课下巩固精练卷(87) 概率与统计的综合问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(八十七)　概率与统计的综合问题 1．(2024·陕西西安模拟)某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间(单位：时)的频率分布表： 日均收看世界杯时间(时) [0.5，1] (1，1.5] (1.5，2] (2，2.5] (2.5，3] (3，3.5] 频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05 如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关； 非足球迷 足球迷 合计 女 70 男 40 合计 (2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考公式：2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.2＋0.05＝0.25， 则在抽取的200人中，“足球迷”有200×0.25＝50人， 所以2×2列联表如下： 非足球迷 足球迷 合计 女 70 10 80 男 80 40 120 合计 150 50 200 所以2＝≈11.111>10.828， 所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关． (2)由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.25， 所以从该地的电视观众中随机抽取4人，其为“足球迷”的概率P＝，所以X～B， 即X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝4×＝1. 2．(2024·浙江杭州二模)杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y(万张) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：＝1.85，＝385. (1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程(结果中的数值用分数表示)； (2)该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张为有奖门票(可凭票兑换景点纪念品)，X的分布列如下： X 2 3 4 P 今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－. 解：(1)设y关于t的线性回归方程为＝＋t， 则(1.85×10－0.5)＝2， ＝96－5＝91， 所以＝，＝－， 所以y关于t的线性回归方程是y＝t. (2)记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A，“该份团体票中共有i张有奖门票”为事件Bi， 则P(B3)＝＝， 所以P(AB3)＝P(B3)P(A|B3)＝， 又P(A|B2)＝＝0， 所以P(A)＝P(AB2)＋P(AB3)＋P(AB4)＝P(B2)P(A|B2)＋P(AB3)＋P(B4)P(A|B4)＝， 所以P(B3|A)＝. 则所求概率是. 3．(2024·南京模拟)渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3 m．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图(如图)． 根据海浪高度将海浪划分为如下等级： 浪高(cm) (0，50) [50，100) [100，200) [200，300] 海浪等级 微浪 小浪 中浪 大浪 海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业． (1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率； (2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)记这天浪级是“微浪”为事件A1，浪级是“小浪”为事件A2，浪级是“中浪”为事件A3，浪级是“大浪”为事件A4，该渔船当天出海作业为事件B， 则由题意可知，P(A1)＝50×0.004＝0.2， P(A2)＝50×0.006＝0.3， P(A3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3， P(A4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2， ∴P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6. (2)依题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×. 4．(2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型H1N1流感病毒(甲流)和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半． (1)若根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？ (2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？ 附：χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)． α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为x， 由题意必有χ2≥7.879， 即≥7.879，所以x≥26.26，又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人． (2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p<1，故0<p<， 设抗病毒口服液试验总花费为X，X的所有可能取值为4m，5m，6m， P(X＝4m)＝p4， P(X＝5m)＝2(p2－p4)， P(X＝6m)＝(1－p2)2， 故E(X)＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp2＋6m， 设奥司他韦试验总花费为Y，Y的所有可能取值为3m，6m， P(Y＝3m)＝(2p)2(1－2p)＋(2p)3＝12p2－16p3， P(Y＝6m)＝1＋16p3－12p2， 所以E(Y)＝48mp3－36mp2＋6m， 由0<p<， 所以E(Y)－E(X)＝2mp2(24p－17)<0， 所以E(Y)<E(X)， 所以奥司他韦试验的平均花费较低． 学科网（北京）股份有限公司 $