专题02 实际问题与反比例函数专项训练（六大题型）（基础巩固+能力提升）-2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题02 实际问题与反比例函数 经典基础题 【题型1 反比例的实际应用-行程问题】...............................................................................1 【题型2 反比例的实际应用-工程问题】...............................................................................5 【题型3 反比例的实际应用-物理学科问题】.........................................................................8 优选提升题 【题型1 反比例的实际应用-经济学问题】...........................................................................18 【题型2 反比例的实际应用-其他问题】..............................................................................31 【题型3 一次函数与反比例函数综合】.................................................................................36 【题型1 反比例的实际应用-行程问题】 1．（2025九年级上·北京·专题练习）某汽车要行驶的路程，其速度与时间之间的关系是反比例函数．若要求不超过小时到达，则速度至少是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，即得，进而得到，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵要求不超过小时到达， ∴且， ∴， 解得 答：速度至少是． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1) (2)不够用 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）根据题意可得到速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，即可求出函数解析式； （2）求出总路程所需油量，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【答案】(1) (2)李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）将代入v关于t的函数表达式，再结合题意即可得小汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意可得从甲地到乙地路程为：， 与的关系式为：； （2）解：在中， 令， ，当时，随的增大而减小， ， 又此公路限速， 答：李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是． 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 【题型2 反比例的实际应用-工程问题】 1．（2023·江苏扬州·二模）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选组数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解． 【详解】解：依题意可得：，即：， ∴且为整数． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【答案】(1) (2)3天 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）根据“每天运输的吨数运数的天数货物总量”写出t与a的关系； （2）将代入t与a的关系，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 3．（2022·山东济宁·二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援上海疫区，某车队需要将一批生活物资运送至上海疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系． (1)求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式：（不需要写出自变量x的取值范围） (2)根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？ (3)为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数． 【答案】(1) (2)该车队每天至少要运送40吨物资； (3)实际完成运送任务的天数为4 【分析】（1）设该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出当时，，要想在5天之内完成该运送任务，则； （3）设原计划每天运送货物m吨，则实际每天运送货物吨，再根据最终提前了1天完成任务，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式为， 把点（2，100）代入得， ∴该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式为 （2）解：当时，， ∵要想在5天之内完成该运送任务， ∴， ∴该车队每天至少要运送40吨物资； （3）解：设原计划每天运送货物m吨，则实际每天运送货物吨， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴实际完成运送任务的天数为4． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 4．（2022·浙江杭州·一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 【题型3 反比例的实际应用-物理学科问题】 1．（2025·海南·模拟预测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式 ． 【答案】 【分析】该题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入， ， ， ， 随的增大而减小， 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 5．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)可变电阻R应控制在与之间 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）将代入即可求解； （2）求出，对应的的值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 由图可知，反比例函数图象经过点， ， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时， ， 当时， ， 可变电阻R应控制在与之间． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电阻R关于电流I的函数关系式； (2)若，求电阻的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，利用待定系数法解得电阻关于电流的函数关系式是解题关键． （1）设与满足反比例函数关系为，利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当和时电阻的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：设与满足反比例函数关系为， 根据图象可知，该函数过点， ∴， ∴， ∴电阻关于电流的函数关系式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴若时，电阻的变化范围为． 8．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； 9．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）把，，代入计算即可得解； （2）由题意可得，结合（1）可得，即可得解； （3）将代入（2）中的关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：把，，代入可得，力F所做的功是； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴F与s之间的函数解析式； （3）解：当时，， 解得． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）(跨学科融合)由欧姆定律可知，当电压不变时，电流与电阻成反比例关系．已知电压不变，当电阻时，电流． (1)求I 关于R 的函数表达式； (2)当时，求电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法，解题的关键是理解题意，电流与电阻 成反比例关系． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：电流 与电阻成反比例关系， 设， 把代入上式，得， ； （2）把代入，得． 11．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 【题型1 反比例的实际应用-经济学问题】 1．（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【答案】(1) (2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为． 把代入，得． 关于的函数表达式为． （2）试销6天共销售苹果千克 苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克， 销售10天后，还剩下苹果（千克）． 由，得． 把代入中得， ，随的增大而减小， 当时，， 新的售价最高可以定为6元/千克， 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元 【分析】（1）根据表格数据，由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系计算出单个手工制品的利润，再由总利润单个商品利润销量即可得到利润关于的函数关系式； （3）由（2）中所得的利润关于的函数关系式，分段讨论，由二次函数图象与性质、反比例函数图象与性质求出最值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入得 ， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时， ； 关于的函数关系式为； （3）解：当时， ， ， ∴当时，有最大值，且； 当时， ∵， 随着的增大而减小， 当时，有最大值，且； ， 这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元． 