17.1 用提公因式法分解因式 课件2025-2026学年人教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用提公因式法分解因式”，以跳水评分问题导入，衔接整式乘法逆向思维，通过复习回顾单项式乘多项式等旧知，搭建从整式乘法到因式分解的学习支架，帮助学生理解两者互逆关系。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如跳水评分抽象数量关系），用数学思维培养逆向推理（如“三看”定公因式、“三查”分解步骤），借数学语言解决实际问题（如简便计算、代数式求值）。通过探究活动、易错辨析及系统小结，助力学生夯实基础，教师可直接用于教学提升效率。

人教版（2024）版数学8年级上册 第17章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？ pa + pb + pc p(a + b + c) = 一个多项式 两个整式的乘积 17.1 用提公因式法分解因式 17.1 用提公因式法分解因式 从整式乘法到因式分解的逆向思维 —— 人教版八年级数学上册 —— 一、复习回顾：衔接前置知识 1. 核心整式乘法法则 单项式×多项式 m(a + b + c) = ma + mb + mc 示例：2x(3x - y) = 6x² - 2xy 乘法公式 平方差：(a+b)(a-b)=a²-b²；完全平方：(a±b)²=a²±2ab+b² 示例：(x+2)² = x² + 4x + 4 2. 逆向思考：从积到和差 观察下列等式，思考左右两边的关系： - ① 6x² - 2xy = 2x(3x - y) - ② x² + 4x + 4 = (x + 2)² - ③ ma + mb + mc = m(a + b + c) 思考：左边是多项式，右边是几个整式的积，这种变形与整式乘法有什么关系？ 二、概念引入：认识因式分解 1. 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2. 与整式乘法的关系 整式乘法：整式×整式 = 多项式（和差形式）；因式分解：多项式 = 整式×整式（积的形式），二者是互逆变形。 判断：下列变形是否为因式分解？ - ① x² - 1 = (x + 1)(x - 1) （是） - ② x² + x - 1 = x(x + 1) - 1 （否，右边不是积的形式） - ③ 2x²y = 2x·xy （否，左边是单项式，不是多项式） 三、探究活动：确定公因式 1. 公因式的定义 多项式ma + mb + mc中，各项都含有的相同因式m，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 公因式的确定方法（“三看”） 一看系数 取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常取正） 示例：-6x² + 4x，系数最大公约数为2 二看字母 取各项都含有的相同字母 示例：6x²y - 2xy³，相同字母为x、y 三看指数 取相同字母的最低次幂 示例：6x²y - 2xy³，x取1次，y取1次，即xy 练一练：确定下列多项式的公因式 - ① 3x + 6y （公因式：3） - ② 7a²b - 14ab² （公因式：7ab） - ③ -4x²y³ + 8x³y² （公因式：-4x²y²，或4x²y²，通常取负号使括号内首项为正） 四、方法讲解：提公因式法分解因式 1. 提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2. 提公因式法的步骤 步骤：一找、二提、三查 1. 一找：确定多项式各项的公因式（按“三看”原则）； 2. 二提：把公因式提到括号外面，括号内为原多项式各项除以公因式的商； 3. 三查：检查括号内的多项式是否还能继续分解，且与公因式互质。 3. 典型例题解析 例1：分解因式 8a³b² - 12ab³c 解：① 找公因式：系数最大公约数4，相同字母a、b，最低次幂a¹b²，公因式为4ab²； ② 提公因式：8a³b²÷4ab² = 2a²，12ab³c÷4ab² = 3bc； ③ 写结果：8a³b² - 12ab³c = 4ab²(2a² - 3bc)； ④ 检查：括号内2a² - 3bc无公因式，分解彻底。 例2：分解因式 -24x³ - 12x² + 28x 解：① 找公因式：系数最大公约数4，相同字母x，最低次幂x¹，考虑符号取-4x（使括号内首项为正）； ② 提公因式：-24x³÷(-4x)=6x²，-12x²÷(-4x)=3x，28x÷(-4x)=-7； ③ 写结果：-24x³ - 12x² + 28x = -4x(6x² + 3x - 7)。 例3：分解因式 3a(x - y) - 2b(x - y) 解：① 找公因式：将(x - y)看作一个整体，各项都含有的公因式为(x - y)； ② 提公因式：3a(x - y)÷(x - y)=3a，-2b(x - y)÷(x - y)=-2b； ③ 写结果：3a(x - y) - 2b(x - y) = (x - y)(3a - 2b)。 五、易错辨析与巩固练习 易错点警示（判断对错并改正） - ① 3x² + 6x = 3x(x + 2) （√） - ② 5x² - 5x = 5x(x - 0) （×，改正：5x(x - 1)，常数项不能漏） - ③ -6x³ + 3x² = -3x²(2x + 1) （×，改正：-3x²(2x - 1)，提负号后括号内变号） - ④ 2a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(2a + 3b) （√） 巩固练习（独立完成） 1. ① 分解因式：15a² - 5a = ____________________ 2. ② 分解因式：-2x³y + 4x²y² - 2xy³ = ____________________ 3. ③ 分解因式：4m(m - n) + 6n(n - m) = ____________________（提示：n - m = -(m - n)） 4. ④ 已知x + y = 5，xy = 3，求x²y + xy²的值（提示：先分解因式再代入）。 六、课堂小结与拓展 核心知识 1. 因式分解：多项式→整式积； 2. 提公因式法：找→提→查； 3. 公因式：系数最大公约数+相同字母最低次幂。 易错点汇总 - 漏提系数的最大公约数或符号处理错误； - 漏提相同字母的最低次幂； - 提公因式后括号内漏写常数项“1”或“-1”； - 不会将多项式整体看作公因式。 知识拓展 1. 提公因式法是分解因式的基础，后续将学习公式法分解因式； 2. 因式分解的应用：简便计算、解方程、代数式求值等。 掌握提公因式法，建立逆向思维模式，为后续因式分解学习奠定基础！ 情景导入 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =___________. 6 =___________. 8 =___________. 30 =___________. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 知识点1 因式分解 情景导入 （1）x2 + x = __________； （2）x2 – 1 = _____________； （3）x2 + 2x + 1 = __________. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 想：整式的乘法 x(x + 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)2 像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 情景导入 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). 整式乘法 因数分解 m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 互为 逆变形 观察 探究新知 5 下列多项式有什么共同特点？ 相同因式 p 相同因式 x 它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式. 观察 pa + pb + pc p x2 + x x p p x 知识点2 公因式 探究新知 试一试，将它们写成几个因式的乘积. pa + pb + pc x2 + x = p(a + b + c) = x(x + 1) 怎么得到的？ (pa + pb + pc)÷p (x2 + x)÷x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 知识点3 提公因式法 探究新知 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2–1=(x+1)(x–1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 巩固练习 探究新知 pa+pb+pc 用提公因式法分解因式 多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 公共因式p 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 公共因式x 知识点 2 探究新知 问题1： 探究新知 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 探究新知 探究新知 找出 3x 2 – 6xy 的公因式. 系数：最大公因数. 3 字母：相同的字母. x 所以这个多项式的公因式是3x. 指数：相同字母的最低次数. 1 如何确定一个多项式的公因式？ 探究新知 问题2： 探究新知 探究新知 (1)ax＋ay＋a； (2)3mx－6mx2； (3)4a2＋10ah； (4)x2y＋xy2；　　 (5)12xyz－9x2y2. 解：（1）a； （2）3mx; (3)2a； （4）xy； （5）3xy 观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？ 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 探究新知 找出多项式的公因式的正确步骤： 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 探究新知 归纳总结 探究新知 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例1 把下列各式分解因式. 分析：提公因式法步骤(分两步) 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) – 3(b+c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 素养考点 1 利用提公因式法分解因式 探究新知 探究新知 解：(1) 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式是b. (2) 2a(b+c)–3(b+c) =(b+c)(2a–3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 探究新知 方法总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 探究新知 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)； (3) (a＋b)(a–b)–a–b. (3)原式＝(a＋b)(a–b–1)． 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)； (2)原式＝(b＋c)(2a–3)； 巩固练习 探究新知 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2. 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 巩固练习 探究新知 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x–6y). 把3x2 – 6xy+x分解因式. 正解：原式=3x·x–6y·x+1·x =x(3x–6y+1) 小亮的解法有误吗？ 巩固练习 探究新知 提出负号时括号里的项没变号. 错误 把 – x2+xy–xz分解因式. 解：原式= – x(x+y–z). 注意：首项有负常提负. 正解：原式= – (x2–xy+xz) = – x(x–y+z) 小华的解法有误吗？ 巩固练习 探究新知 提取公因式分解因式的技巧： ①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号； ⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证. 归纳总结 探究新知 探究新知 例2 计算： (1)39×37–13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14) ＝20.16×100 ＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37–13×91 ＝13×(3×37–91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 素养考点 2 利用因式分解进行简便运算 探究新知 探究新知 =259 = 9900 (1) 992＋99 (2) = 99×(99+1) 简便计算. 巩固练习 解：原式=259 解：原式=99×99+99 (3) 13.8×0.125+86.2× 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100 =12.5 探究新知 例3 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 素养考点 3 利用因式分解求整式的值 探究新知 探究新知 已知a-b=5，ab=3，求a2b-ab2的值. 解: a2b+ab2 =ab(a-b) =3 × 5 =15 巩固练习 探究新知 1. 下列各式的变形中，表述正确的是( ) ； . C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回 考试考法 25 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 26 4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式 可以因式分解，则 可以为__________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考试考法 27 5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为 ，那么 的值为( ) B A. B. 1 C. D. 2 【点拨】 ， ，， . ，故选B. 返回 考试考法 28 6.母题教材P125练习 分解因式. （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 考试考法 29 7.利用简便方法计算： （1） ； 【解】 . （2） ． 返回 考试考法 30 8. 计算 的值是( ) A A. B. C. D. 0 9. 如果能被整除，则 的值可能是( ) B A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【点拨】 ， 则 的值可能是30.故选B. 返回 考试考法 31 10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多 项式的因式分解：___________________________. 11.［2025淄博月考］在分解因式时，甲看错了 的值，分解的结果是，乙看错了 的值，分解 的结果是，则 _____. 返回 考试考法 32 提公因式法分解因式 定义 pa+pb+pc=p(a+b+c) 方法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 第一步找公因式；第二步提公因式 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 课堂小结 谢谢观看！ $