16.3.2 完全平方公式 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级上册

人教版（2024）版数学8年级上册 第16章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 相等 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 16.3.2 完全平方公式 16.3.2 完全平方公式 乘法公式的重要组成 —— 人教版八年级数学上册 —— 一、复习回顾：衔接前置知识 1. 核心公式回顾 平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b² 特征：和×差，结果为平方差 示例：(2x + 3)(2x - 3) = 4x² - 9 多项式×多项式法则 逐项相乘，积相加，再合并 示例：(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6 2. 快速计算（观察规律） - ① (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = ________ - ② (x - 2)² = (x - 2)(x - 2) = ________ - ③ (2a + b)² = (2a + b)(2a + b) = ________ - ④ (3m - 2n)² = (3m - 2n)(3m - 2n) = ________ 思考：上述算式都是“相同二项式相乘”，结果有什么共同特点？能否找到简便计算方法？ 二、情境导入：感知公式应用价值 问题1：校园要新建一个边长为(a + b)的正方形花坛，为了规划材料用量，需要计算花坛的面积，该如何表示？ 问题2：若花坛边长调整为(a - b)，面积又该如何表示？这两个面积表达式展开后有什么规律？ 边长：a + b a b b 正方形花坛示意图 三、探究活动：推导完全平方公式 步骤1：代数推导——从多项式乘法出发 （1）推导(a + b)² (a + b)² = (a + b)(a + b) （平方的意义） = a·a + a·b + b·a + b·b （逐项相乘） = a² + ab + ab + b² （计算单项式乘积） = a² + 2ab + b² （合并同类项） （2）推导(a - b)² (a - b)² = (a - b)(a - b) （平方的意义） = a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b) （逐项相乘） = a² - ab - ab + b² （计算单项式乘积） = a² - 2ab + b² （合并同类项） 步骤2：几何验证——从面积组成理解 边长为(a + b)的正方形面积，可分割为： ① 边长为a的正方形：面积a²； ② 边长为b的正方形：面积b²； ③ 两个长a、宽b的长方形：面积各ab； 总面积：a² + 2ab + b²，即(a + b)² = a² + 2ab + b²。 (a + b)²面积分割图 步骤3：总结公式结构特征 观察两个公式，思考共同特征： - 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘）； - 右边：三项式，由“首项平方、尾项平方、两倍首尾乘积”组成； - 符号规律：(a + b)²中间为正，(a - b)²中间为负（即“和平方加，差平方减”）。 四、法则总结：完全平方公式 完全平方公式 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍。 口诀：首平方，尾平方，两倍首尾放中央，和平方加，差平方减 公式中的“a”和“b”的含义： - ① “a”和“b”可以是数字、字母（如a=5，b=3；a=m，b=n）； - ② “a”和“b”也可以是单项式或多项式（如a=3x，b=2；a=(x - y)，b=z）； - ③ 关键是找准“首项”和“尾项”，无论位置如何，核心是“两个数的和或差”。 五、基础应用：分类型例题解析 类型1：数字与字母的简单应用 例1：计算(2x + 3)² 分析：首项为2x，尾项为3，和平方中间用“+” 解：(2x + 3)² = (2x)² + 2×2x×3 + 3² = 4x² + 12x + 9 类型2：含负号的应用 例2：计算(4x - 5y)² 分析：首项为4x，尾项为5y，差平方中间用“-” 解：(4x - 5y)² = (4x)² - 2×4x×5y + (5y)² = 16x² - 40xy + 25y² 类型3：单项式作为“a”或“b” 例3：计算(-3a² + b)² 分析：可转化为(b - 3a²)²，首项b，尾项3a²，差平方中间用“-” 解：(-3a² + b)² = b² - 2×b×3a² + (3a²)² = b² - 6a²b + 9a⁴ 类型4：多项式作为“a”或“b” 例4：计算(x + y + 1)² 分析：将(x + y)看作一个整体（即“a”），1为“b”，转化为(a + b)² 解：(x + y + 1)² = [(x + y) + 1]² = (x + y)² + 2×(x + y)×1 + 1² = x² + 2xy + y² + 2x + 2y + 1 六、易错辨析与公式对比 易错点警示（判断对错并改正） - ① (x + 2)² = x² + 4 （ ） 改正：____________________ - ② (x - 3)² = x² - 6x - 9 （ ） 改正：____________________ - ③ (2x + y)² = 2x² + 4xy + y² （ ） 改正：____________________ - ④ (a - b)² = (b - a)² （ ） 改正：____________________ 平方差公式 vs 完全平方公式 对比维度 平方差公式 完全平方公式 左边形式 和×差（两项异号） 和²或差²（两项同号） 右边项数 两项（平方差） 三项（平方和+两倍乘积） 核心特征 无中间项（抵消） 有中间项（两倍乘积） 七、进阶练习与实际应用 应用1：简便计算 用完全平方公式计算：① 99² ② 101² 解：① 99² = (100 - 1)² = 100² - 2×100×1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801； ② 101² = (100 + 1)² = 100² + 2×100×1 + 1² = 10000 + 200 + 1 = 10201。 应用2：解决几何问题 一个正方形的边长增加3cm后，面积变为(x² + 12x + 36)cm²，求原正方形的边长。 解：① 对新面积表达式因式分解：x² + 12x + 36 = (x + 6)²，因此新边长为(x + 6)cm； ② 原边长 = 新边长 - 3 = (x + 6) - 3 = (x + 3)cm。 应用3：代数式求值 已知a + b = 5，ab = 3，求a² + b²的值。 解：逆用完全平方公式：a² + b² = (a + b)² - 2ab； 代入已知条件：a² + b² = 5² - 2×3 = 25 - 6 = 19。 八、课堂小结与拓展 公式核心 结构特征：首平方+尾平方+两倍首尾放中央 符号规律：和平方加，差平方减 易错点汇总 - 漏加中间的两倍乘积项（如(x+2)²算成x²+4） - 单项式平方时漏算系数（如(2x)²算成2x²） - 混淆和平方与差平方的符号（中间项符号错误） - 无法将多项式看作整体应用公式 知识拓展 1. 乘法公式体系：平方差公式+完全平方公式； 2. 后续应用：因式分解、分式化简、一元二次方程等； 3. 拓展公式：(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc。 掌握完全平方公式的结构与逆用，构建完整乘法公式体系，提升代数运算能力！ 情景导入 （1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________； （2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ； （3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ； （4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________. 计算下列多项式的积. p2 + 2p + 1 m + 2 探 究 m + 2 m2 + 4m + 4 p – 1 p – 1 p2 – 2p + 1 m – 2 m – 2 m2 – 4m + 4 情景导入 3 （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1； （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4； （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1； （4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1. p2 + 2·p·1 + 12 m2 + 2·m·2 + 22 p2 – 2·p·1 + 12 m2 – 2·m·2 + 22 你能发现什么规律？ 探 究 都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 情景导入 (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央” 完全平方公式 探究新知 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗? 探究新知 设大正方形ABCD的面积为S. S= (a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 证明 A D C B =S1+S2+S3+S4= . 探究新知 a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： 几何解释 探究新知 a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . = (a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 差的完全平方公式： 几何解释 探究新知 (a+b)2= a2+2ab+b2. (a–b)2= a2–2ab+b2. 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： (1) 说一说积的次数和项数. (2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？ (3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？ 问题4： 探究新知 10 公式特征： 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 探究新知 探究新知 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x –y)2 =x2 –y2 (3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x –y)2 =x2 –2xy +y2 (–x +y)2 =x2 –2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 探究新知 想一想 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a + b)2= a2 + 2ab + b2 (4m)2 +2•(4m) •n +n2 +8mn +n2； 素养考点 1 利用完全平方公式进行计算 探究新知 (2) (a –b)2 = a2– 2ab + b2 y2 =y2 –y + 解： = + –2•y• 利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2； (3)(–3a＋b)2. (3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2. 解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2. (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 巩固练习 (1) 1022； = (100 –1)2 =10000–200+1 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便． 素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算 探究新知 利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242. ＝(2025–2024)2＝1. 解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395. (2)原式＝20252–2×2025×2024＋20242 巩固练习 16 例3 已知x–y＝6，xy＝–8. 求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36 –16＝20. 解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8， (x–y)2＝x2＋y2–2xy， ∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20 –16＝4. 素养考点 3 利用完全平方公式的变形求整式的值 探究新知 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy. (1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____. 52 对应训练. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=________ . 18或–18 (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______. 1 巩固练习 添括号法则 a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号： 知识点 2 探究新知 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”). 探究新知 添括号法则 例 运用乘法公式计算: (1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)] 解: (1) (2)原式= [(a+b)+c]2 = x2–(2y–3)2 = x2–(4y2–12y+9) = x2–4y2+12y–9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+ 2bc+c2. 素养考点 4 添括号法则的应用 探究新知 计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)． ＝1–4x2＋4xy–y2. 解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc. (2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 巩固练习 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 23 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 考试考法 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 25 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 考试考法 26 7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 考试考法 27 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真 分数的和或差. . . . . . . 返回 考试考法 28 8.（1）解方程： ; 【解】 ， ， ， ， . 考试考法 29 （2）计算： . . 返回 考试考法 30 9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的 面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 31 10. 母题母题 若，，则 ( ) A. 52 B. 50 C. 45 D. 60 【点拨】, . A 返回 考试考法 11.设，， ，若 ，则 的值是____. 16 【点拨】，，，.又， . 返回 考试考法 33 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2. 课堂小结 谢谢观看！ $