【点睛】本题考查函数解应用题，涉及一次函数的应用、二次函数的应用及反比例函数的应用、待定系数法求一次函数关系式、求分段函数关系式、二次函数图象与性质求最值、反比例函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握函数相关知识是解决问题的关键． 3．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 4．（24-25九年级下·广东东莞·期中）某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)200元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， ∴， ∴y与x之间为的函数关系式为． （2）解：由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴销售单价应定为200元， 答：销售单价应定为200元． 5．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元， 答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】(1) (2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元 【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 7．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2） ， 又 ， 当，最大． 8．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 【答案】(1) (2)定价为7元时，利润最大，最大为11万元 【分析】（1）分，两种情形解答即可； （2）根据两种解析式，分别计算利润，比较大小后定结论即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造法求最值是解题的关键． 【详解】（1）当时，设，代入，得， 此时解析式为； 当时，设直线的解析式为， 根据题意，得，解得， 故解析式， 综上所述，． （2）当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； 当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； ， 综上所述， 故定价为7元时，利润最大，最大为11万元． 9．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 【题型2 反比例的实际应用-其他问题】 1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，喷雾阶段室内每立方米空气中的含药量与喷雾时间成正比例；喷雾后，与成反比例，且其图象都过点，用待定系数法可求得正比例和反比例函数的函数解析式，再逐项计算即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； A.在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意． B.每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是，故此选项不符合题意． C.喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项符合题意． D.在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：A、∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意． B、由题意可得点在反比例函数的图象上， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意． C、令，则， ∴， 即饮水机每经过，要重新从开始加热一次， 从8点至9点30分，经过的时间为，， 而水温加热到，需要的时间为， 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了， 令，则， 即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意． D、水温从升高到所需要的时间为， 令，则， 解得， ∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的解析式求解及利用函数性质分析实际问题是解题的关键． 本题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，需先确定反比例函数解析式，再结合各选项的条件分别进行分析计算． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵图象经过点， ∴， 解得，即，文章总字数为字． 由，当，时，总字数为字，故A正确． 当时，，故B正确． 从到共分钟，即，则，解得，故小丽每分钟至少应录入字，C错误． 原计划速度，则原计划时间分钟； 实际速度，实际时间分钟； 提前时间为分钟，故D正确． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题 (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)三明治机工作温度在以上持续分钟． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，持续时间的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． （1）分成和两段计算解答即可； （2）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 【详解】（1）解：由图象可知：当时，； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 综上：； （2）解：当时，设， 将代入得：， ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间为：(分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 【题型3 一次函数与反比例函数综合】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点Q的坐标为或 (3)P点的坐标为 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）反比例函数的图象交于点，代入得反比例函数解析式，再代入，求出坐标后，将代入一次函数解析式即可求解； （2）作轴交于，设，则，分类讨论在之间时，在左侧时，在B右侧时，根据的面积是3列方程求解即可． （3）作关于轴对称点，连接交轴于，求出解析式，在求其与轴交点即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于点，代入得： ， ∴反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 一次函数的图象过点和， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：作轴交于，设，则 当在之间时， ， ， ， ， ， 当在左侧时， ， ， ， （舍去）， 当在B右侧时， ， ， ， ， ， 综上所述，或； （3）解：作关于轴对称点，连接交轴于， 则， 设解析式为，代入，得： 解得：， 一次函数的表达式为， 令时，， 解得， ∴． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数，一次函数 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题，与不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数中，求得反比例函数的表达式，可得点坐标，将、两点代入一次函数中，可得一次函数的表达式； （2）设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，因为，，，可得，解得的值，即得点的坐标； （3）由题意得出，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得，， 解得：， 反比例函数， 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：，即， 将、两点代入一次函数中， 得，， 解得：，， 一次函数； （2）解：设，即， 对于一次函数，令，则，即， ，， 而， ， 解得：， 或； （3）解：， ∴， 即， ∵， 由图象可知：或． 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，可得，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得 ， ∴一次函数为， 将代入 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：如图，由题意可知，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， 4．（22-23八年级下·四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到， ，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点情况，三角形三边关系，轴对称性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解答问题． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，x的取值范围； (3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为为 (2)或 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式． （2）根据图像的性质，结合交点的横坐标写出解集即可． （3）根据，，得到，设，则，，结合，平方列出方程解答即可． 本题考查了待定系数法，两点间距离公式，数形结合思想，直接开平方法解方程，熟练掌握待定系数法，数形结合思想，直接开平方法解方程，是解题的关键． 【详解】（1）将点代入反比例函数， 得， ， 将点代入， 解得， ， 将，点坐标代入一次函数， 得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）不等式的解集是：或． （3）根据，，得到， 设， 则，， ∵， ∴， 解得， 故点C的坐标为或． 6．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【详解】（1）解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； （2）∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： 点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： 点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． 7．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为 ． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 8．（2023九年级·山东·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图象于点Q，连接．当时，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据反比例函数过，，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式； （2）证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过，两点， ∴， ∴，， ∴反比例函数为，， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）如图，连接，    ∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A向左平移个单位，向下平移4个单位得到P， ∴点向左平移个单位，向下平移4个单位得到， ∵点Q在上， ∴， 解得n． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，求解Q点的坐标是解题的关键． 9．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，一次函数的图象与反比例四数的图象相交于A（1，3），B（-3，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． (3)直线交轴于点，点是轴上的点，的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将点B坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出点B的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）由点A与点B的横坐标，以及0，将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可； （3）先求出点C的坐标，根据面积相等求出PC的长度，进一步求出P点坐标． 【详解】（1）解：将A（1，3）代入反比例解析式得：， ， ∴反比例解析式为， 将B（-3，n）代入反比例解析式得：， ∴， ∴B（-3，-1）， 将A（1，3）与B（-3，-1）代入中，得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图象得：一次函数值大于反比例函数值的的取值范围为或； （3）解：对于一次函数，令，得到，即C（-2，0）， ∴． ∵的面积等于的面积， ， ， ∵点是轴上的点， ∴设点P（a，0）， ∵C（-2，0）， ∴， 解得，． ∴或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与反比例函数 经典基础题 【题型1 反比例的实际应用-行程问题】...............................................................................1 【题型2 反比例的实际应用-工程问题】...............................................................................3 【题型3 反比例的实际应用-物理学科问题】........................................................................5 优选提升题 【题型1 反比例的实际应用-经济学问题】...........................................................................10 【题型2 反比例的实际应用-其他问题】..............................................................................15 【题型3 一次函数与反比例函数综合】.................................................................................17 【题型1 反比例的实际应用-行程问题】 1．（2025九年级上·北京·专题练习）某汽车要行驶的路程，其速度与时间之间的关系是反比例函数．若要求不超过小时到达，则速度至少是多少？ 2．（2025九年级上·全国·专题练习）小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【题型2 反比例的实际应用-工程问题】 1．（2023·江苏扬州·二模）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选组数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 3．（2022·山东济宁·二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援上海疫区，某车队需要将一批生活物资运送至上海疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系． (1)求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式：（不需要写出自变量x的取值范围） (2)根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？ (3)为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数． 4．（2022·浙江杭州·一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【题型3 反比例的实际应用-物理学科问题】 1．（2025·海南·模拟预测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式 ． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·全国·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 5．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电阻R关于电流I的函数关系式； (2)若，求电阻的变化范围． 8．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 9．（24-25九年级下·河南许昌·开学考试）在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）(跨学科融合)由欧姆定律可知，当电压不变时，电流与电阻成反比例关系．已知电压不变，当电阻时，电流． (1)求I 关于R 的函数表达式； (2)当时，求电流I． 11．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【题型1 反比例的实际应用-经济学问题】 1．（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 4．（24-25九年级下·广东东莞·期中）某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？ 5．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 7．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 8．（2024·广东广州·三模）第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． (1)求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； (2)求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 9．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【题型2 反比例的实际应用-其他问题】 1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 2．（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 4．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题 (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【题型3 一次函数与反比例函数综合】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 3．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 4．（22-23八年级下·四川内江·期中）如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，x的取值范围； (3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标． 6．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 7．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为 ． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 8．（2023九年级·山东·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图象于点Q，连接．当时，求n的值． 9．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，一次函数的图象与反比例四数的图象相交于A（1，3），B（-3，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． (3)直线交轴于点，点是轴上的点，的面积等于的面积，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $