（2025春•潮阳区校级期末）计算：　　 A．22 B．23 C．24 D．25 22．（2024秋•深圳校级期末）计算： 　　． 23．（2024秋•梅州期末）计算： （1）； （2）． 地 城 考点06 对数的实际应用 24．（2024秋•广东期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则　　 A． B． C． D． 25．（2024秋•阳江期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵．研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数．若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的　　 A．3倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍 26．（2024秋•龙岗区校级期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则　　（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 故选：． 27．（2024秋•广州期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过　　小时才能驾驶？ （参考数据：， A．7 B．8 C．9 D．10 地 城 考点07 对数函数的定义域和值域 28．（2025春•广州期末）已知集合，，0，1，，，则　　 A． B． C． D．， 29．（2025春•乌兰察布校级期中）　　． 30．（2024秋•光明区校级期末）函数的定义域为　　 A．， B． C．， D．， 31．（2023秋•龙华区期末）函数的定义域是　　 A．， B． C．， D．， 32．（2023秋•湛江期末）函数的定义域为 　　． 33．（2022秋•南山区校级期末）已知函数． （1）求方程的根； （2）求在，上的值域． 34．（2021春•阳江期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 35．（2022秋•光明区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 36．（2023秋•越秀区期末）已知函数且． （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的，，都有，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间，上的值域是，？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由． 地 城 考点08 对数函数的图象 37．（2024秋•电白区期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是　　 A．① B．② C．③ D．④ 38．（2023秋•化州市期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 39．（2024秋•金平区期末）已知，则与的图象可能为　　 A． B． C． D． 40．（2024秋•湛江期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为　　 A．9 B．8 C． D． 故选：． 41．（2024秋•广东校级期末）函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则（4）　　． 42．（2023秋•南山区期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中，为常数，则不等式的解集为 　　． 43．（2025春•南山区校级期末）已知函数，，，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 44．（2024秋•黄埔区校级期末）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 45．（2023秋•茂名期末）函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是 　　． 地 城 考点09 对数函数的性质 46．（2024秋•阳江期末）已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为　　 A． B． C．， D．， 47．（2020秋•龙湖区校级期末）已知定义域为的偶函数在，上是增函数，且，则不等式的解集是 　　 A． B． C． D． 48．（多选）（2024秋•花都区期末）已知函数，则　　 A．函数的单调递增区间是， B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 49．（2023秋•潮阳区期末）已知函数，则　　 A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 50．（2023秋•金平区期末）已知函数． （Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值； （Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围； （Ⅲ）若函数在区间，上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 51．（2022秋•增城区期末）已知函数． （1）若函数的图像过点，求的值： （2）若函数在区间，上的最大值与最小值的差为2，求的值． 地 城 考点10 指对幂比较大小 52．（2023秋•赤坎区校级期末）若，，，则　　 A． B． C． D． 53．（2024秋•深圳校级期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 54．（2024秋•潮州期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 55．（2024秋•江城区校级期末）已知，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 56．（2024秋•鹤山市校级期末），，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 57．（2024秋•深圳校级期末）设，则 A． B． C． D． 58．（2023秋•盐田区校级期末）设，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 59．（2024秋•广州期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 60．（2024秋•越秀区校级期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点11 零点概念的理解 61．（2023秋•广东期末）函数的零点为　　 A．0 B． C．2 D． 62．（2021秋•霞山区校级期末）函数的图象如图所示，则函数的零点为　　 A．1 B．2 C． D． 地 城 考点12 判断零点所在的区间 63．（2024秋•阳江期末）下列区间中，一定包含函数的零点的是　　 A． B． C． D． 64．（2024秋•湛江期末）函数的一个零点所在区间为　　 A． B． C． D． 65．（2024秋•罗湖区期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 66．（2024秋•广东校级期末）函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 67．（2024秋•广东期末）函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 68．（2024秋•广州期末）函数的零点所在的一个区间是　　 A． B． C． D． 地 城 考点13 根据函数零点的分布求参数范围 69．（2023春•香洲区校级期末）函数的零点为，且，，，则的值为　　 A．1 B．2 C．0 D．3 70．（2024秋•榕城区校级期末）若函数在上恰有一个零点，则　　 A． B． C．或 D．或 71．（2021秋•肇庆期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围 　　． 72．（2025春•东莞市期末）函数的零点在区间内，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 73．（2023秋•深圳期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是　　 A． B．，， C．， D．，， 地 城 考点14 求函数零点或方程根的个数 74．（2024春•揭阳期末）函数的零点个数为　　 A．3 B．0 C．1 D．2 75．（2024秋•肇庆期末）函数的零点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 76．（2023秋•龙华区期末）函数在定义域内的零点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 故选：． 77．（2023秋•信宜市期末）函数零点的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 78．（2024秋•揭阳期末）方程在，的解的个数为　　 A．10 B．9 C．8 D．4 79．（2022秋•花都区校级期末）在下列区间中，方程的解所在的区间是　　 A． B． C． D． 80．（2024秋•越秀区校级期末）已知函数，则方程的根个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 81．（2024秋•潮州期末）方程的根的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 82．（2023秋•宝安区校级期末）函数的零点个数是 　　． 83．（2024秋•宝安区期末）已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 地 城 考点15 根据函数零点的个数求参数范围 84．（2024秋•金平区期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围 　　． 85．（2025春•深圳期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　　 ． 86．（2025春•揭阳期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是 　　 ． 87．（2024秋•江门期末）已知函数，若方程有3个实数解，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 88．（2024秋•深圳校级期末）设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是 　　． 89．（2024秋•清远期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．，， D．， 90．（2023秋•化州市期末）偶函数满足，且当，时，，则　　，则若在区间，内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 　　． 地 城 考点16 求零点之和或比较零点大小 91．（2025春•揭阳期末）已知函数的零点分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 92．（2024秋•广州期末）已知三个函数，，的零点依次为，，，则　　 A． B． C． D． 93．（2024秋•黄埔区校级期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 94．（2022秋•龙川县校级期末）已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 95．（2024秋•广东校级期末）函数在区间上所有零点之和为　　 A． B． C． D． 地 城 考点17 函数模型及其应用 96．（2024秋•深圳校级期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入为元．已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）． （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 97．（2024秋•江门期末）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品．已知该企业日加工处理厨余垃圾吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本元与日加工处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元． （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本 （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？ 98．（2021秋•化州市校级期末）某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当，时，曲线是二次函数图象的一部分，当，时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由． 99．（2024秋•广州期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②且；③且． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 100．（2022秋•荔湾区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润销售额成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 17大高频考点概览 考点 01 指数的运算 考点 02 指数函数的定义域值域 考点 03 指数函数的图象 考点 04 指数函数的性质 考点 05 对数的运算 考点 06 对数的实际应用 考点 07 对数函数的定义域和值域 考点 08 对数函数的图象 考点 09 对数函数的性质 考点 10 指对幂比较大小 考点 11 零点概念的理解 考点 12 判断零点所在的区间 考点 13 根据函数零点的分布求参数范围 考点 14 求函数零点或方程根的个数 考点 15 根据函数零点的个数求参数范围 考点 16 求零点之和或比较零点大小 考点 17 函数模型及其应用 地 城 考点01 指数的运算 1．（2024秋•广东校级期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 2．（2023秋•中山市期末）将化成分数指数幂的形式是　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 3．（2022秋•龙华区期末）求值：　　． 【解答】解：． 故答案为：． 4．（多选）（2024秋•汕尾期末）下列各式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，，错误； ，错误； ，正确； ，正确． 故选：． 5．（2023秋•高州市期末）若，则　　 A．1 B． C． D． 【解答】解：原式． 故选：． 地 城 考点02 指数函数的定义域值域 6．（2023秋•盐田区校级期末）集合，集合，则　　 A． B．， C．， D． 【解答】解：由题意，， 所以，． 故选：． 7．（2024秋•清远期末）函数的值域是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为函数在上是减函数，且， 所以当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 故函数的值域为． 故选：． 地 城 考点03 指数函数的图象 8．（2024秋•肇庆期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为　　 A． B． C． D． 【解答】解：令可得，（2），即函数的图象恒过定点． 故选：． 9．（2024秋•深圳期末）已知函数且的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为 　　． 【解答】解：令，得，对应， 所以函数的图像过定点， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为12． 故答案为：12． 10．（2023秋•南山区校级期末）指数函数的图象如图所示，其中，，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图知指数函数是减函数，则， 又点，在图象的下方， 故， 解得， 由可知抛物线的对称轴为：直线， 故得二次函数的顶点的横坐标的取值范围是． 故选：． 11．（2022秋•汕尾期末）已知，，则函数的图象必定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：，， 的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过， 的图象可看成把的图象向下平移个单位得到的， 故函数的图象 经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限， 故选：． 12．（2022秋•番禺区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数的图象与轴有公共点， 即有交点， 由于， 故：， 解得：， 故选：． 13．（2020秋•罗湖区期末）已知，若（a）（b），则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数．若（a）（b）， 不妨设； ①当时，由（a）（b），可得， 即，不成立 ②当时，由（a）（b），可得， 即，不成立 ③当时，由（a）（b），可得， 那么． ．（当且仅当取等号） （等号不成立）， ． 故选：． 地 城 考点04 指数函数的性质 14．（2024秋•汕尾期末）已知，函数在，上的最大值不超过4，则的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【解答】解：首先分析， 因为， 故（2），（4）， 故，． （1）当时，，故满足题意． （2）当时： ①； ②； ③无解； 综上：． 故选：． 15．（2021秋•惠阳区校级期末）已知函数是偶函数，则　　，则的最大值为 　　． 【解答】解：根据题意，函数是偶函数，其定义域为， 则有，即，变形可得，必有， 则， 又由，当且仅当时，等号成立，即的最小值为2， 故函数的最大值为， 故答案为：；． 16．（2023秋•化州市期末）已知函数． （1）若函数的图象过点，求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 【解答】解：（1）函数的图象过点，则，，且，则， （2）由可得， 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，解得，即不等式的解集为． 17．（2022秋•深圳期末）已知且，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：且，且， 在上是增函数， 故选：． 18．（2022秋•荔湾区校级期末）已知函数． （1）若图象过点，求的值； （2）若函数在区间，上的最大值比最小值大，求的值． 【解答】解：（1）函数，图象过点， ， 解得； （2）当时，在区间，上单调递减， 此时（2），（3）， ，解得或（舍， 当时，在区间，上单调递增， 此时（2），（3）， ，解得或（舍， 综上，的值为或． 地 城 考点05 对数的运算 19．（2024秋•高州市期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：． 20．（2024秋•广州期末）已知，，则　　． 【解答】解：由题意可得，，， ， 令，可得， 即， 解得或（舍去）， 即， 即， 解得． 故答案为：64． 21．（2025春•潮阳区校级期末）计算：　　 A．22 B．23 C．24 D．25 【解答】解：原式． 故选：． 22．（2024秋•深圳校级期末）计算： 　　． 【解答】解： ． 故答案为：1． 23．（2024秋•梅州期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ． （2） ． 地 城 考点06 对数的实际应用 24．（2024秋•广东期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3， 由已知，， 两式相除可得，，即， ． 故选：． 25．（2024秋•阳江期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵．研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数．若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的　　 A．3倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍 【解答】解：设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则，取得． 若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的9倍． 故选：． 26．（2024秋•龙岗区校级期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则　　（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：设该生物原来的数量为， 由题意知，， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：． 27．（2024秋•广州期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过　　小时才能驾驶？ （参考数据：， A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少， 设经过个小时才能驾驶，则，即， 因为，， 则， 所以他至少经过9小时才能驾驶． 故选：． 地 城 考点07 对数函数的定义域和值域 28．（2025春•广州期末）已知集合，，0，1，，，则　　 A． B． C． D．， 【解答】解：由题意可知，， 又因为集合，，0，1，， 所以． 故选：． 29．（2025春•乌兰察布校级期中）　　． 【解答】解：由题意可得 解不等式可得 故答案为： 30．（2024秋•光明区校级期末）函数的定义域为　　 A．， B． C．， D．， 【解答】解：， 则，解得， 故函数的定义域为，． 故选：． 31．（2023秋•龙华区期末）函数的定义域是　　 A．， B． C．， D．， 【解答】解：解得，定义域是，． 故选：． 32．（2023秋•湛江期末）函数的定义域为 　　． 【解答】解：依题意，， 则，故所求定义域为． 故答案为：． 33．（2022秋•南山区校级期末）已知函数． （1）求方程的根； （2）求在，上的值域． 【解答】解：（1）方程， 则， 故，，解得，即； （2）令，当，时，，， 故， 由于在，上单调递增， 故，，由复合函数单调性可知， 在，上单调递增， 故． 34．（2021春•阳江期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：函数的值域为， 方程的判别式 △， ， 或， 实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 35．（2022秋•光明区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：由函数，令， 令，可得， 要使得函数的值域为， 则，的值域能取遍一切正实数， 当时，则满足△，解得； 当时，可得，符合题意； 当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 36．（2023秋•越秀区期末）已知函数且． （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的，，都有，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间，上的值域是，？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）， 的定义域为． 由， 化简得，解得，又， 所求不等式的解集为． （2）对于任意的，，都有，等价于， ， 设， 则在，上是增函数，下面按照的单调性分类讨论： 当时，在，上递减，则，解得， 当时，在，上递增，则，解得与矛盾，故舍去． 综上，实数的取值范围为，； （3）， 在，上递减， ，即，即关于方程在，上有两个不等的实根，设， 则，即． 综上，不存在这样的，满足条件． 地 城 考点08 对数函数的图象 37．（2024秋•电白区期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：由对数函数的性质可知，中两个底数，图象单调递增， 故③，④满足题意， 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应， 由于函数，则它与关于轴对称， 又因为④对应，且①与④关于轴对称， 故图象①为函数， 所以②不属于函数的一个． 故选：． 38．（2023秋•化州市期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 【解答】解：令，解得或，所以函数的定义域为或， 因为， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故，错误； 当时，，是减函数， 当时，，是增函数，故正确，错误． 故选：． 39．（2024秋•金平区期末）已知，则与的图象可能为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，若，即，则有， 则， 当时，、都是增函数， 当时，、都是减函数， 即、的单调性相同，排除、、． 故选：． 40．（2024秋•湛江期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为　　 A．9 B．8 C． D． 【解答】解：因为且的图象恒过定点， 则，， 若且，， 则， 当且仅当且，即，时取最小值为8． 故选：． 41．（2024秋•广东校级期末）函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则（4）　　． 【解答】解：由题意，， 则， 故点； 设幂函数， 则， 则； 故（4）； 故答案为：64． 42．（2023秋•南山区期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中，为常数，则不等式的解集为 　　． 【解答】解：由函数的图象恒过定点，可得且， 即，， 所以不等式等价于，解得， 即不等式的解集为，． 故答案为：，． 43．（2025春•南山区校级期末）已知函数，，，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，根据对数函数的图象与性质， 可知当底数大于1时，在轴上方，底数越大，函数图象越靠近轴， 作出，，的大致图象，如图所示， 可知直线与，，的图象交点的横坐标，，的大小关系是：． 故选：． 44．（2024秋•黄埔区校级期末）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 【解答】解：因为， 所以，且（a）（b），即，整理得． 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 45．（2023秋•茂名期末）函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是 　　． 【解答】解：要使函数的图象经过一、三、四象限，则，解得． 即的范围为． 故答案为：． 地 城 考点09 对数函数的性质 46．（2024秋•阳江期末）已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为　　 A． B． C．， D．， 【解答】解：由函数是幂函数，且在上单调递增， 得，解得：． 函数， 由，解得或， 而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数， 则函数的单调递增区间为． 故选：． 47．（2020秋•龙湖区校级期末）已知定义域为的偶函数在，上是增函数，且，则不等式的解集是 　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为是偶函数，所以 ． 又在上是增函数，所以在上是减函数． 所以， 即或， 解得或， 故选：． 48．（多选）（2024秋•花都区期末）已知函数，则　　 A．函数的单调递增区间是， B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【解答】解：已知函数， 对于，由可得或， 所以函数的定义域为，，， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故错； 对于，由知函数的定义域为，，， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故对； 对于，因为， 所以函数的图象关于对称，故对； 对于，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，，，故错． 故选：． 49．（2023秋•潮阳区期末）已知函数，则　　 A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【解答】解：函数， ， 即， 即的图象关于直线对称， 故选：． 50．（2023秋•金平区期末）已知函数． （Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值； （Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围； （Ⅲ）若函数在区间，上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数是上的奇函数，则，求得． 又此时是上的奇函数． 所以为所求． （Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则恒成立． 即恒成立，由于． 故只要即可 （Ⅲ）由已知函数是减函数，故在区间，上的最大值是， 最小值是． 由题设 故为所求． 51．（2022秋•增城区期末）已知函数． （1）若函数的图像过点，求的值： （2）若函数在区间，上的最大值与最小值的差为2，求的值． 【解答】解：（1）因为函数的图像过点， 所以，即； （2），函数在区间，上的最大值与最小值的差为2， 因为，故在，上是增函数， 所以（4）（2）， 解得． 地 城 考点10 指对幂比较大小 52．（2023秋•赤坎区校级期末）若，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 53．（2024秋•深圳校级期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，， 又， 则， 综上所述，． 故选：． 54．（2024秋•潮州期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， ， ． 故选：． 55．（2024秋•江城区校级期末）已知，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【解答】解：因为，，所以， 又因为，所以，得到，即，所以． 故选：． 56．（2024秋•鹤山市校级期末），，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 则， ，， 综上所述，． 故选：． 57．（2024秋•深圳校级期末）设，则 A． B． C． D． 【解答】解：在上单调递增， ，， 在上单调递减， ， ． 故选：． 58．（2023秋•盐田区校级期末）设，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， ， ， 所以． 故选：． 59．（2024秋•广州期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， ， 所以． 故选：． 60．（2024秋•越秀区校级期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， ， ，， ，， ， 故选：． 地 城 考点11 零点概念的理解 61．（2023秋•广东期末）函数的零点为　　 A．0 B． C．2 D． 【解答】解：令， 解得． 故选：． 62．（2021秋•霞山区校级期末）函数的图象如图所示，则函数的零点为　　 A．1 B．2 C． D． 【解答】解：函数图象与轴的交点为， 函数的零点为2， 故选：． 地 城 考点12 判断零点所在的区间 63．（2024秋•阳江期末）下列区间中，一定包含函数的零点的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为的定义域为，且连续， ，（1），（2），（3），（4）， 所以函数的零点所在区间为． 故选：． 64．（2024秋•湛江期末）函数的一个零点所在区间为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，，（1），（2），（3），（4）， 因为（1）（2）， 所以是函数的零点所在的一个区间． 故选：． 65．（2024秋•罗湖区期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数的定义域为，是连续增函数，，（1）， 可得（1），所以函数的零点在，内，因为，，． 故选：． 66．（2024秋•广东校级期末）函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数在上单调递增， 又（1），（2）， （3），（4）， （5），可得（2）（3）， 则函数的零点所在区间为． 故选：． 67．（2024秋•广东期末）函数的零点所在的区间为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数和函数在上单调递增， 则函数在上单调递增． 又，，则． 由函数零点存在定理知，函数的零点所在区间为． 故选：． 68．（2024秋•广州期末）函数的零点所在的一个区间是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，则，即， 所以（1），，（2）， 所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是． 故选：． 地 城 考点13 根据函数零点的分布求参数范围 69．（2023春•香洲区校级期末）函数的零点为，且，，，则的值为　　 A．1 B．2 C．0 D．3 【解答】解：因为，， 又因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为（1），（2）， 所以函数的零点， 由题意可得函数的零点，，， 所以． 故选：． 70．（2024秋•榕城区校级期末）若函数在上恰有一个零点，则　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：当时，，令，得，是区间上的零点． 当时，函数在区间上有零点分为两种情况： ①方程在区间上有重根， 令△，解得． 当时，令，得，是区间上的零点． ②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根， 令（3），解得． 故选：． 71．（2021秋•肇庆期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围 　　． 【解答】解：因为函数在区间上为增函数， 所以若函数在区间上有零点， 则（1），（7），所以，， 所以． 故答案为：． 72．（2025春•东莞市期末）函数的零点在区间内，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数是上的增函数， 又函数的零点在区间内， ，解得． 实数的取值范围为． 故选：． 73．（2023秋•深圳期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是　　 A． B．，， C．， D．，， 【解答】解：是上的增函数．因为在内有零点， 所以，解得． 故选：． 地 城 考点14 求函数零点或方程根的个数 74．（2024春•揭阳期末）函数的零点个数为　　 A．3 B．0 C．1 D．2 【解答】解：由得， 分别作出函数与，的图象如图： 由图象可知两个函数有2个交点，即函数的零点个数为2个， 故选：． 75．（2024秋•肇庆期末）函数的零点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：由题意可知： 要研究函数的零点个数， 只需研究函数，的图象交点个数即可． 画出函数，的图象 由图象可得有3个交点，如第一象限的，及第二象限的点． 故选：． 76．（2023秋•龙华区期末）函数在定义域内的零点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：因为函数分别是上的单调减函数和单调增函数， 则函数是上的单调递减函数， 而，， 由零点存在定理可得函数在上的零点个数是1． 故选：． 77．（2023秋•信宜市期末）函数零点的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：在上单调递减， （2），（3），则（2）（3）， 所以零点所在的区间是，所以该函数只有一个零点． 故选：． 78．（2024秋•揭阳期末）方程在，的解的个数为　　 A．10 B．9 C．8 D．4 【解答】解：由， 可得， 作出函数与在，上的图象，如图所示： 两函数在，上有8个交点， 所以方程在，上有8个解． 故选：． 79．（2022秋•花都区校级期末）在下列区间中，方程的解所在的区间是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，且，，且为增函数， 根据函数零点存在定理知，方程在区间内有唯一的解． 故选：． 80．（2024秋•越秀区校级期末）已知函数，则方程的根个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：令，即根的个数，设，所以，即，或，，解得或， 即或， 即，或，，解得； 或，或，，无符合题意的解． 综上所述：程的根个数为1个． 故选：． 81．（2024秋•潮州期末）方程的根的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：由， 可得， 原问题转化为求函数与的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数有5个交点， 所以原方程有5个解． 故选：． 82．（2023秋•宝安区校级期末）函数的零点个数是 　　． 【解答】解：由解得， 函数在上单调递增， （1），（2），所以在上有唯一零点， 综上所述，的零点个数是2个． 故答案为：2． 83．（2024秋•宝安区期末）已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：因为恒成立， 所以， 所以函数的周期为4， 又因为函数为上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数的图象关于对称， 又因为当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以， 作出函数的部分图象，如图所示： 令， 则有， 由图可知，函数与有5个交点， 所以函数有5个零点． 故选：． 地 城 考点15 根据函数零点的个数求参数范围 84．（2024秋•金平区期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围 　　． 【解答】解：因为函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，，且单调递减， 当时，，开口向上，对称轴为， 当，时，，的大致图象如下： 要使与的图象有3个交点， 则，， 解得或． 故答案为：． 85．（2025春•深圳期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　　 ． 【解答】解：因为， 所以， 所以当，，时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 要使函数有3个零点， 则， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 86．（2025春•揭阳期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是 　　 ． 【解答】解：函数只有一个零点， 则函数的图象和直线只有一个交点， 作出与的图象，如图所示： 由图象可知， 当时，函数的图象和直线只有一个交点， 即只有一个零点时． 故答案为：． 87．（2024秋•江门期末）已知函数，若方程有3个实数解，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【解答】解：作出函数的图形，如图所示： 方程有3个实数解， 即直线与的图象有3个不同交点， 所以． 故选：． 88．（2024秋•深圳校级期末）设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：函数， 作出的图象如下： 令，则方程化为： ，或， 又关于的函数恰好有五个零点， 方程和分别有2和3个根， 结合图象可知有两个根，，， ，． 故答案为：，． 89．（2024秋•清远期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．，， D．， 【解答】解：由， 可得， 解得或， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知有两个解， 要使原方程有5个解， 所以必有3个解， 由图象可得，． 故选：． 90．（2023秋•化州市期末）偶函数满足，且当，时，，则　　，则若在区间，内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：偶函数满足， ， 即函数是周期为2的周期函数， 则， 若，则， 则， 即，， 由得， 要使函数有4个零点 等价为函数与有四个不同的交点， 作出两个函数的图象如图： 过定点，（3）， 则满足（3）， 即，得， 即实数的取值范围是，， 故答案为：，， 地 城 考点16 求零点之和或比较零点大小 91．（2025春•揭阳期末）已知函数的零点分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：令，则有；，则有；，则有； 在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，及的图象，如图所示： 由图象可知．故正确． 故选：． 92．（2024秋•广州期末）已知三个函数，，的零点依次为，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数在上单调递增， 又， 故的零点； 令，解得，即； 由在上单调递增， 得，（1）， 因此的零点， 则． 故选：． 93．（2024秋•黄埔区校级期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：令，即， 令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：． 故选：． 94．（2022秋•龙川县校级期末）已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解答】解：作出的图象： 则方程有三个不相等的实数根，，，即为与图象的三个交点，且， 由得，则， 又，得，故， 所以，． 故选：． 95．（2024秋•广东校级期末）函数在区间上所有零点之和为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 作出和在区间上的图象，如图所示： 可知两个图象共有4个交点， 因此在区间上共有4个零点，由小到大记为，，，． 同时，， 可得， 故的图象关于直线 对称， 因此． 故所有零点之和为． 故选：． 地 城 考点17 函数模型及其应用 96．（2024秋•深圳校级期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入为元．已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）． （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意得，， 即，整理得． （2）当时，为对称轴开口向上的抛物线， 所以当时，（2）， 当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即， 综上，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 97．（2024秋•江门期末）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品．已知该企业日加工处理厨余垃圾吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本元与日加工处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元． （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本 （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？ 【解答】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为，，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低， 因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态； （2）若该企业采用补贴方案一，该企业每日获利为元， 则， 因为，，在，上单调递减， 所以当时，取得最大值3550， 即选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润3550元， 若该企业采用补贴方案二，该企业每日获利为元， 则， 因为，，在，上单调递增， 所以当时，取得最大值4000， 即选择方案二，当日加工处理量为120吨时，可以获得最大利润4000元， 因为， 所以选择补贴方案二． 98．（2021秋•化州市校级期末）某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当，时，曲线是二次函数图象的一部分，当，时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由． 【解答】解：（1）当，时， 设， 将代入，得，解得， 所以当，时，， 当，时，将代入，得，解得， 所以当，时，， 综上所述，． （2）当，时，令，得， 当，时，令，得， 所以在和，这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节． 99．（2024秋•广州期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②且；③且． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【解答】解：（1）某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加， 已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示： 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，，，解得，，， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人； （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人， 由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 100．（2022秋•荔湾区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润销售额成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【解答】解：（1）， 当时，， 当时，， 故； （2）由（1）得， 当时，， ， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 故， ， 故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $