专题04 抛物线及其应用（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了抛物线及其应用专题，按13个题型分类，涵盖定义理解、方程求解、几何性质、直线与抛物线位置关系等核心内容，构建了从基础概念到综合应用的知识体系。 清单采用题型化知识呈现方式，每个题型配解题方法总结与典型例题，如定义应用明确三要素及距离关系，中点弦问题强调点差法与判别式验证，培养学生数学思维与数学语言素养。设解题流程指导和易错点提示，如直线与抛物线位置关系分斜率讨论，帮助学生自主系统复习，教师可据此优化教学策略，提升备考效率。

专题04 抛物线及其应用 题型1 对抛物线定义的理解及应用 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 1．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 . 【答案】2 【解析】由题意知，将点代入抛物线，可得， 抛物线，可知抛物线的准线方程：， 结合抛物线的性质：抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即. 2．(25-26高三上·河南师范大学附属中学·月考)已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 ． 【答案】3 【解析】抛物线的标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设抛物线上一点， 则由抛物线的定义可得，解得， 所以点P的纵坐标为3． 3．(25-26高三上·广西名校高考模拟·模拟)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【解析】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴，， 所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与轴交点为，则， 故，所以.故选：D. 4．(25-26高三上·四川成都石室中学·月考)如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】对抛物线，焦点，准线：. 如图： 过向准线作垂线，垂足为，交轴于， 根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于， 根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以.故选：B 题型2 抛物线中距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 5．(25-26高三上·福建名校联考·开学考试)设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】由周长为，若垂直于抛物线准线于， 所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12.故选：C 6．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 . 【答案】3 【解析】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 7．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【解析】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小， 此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 8．(25-26高三上·浙江永嘉·模拟)已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【解析】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 题型3 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 9．(24-25高三下·河南新乡·月考)已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为.故选：D 10．(24-25高三下·福建泉州·适应性训练)已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为. 11．(23-24高三下·宁夏石嘴山平罗县平罗中学·模拟)在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 12．(23-24高三下·江苏南通·调研测试)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 题型4 由抛物线方程研究几何性质 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 13．(25-26高三上·北京第一六六中学、第五十中学·期中)已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【解析】由，则，所以其准线方程为. 14．(25-26高三上·北京·开学考)已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以， 则方程为，可得焦点为， 设抛物线上纵坐标为的点为，代入抛物线方程， 可得，解得，故， 由两点间距离公式得距离为. 15．(25-26高三上·青海多校·月考)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（    ） A．14 B． C． D．28 【答案】C 【解析】由题意可得，则可得，则， 又因为抛物线的通径长为，所以轴， 所以，故C正确.故选：C. 16．(25-26高三上·江苏南京·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】D 【解析】由，令，得，所以，所以， 所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以，故选：D. 题型5 求抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 17．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：， ∵抛物线的准线方程为， ∴，∴， ∴抛物线的标准方程为：. 18．(24-25高三下·山西部分重点中学·模拟)若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：A. 19．(24-25高三下·陕西咸阳·月考)已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设， 又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则， 又，准线为 则，则. 故抛物线方程为：.故选：D 20．(24-25高三上·广东汕头·期末)已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为.故选：B. 题型6 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 21．(25-26高三上·云南·联考)已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】抛物线，直线与交于两点（点在第一象限）， 联立，解得或；所以， 又抛物线的准线为， 则直线与的准线交于点， 则.故选：B. 22．(23-24高三下·福建漳州·月考)写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【答案】（写对一个方程即可） 【解析】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为； 当斜率不为0时，设的方程为， 联立消去，整理得：， 因为直线与抛物线有唯一公共点，所以， 解得或，所以为或， 即或. 综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为： 或或. 故答案为：（或或）. 23．(25-26高三上·广东深圳多校联考·)已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形， 由抛物线定义知，，因为， 则， 所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 则直线的斜率为. 24．(24-25高三下·福建福州第一中学·模拟)写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程 【答案】（或）（答案不唯一，写出其中一个即可） 【解析】依题意可知，切线方程一定存在， 不妨设直线的方程为， 易知圆的圆心为，半径为， 由直线和圆方程相切可得， 联立抛物线与直线方程可得， 因此，解得； 所以，解得，即或； 可得； 此时切线方程为或. 题型7 直线与抛物线相交弦长问题 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 25．(24-25高三下·北京通州·模拟考)已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（    ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，.故选：C. 26．(24-25高三下·山西临汾·考前模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确.故选：D 27．(25-26高三上·湖南部分学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【解析】依题意，，解得，则抛物线，焦点， 设点，直线的方程为， 由消去得，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为8.故选：D 28．(25-26高三上·重庆·开学考)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点， 设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 题型8 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 29．(24-25高三下·广东湛江·模拟)已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得，故选：D. 30．(24-25高三下·云南·月考)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】设，，则，故， 所以，代入l得， 则，故选：D． 31．(24-25高三上·贵州黔东南州·期末)已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以.故选：C 32．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【解析】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 题型9 抛物线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 33．(25-26高三上·云南昭通·月考)过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2） 证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 34．(25-26高三上·云南·月考)已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，得，， 则①，②， ②-①，得，即， 所以的标准方程为. （2）将点代入的方程，得，所以，即点. 设，，其中，，且. 因为，所以， 即， 整理，得，所以. 直线的方程为， 即， 所以当时，，所以直线恒过定点. 35．(24-25高三下·海南·模拟)已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）的准线方程为， 因为点在上，且，即，得， 所以的方程为． （2）由（1）知，设． 设的方程为，代入，得． 所以，则， 代入，得，所以． 因为，所以的方程为，同理可得． 当时，，直线． 当时，， 直线的方程为， 即， 整理得． 所以直线过定点． 36．(24-25高三下·江西六校·模拟)已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 题型10 抛物线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 37．(24-25高三·海南部分学校·模拟)直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为， 所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 38．(24-25高三下·辽宁沈阳·三模)已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，定值为 【解析】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 39．(24-25高三上·安徽马鞍山·月考)已知抛物线：（），任作一条直线：与抛物线相交于，两点，为弦的中点，过作垂直于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求的面积（用，，表示）； (3)记弦与抛物线围成的封闭的图形的面积为，已知为定值，求． 【答案】(1)，准线方程为；(2)；(3) 【解析】（1）由（）得：， 故焦点坐标为，准线方程为． （2）设，， 则， 联立与得：，， 则，， 所以， 于是 ． （3）记，分别为弦，的中点， 过，分别作垂直于轴的直线交抛物线于点，， 则， 由（2）， ， 因为， 所以， 即，得：． 40．(24-25高三下·浙江杭州·模拟)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 题型11 抛物线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 41．(25-26高三上·贵州毕节·开学考)已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）抛物线的准线为，焦点 由抛物线定义可得，解得， 故的方程为 （2）设，， 联立，故， 又则， 由， 解得：或（舍去）， （当且仅当时，等号成立）. 42．(25-26高三上·江苏连云港·月考)过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)3；(2). 【解析】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 43．(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)32 【解析】（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得， 故抛物线的方程为. （2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0. 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立方程组消去，整理得. 设点.，则. 因为为弦的中点， 所以. 由，得，故点. 同理可得. 故，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为32. 44．(24-25高三下·云南·模拟)已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则 由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）在点处的切线， 设直线的倾斜角分别为， 联立 则，得，则， 且，则，故， 设直线的倾斜角分别为，则， 又， 所以， 当且时等号成立， 即的最大值为. 题型12 抛物线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 45．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求的准线方程； (2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可知，则其到的距离为， 又，所以， 所以抛物线的准线方程为； （2）由（1）得抛物线的标准方程为 由题可知，直线斜率不为0，所以设直线, 设，联立得 ， 所以， ， 所以， 所以. 46．(24-25高三上·江苏南通·期中)设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H. (1)能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由； (2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：. 【答案】(1)能，或；(2)证明见解析. 【解析】（1）设，因，则. 又由题可得的焦点为，准线为. 则P在l上的射影H为.要使为正三角形， 则应满足HP中点M纵坐标为1，且. 即，即当或时， 能使为正三角形； （2）由题可得满足. 注意到， 则点处的切线斜率为：，则相应切线为：. 代入，可将切线方程化简为：. 令，可得.又， 则， 得， 又，则. 47．(25-26高三上·湖北·期中)已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点. (1)求抛物线的方程； (2)过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可知，抛物线：的准线为， 因为抛物线的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且， 不妨设，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明： 法一：设点、、，且满足. 由题意可知两条切线的斜率均存在， 设切线的方程为：， ，消y得：， 由可得：.① 两条切线的斜率为方程①的两个根，所以：. 抛物线即为：，两边对x求导数得：， 所以切线的斜率为，切线的斜率为. 所以：，即，所以轴. 法二：设点、、，且满足. 则直线的方程为：，与联立可得：. 所以，即，即，所以轴. 48．(24-25高三下·河北·考前模拟)抛物线的焦点为，其上有两点、，，与轴正半轴交于点. (1)求以为直径的的方程； (2)证明：取抛物线上的一点（的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、，使为的内切圆. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）如图： 设、，方程：，则， 故，，， 故，或4 将代入，得，故，， 则，或，（不符合题意） 故，而，故以为直径的圆的方程为. （2）设、、，.、分别与相切，如图： 则，方程：， 将代入化为： 到距离为2，可得， 整理得： 同理：由与相切得， 故、是方程的两根 ， 以下证与相切： 同理得：，方程：， 到距离为： 故与相切，原命题得证. 题型13 抛物线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 49．(24-25高三下·广东深圳·模拟)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，和 【解析】（1）由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. （2） 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 50．(24-25高三上·安徽·摸底)设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在 【解析】（1）物线的焦点为， 直线的方程， 由，得， 设， 所以， 所以， 所以，且 所以， 所以抛物线的方程为． （2）存在，使得为定值， 由题意可得直线的方程，直线的方程为， 联立，得， 设， 所以， ， 所以， 设， 同理可得， 所以， 由，得， 即，而， 所以， 所以存在，使得为定值0． 51．(24-25高三下·山西朔州·模拟)已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为． (1)求动点P的轨迹的方程； (2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在； 【解析】（1）以为圆心，面积为的圆的方程为， 令，得或， 因为点Q在y轴的负半轴上，所以， 易得抛物线的准线为， 设，则， 整理得的方程为． （2）存在． 依题意可知，设直线n的方程为，，， 联立， 整理得，， 故，， 于是． 因为A，M，B三点共线，所以， 又因为 ， 若，即， 解得，满足， 故存在直线n，其方程为． 52．(24-25高三上·河南周口·期中)已知点在抛物线上，直线交于另一点． (1)求的准线方程． (2)若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求圆的方程． (3)若为上的动点，于点，过点作与轴垂直的直线与直线交于点，问：是否存在直线和常数，使恒成立？若存在，求出直线的方程和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)圆：或圆：. (3)存在直线和常数，使恒成立，此时直线：，. 【解析】（1）将点代入得：. 所以抛物线的标准方程为：. 其准线方程为：. （2）若，则以为直径的圆经过坐标原点， 此时，. 所以圆：. 若不与原点重合，因为以为直径的圆恰好经过坐标原点，所以. 因为，所以. 由得. 此时：，. 所以圆：. 故圆：或圆：. （3）如图： 设直线：即，. 则直线的方程为：即. 由得：. 又. 所以，， 由. 若为常数，则， 此时直线的方程为：， . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 抛物线及其应用 题型1 对抛物线定义的理解及应用 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 1．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 . 2．(25-26高三上·河南师范大学附属中学·月考)已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 ． 3．(25-26高三上·广西名校高考模拟·模拟)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 4．(25-26高三上·四川成都石室中学·月考)如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（    ） A．4 B．3 C． D． 题型2 抛物线中距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 5．(25-26高三上·福建名校联考·开学考试)设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 6．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 . 7．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 8．(25-26高三上·浙江永嘉·模拟)已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 题型3 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 9．(24-25高三下·河南新乡·月考)已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高三下·福建泉州·适应性训练)已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 11．(23-24高三下·宁夏石嘴山平罗县平罗中学·模拟)在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 12．(23-24高三下·江苏南通·调研测试)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 题型4 由抛物线方程研究几何性质 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 13．(25-26高三上·北京第一六六中学、第五十中学·期中)已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ． 14．(25-26高三上·北京·开学考)已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 15．(25-26高三上·青海多校·月考)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（    ） A．14 B． C． D．28 16．(25-26高三上·江苏南京·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 题型5 求抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 17．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ． 18．(24-25高三下·山西部分重点中学·模拟)若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高三下·陕西咸阳·月考)已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高三上·广东汕头·期末)已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型6 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 21．(25-26高三上·云南·联考)已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（    ） A．4 B． C．2 D． 22．(23-24高三下·福建漳州·月考)写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 23．(25-26高三上·广东深圳多校联考·)已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 24．(24-25高三下·福建福州第一中学·模拟)写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程 题型7 直线与抛物线相交弦长问题 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 25．(24-25高三下·北京通州·模拟考)已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（    ） A．16 B．6 C． D．4 26．(24-25高三下·山西临汾·考前模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 27．(25-26高三上·湖南部分学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 28．(25-26高三上·重庆·开学考)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 题型8 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 29．(24-25高三下·广东湛江·模拟)已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高三下·云南·月考)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 31．(24-25高三上·贵州黔东南州·期末)已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 32．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 题型9 抛物线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 33．(25-26高三上·云南昭通·月考)过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 34．(25-26高三上·云南·月考)已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 35．(24-25高三下·海南·模拟)已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 36．(24-25高三下·江西六校·模拟)已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 题型10 抛物线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 37．(24-25高三·海南部分学校·模拟)直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 38．(24-25高三下·辽宁沈阳·三模)已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 39．(24-25高三上·安徽马鞍山·月考)已知抛物线：（），任作一条直线：与抛物线相交于，两点，为弦的中点，过作垂直于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求的面积（用，，表示）； (3)记弦与抛物线围成的封闭的图形的面积为，已知为定值，求． 40．(24-25高三下·浙江杭州·模拟)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 题型11 抛物线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 41．(25-26高三上·贵州毕节·开学考)已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 42．(25-26高三上·江苏连云港·月考)过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 43．(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 44．(24-25高三下·云南·模拟)已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 题型12 抛物线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 45．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求的准线方程； (2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 46．(24-25高三上·江苏南通·期中)设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H. (1)能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由； (2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：. 47．(25-26高三上·湖北·期中)已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点. (1)求抛物线的方程； (2)过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴. 48．(24-25高三下·河北·考前模拟)抛物线的焦点为，其上有两点、，，与轴正半轴交于点. (1)求以为直径的的方程； (2)证明：取抛物线上的一点（的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、，使为的内切圆. 题型13 抛物线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 49．(24-25高三下·广东深圳·模拟)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 50．(24-25高三上·安徽·摸底)设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 51．(24-25高三下·山西朔州·模拟)已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为． (1)求动点P的轨迹的方程； (2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由． 52．(24-25高三上·河南周口·期中)已知点在抛物线上，直线交于另一点． (1)求的准线方程． (2)若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求圆的方程． (3)若为上的动点，于点，过点作与轴垂直的直线与直线交于点，问：是否存在直线和常数，使恒成立？若存在，求出直线的方程和的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $