精品解析：江西省南昌新民外语学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

新民学校2025—2026学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 考试范围：一轮复习；命题人：刘青华；考试时间：120分钟；分值：150分 一、单选题 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式，得到，再求即可． 【详解】由，解得， ，又， ． 故选：B 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，结合的性质将分母实数化，从而求解． 【详解】 ， 故选：A． 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦切互化，以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故． 故选：A 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：D. 5. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，再利用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对化简后可得具体的值，对有，从而判断得解. 【详解】因为，，，故. 故选：D. 7. 将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，由三角函数的图象变换，得到，结合的图象关于轴对称，求得，进而得到答案. 【详解】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为. 故选：B. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知可得对任意的恒成立， 设 则 当时在上恒成立，在上单调递增， 又 在上 不合题意； 当时，可知在单调递减，在单调递增，要使 ， 在上恒成立，只要， 令 可知在上单调递增，在上单调递减， 又 ，故选A. 二、多选题 9. 已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 1024是三角形数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先通过观察三角形数的相邻项差归纳规律，推导通项公式，再分别验证各选项的正确性. 【详解】对于A，根据题意，数列满足 由此归纳可得：，故A正确； 对于B，由，则， 故，故B错误； 对于C，若1024是三角形数，则方程有正整数解， 变形可得，此方程无正整数解，故C错误； 对于D，，， 故 ，故D正确. 故选：. 三、填空题 12. 设函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，即可得的值. 【详解】由函数，知. 所以，. 故答案为： 13. 已知等比数列满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 14. 已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件结合三角形内角和的性质以及二倍角公式求出，再利用余弦定理结合已知边长关系求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】在中，，， ， ， ，，， ， 即，解得或（，舍去）， ， 成等差数列，， ， 由余弦定理得， ，解得， ． 故答案为：6． 四、解答题 15. 已知 （1）求与的夹角大小； （2）求在上的数量投影. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【小问1详解】 由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 【小问2详解】 在上的数量投影为. 16. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，，即可求解通项公式； （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可知， 解得，，故； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 数列的前项和为. 17. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得， 即，则, 由于，故； 【小问2详解】 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 18. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得. 又，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列. 故，，故； 【小问2详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， ， ， 故. 19. 已知函数，. （1）若，求的图象在x=1处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线即可； （2）利用同构思想，结合单调性转化研究不等式恒成立，从而利用分离参变量法来求参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得，则， 所以，， 即的图象在x=1处的切线方程为. 【小问2详解】 可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 由等价于，根据单调递增可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 考试范围：一轮复习；命题人：刘青华；考试时间：120分钟；分值：150分 一、单选题 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 11. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 1024是三角形数 D. 三、填空题 12. 设函数，则_____. 13. 已知等比数列满足，则______. 14. 已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为___________． 四、解答题 15. 已知 （1）求与的夹角大小； （2）求在上的数量投影. 16. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 18. 已知数列满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 19. 已知函数，. （1）若，求的图象在x=1处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $