精品解析：黑龙江省大庆实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

大庆实验中学2024级高二上学期期中考试 数学学科试题 说明： 1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一､单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列的前n项和，则（        ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 50 2. 已知实数，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（ ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 5. 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. -3 C. D. 3 6. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 10. 已知数列前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 数列的最大项的值为 11. 已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（ ） A. 当时，直线方程 B. 直线过定点 C. 中点轨迹为抛物线 D. 的面积的最小值为 三､填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 13. 若直线与双曲线没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 14. 已知集合，，将所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________ 四､解答题（本题型共5题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为0的直线交于两点. （1）若是上一动点，求的周长和的离心率； （2）探究该结论是否成立，若成立，求出直线的方程；若不成立，说明理由. 18. 设是等差数列，是等比数列，且． （1）求与的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）求． 19. 已知抛物线标准方程为，过点作直线交抛物线于，两点，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段长度的最小值； （3）过点作直线，交抛物线于，两点且，过点作交直线于点，是否存在点使得是定值，如果存在请求出点的坐标并写出的长度，如果不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024级高二上学期期中考试 数学学科试题 说明： 1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一､单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列的前n项和，则（        ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 2. 已知实数，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【详解】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 3. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 4. 已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（ ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 5. 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. -3 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的周期性求值. 【详解】因，， 所以，，，. 数列的周期为4，因为，所以. 故选：A. 6. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 7. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据椭圆、双曲线定义可得，结合余弦定理可得，结合角平分线的性质可得，，再利用基本不等式运算求解即可. 【详解】设，， 由题意可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，即，可得， 由题意可知：为内心， 则，， 可得， 因为点在的内角分线上，则点到直线的距离相等， 且点在的外角分线上，则点到直线的距离相等， 可知点到直线的距离相等，则为的角平分线， 则，， 可得， 由可得， 则，即， 且，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 二､多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可知，数列首项，公差的等差数列，利用等差数列通项公式和前项和公式求得即可判断ABC选项，根据，利用裂项相消法可求. 【详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD 10. 已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 数列的最大项的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过中赋值n可判断A选项，由代入化简可得是以2为首项，1为公差的等差数列，求出，再求出，即可判断BC选项，令，通过解不等式组即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 因为为数列的前n项积，故， 所以， 故，又 故是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，易知不为等比数列，故B不正确； ，故C正确； 令， 解不等式组，得， 当时，， 当时，， 所以数列的最大项的值为，D正确， 故选：ACD. 11. 已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（ ） A. 当时，直线方程为 B. 直线过定点 C. 中点轨迹为抛物线 D. 的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用导数知识求出切线方程，可以得到直线表达式，判断A、B选项；联立直线与抛物线的方程组，求解出其中点坐标，解出中点轨迹判断C选项；运用弦长公式和点到直线距离公式求出三角形的底和高，得到三角形面积表达式，求出最值判断D选项. 【详解】解析：，，设， 则，即， 同理，都过点， 直线，即， 当时，.故A正确； ，，直线过定点，故B错误； 联立，消去得，，， ，中点坐标为，故其轨迹方程为，故C正确； ，， ， 当时，，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够熟练运用平面解析几何知识判断各个选项，熟练掌握直线方程与抛物线方程的联立求解两根之和与两根之积，熟练运用弦长公式和点到直线的距离公式求解，需要较强的综合能力和计算能力. 三､填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，结合弦长公式、三角形面积公式、二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知圆心，半径， 设，则圆心到l的距离为，即， 所以， 则 令，显然，即，当时取得最大值. 故答案为： 13. 若直线与双曲线没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由直线与双曲线没有公共点，分析出，再求e的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程：，且直线与双曲线没有公共点， ∴ 即 又， ∴. 故答案为： 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率． 14. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________ 【答案】19 【解析】 【分析】若，，根据等差、等比数列求和公式可得，结合，可得符合题意，再检验是否满足不等式即可. 【详解】因为，可知为偶数，为奇数， 设，，则，， 则 ， 因为，即，可得， 当时，则，，不合题意； 当时，则，符合题意， 若，则，，； 若，则，； 当时，则， 可得 ， 若，则，， 对于，即，整理可得， 因为在内单调递增， 则，不合题意； 若，则，可得，满足； 综上所述，使得成立的n的最小值为19. 故答案为：19. 四､解答题（本题型共5题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线：. （1）当何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）由弦长公式即可求解； 【小问1详解】 根据题意，圆， 则圆的标准方程为， 其圆心为，半径， 若直线与圆相切，则有 解得. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 即，解得 则有， 解得或， 则直线的方程为或. 16. 已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若数列满足，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质和前项和的概念，逐一求出数列的前三项； （2）根据等差数列的性质，求出数列的通项公式，进而根据数列通项和前项和为的关系，求出数列通项公式； （3）根据已知条件，求出构造数列的通项公式，进而根据裂项相消求和方法，求出新的数列前项和. 【小问1详解】 由题意可得，即， 所以， 解得. 【小问2详解】 由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则. 当时，； 当时，， 因为满足上式， 所以的通项公式为. 【小问3详解】 因为，且， 所以当时， . 当时，也符合上式， 所以， 所以 . 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为0的直线交于两点. （1）若是上一动点，求的周长和的离心率； （2）探究该结论是否成立，若成立，求出直线的方程；若不成立，说明理由. 【答案】（1）周长为6，离心率； （2）不成立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定方程求出，进而求出离心率，再结合椭圆定义得出的周长. （2）设并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. 【小问1详解】 椭圆的长短半轴长，半焦距， 所以椭圆的离心率，的周长为. 【小问2详解】 假定成立，则直线的方程为， 设，由，得， 则，则或， 且，设的中点为， 则，而， 由，得，则， 整理得，此方程无解， 所以结论不成立. 18. 设是等差数列，是等比数列，且． （1）求与的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式； （2）根据（1）中与的通项公式，结合等差、等比数列前项和公式计算得出数列的前n项和； （3）根据的特点运用分组求和法化简，根据化简结果构造数列的前项和，再利用错位相减法求出，从而求解． 【小问1详解】 设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则． 【小问3详解】 因为 ， 所以， ， 设， 所以①， 则②， ①减②得 ， 所以， 所以． 19. 已知抛物线的标准方程为，过点作直线交抛物线于，两点，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段长度的最小值； （3）过点作直线，交抛物线于，两点且，过点作交直线于点，是否存在点使得是定值，如果存在请求出点的坐标并写出的长度，如果不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点， 【解析】 【分析】（1）设直线，联立方程可得韦达定理，结合整理可得，即可得方程； （2）根据题意可得，利用两点间距离公式运算求解即可； （3）设直线，联立方程可得韦达定理，结合垂直关系分析可得，可知直线过定点，进而分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：直线的斜率不为0，且直线与抛物相交， 设直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则， 因为，且，解得， 即，且，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以线段长度的最小值为. 【小问3详解】 由题意可知：直线的斜率不为0，点与不重合， 设直线，，，且，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为，， 则， 可得，整理可得， 则，即， 此时，符合题意， 则直线，过定点， 又因为，则点在以为直径的圆上， 且线段的中点为，，则， 所以存在点使得是定值，点为线段的中点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $