课下巩固精练卷(86) 二项分布、超几何分布与正态分布（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(八十六)　二项分布、超几何分布与正态分布 【基础巩固题】 1．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X＝0)＝，则D(Y)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为随机变量X～B(2，p)，所以P(X＝0)＝(1－p)2＝，解得p＝或p＝(舍去)，所以Y～B，所以D(Y)＝4×. 2．(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝，则p＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝得μ＝3，所以E(X)＝E(Y)＝3，又X～B(8，p)，所以E(X)＝8p＝3，所以p＝. 3．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为(　　 ) A． B． C．1 D． 解析：选D.ξ的所有可能取值为0，1，2， 则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， 则E(ξ)＝0×. 4．(2024·湖南长沙三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0，则P(2<X≤2＋k)(　　 ) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析：选A.根据正态曲线的对称性，由P(X<2－k)＝P(X>2＋k)，得μ＝＝2， 因为P(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0， 所以P(2<X≤2＋k)＝0.5－0.3＝0.2. 5．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为(　　 ) A．24 B．25 C．26 D．27 解析：选A.设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n. X所有可能的取值为0，1，2，…，n， 则X～B，E(X)＝； Y所有可能的取值为0，1，2，…，32－n， 则Y～B，E(Y)＝， 所以获胜的业余棋手总人数的均值E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝≥10，解得n≥24. 6．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　 ) A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 解析：选B.设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p)． 若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率p＝，E(X)＝30×＝6， 若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率p＝，E(X)＝30×， 若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率p＝，E(X)＝30×＝16， 若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率p＝，E(X)＝30×＝20， 根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天． 7．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　 ) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 解析：选ACD.因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确． 8．(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　 ) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析：选BD.对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误； 对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确． 9．(2024·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________． 解析：因为P(X>0)＝2P(X≤0)， 所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1， 所以P(X≤0)＝，P(X>0)＝， 则至少有3个季度的收益为正值的概率为＋. 答案： 10．某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表： 甲生产线产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 B指标 2.01 1.97 1.96 2.03 1.97 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 乙生产线产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 A指标 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 B指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其A指标大于1且B指标大于2的概率； (2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示B指标大于2的产品数，估计X的数学期望； (3)已知产品A、B指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：(1)记事件C为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A指标大于1且B指标大于2”， 由表知，甲生产线抽取的10件产品中，A指标大于1且B指标大于2的产品为4号、9号、10号，共3个， 因此P(C)可估计为. (2)记事件D1为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”， 记事件D2为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”， 由表知，甲生产线抽取的10件产品中，B指标大于2的产品为1号、4号、9号、10号，共4个，因此P(D1)可估计为； 乙生产线抽取的8件产品中，B指标大于2的产品为1号、2号、3号、5号、6号、7号、8号，共7个，因此P(D2)可估计为， 因此X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝PP＝＝， P(X＝1)＝P(D1)P＋PP(D2)＝＋， P(X＝2)＝P(D1)P(D2)＝， 所以X的期望为E(X)＝0×. (3)甲生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.01，0.07，0.03，0.05，0.03，0.09，0.13，0.05，0.18，0.04，其平均值为0.068； 乙生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.03，0，0.1，0.13，0.14，0，0.16，0.05，其平均值为0.076 25， 显然0.068<0.076 25，所以甲生产线产品更好的概率估计值最大． 【综合应用题】 11．(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　 ) A．a＋b＝1 B．当p＝时，a＝b C．当0<p<时，a随着n的增大而增大 D．当<p<1时，a随着n的增大而减小 解析：选ABC.对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确； 对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B， 则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，…，n)， 所以a＝＋＋＝， b＝＋＋＝， 所以a＝b，故B正确； 对于C，D，a＝p1(1－p)n-1＋p3(1－p)n-3＋…＝， 当0<p<时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确； 当<p<1时，(1－2p)n正负交替，故D不正确． 12．(多选)(2024·郑州调研)下列命题中正确的是(　　 ) A．已知随机变量X～B，则D(3X＋2)＝12 B．已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，则μ＝2 C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分为123分，方差为60；女生平均分为128分，方差为40，则抽取的100名学生二模数学成绩的方差为80 解析：选AB.对于A，随机变量X～B，则D(X)＝6×，则D(3X＋2)＝9D(X)＝12，故A正确． 对于B，随机变量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，则根据正态曲线的对称性可知μ＝＝2，故B正确． 对于C，将这组数据从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，9，因为8×30%＝2.4，所以第30百分位数是7，故C错误． 对于D，设50名男生的二模数学成绩为x1，x2，…，x50，50名女生的二模数学成绩为y1，y2，…，y50， 则＝50×(60＋1232)，＝50×(40＋1282)， 又这100名学生的二模数学成绩平均分＝， 所以这100名学生二模数学成绩的方差s2＝×[50×(60＋1232)＋50×(40＋1282)]－＝56.25，故D错误． 13．(2024·银川模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则(0<x<a)的最小值为________． 解析：随机变量ξ～N(1，σ2)， 且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)， 可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4， 由0<x<4，可得0<4－x<4， 则[x＋(4－x)]·＝＝4， 当且仅当，即x＝1时取等号． 所以(0<x<a)的最小值为4. 答案：4 14．对某地区过去20年的年降水量(单位：毫米)进行统计，得到以下数据： 887　 939　 643　 996　 715　 838 1 082 923 901 1 182 1 035 863 772 943 1 035 1 022 855 1 118 768 809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级． (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率； (2)根据经验，种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位：千元/亩)如下表所示．你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由． 年降水量作物种类 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 解：(1)将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：降水量偏少的年份有4年，概率可估计为 ＝0.2； 降水量适中的年份有10年，概率可估计为 ＝0.5； 降水量偏多的年份有6年，概率可估计为 ＝0.3. 于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2，0.5，0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X，Y，Z， X的分布列为： X 8 12 P 0.5 0.5 故种植甲则每亩地获利的期望E(X)＝8×0.5＋12×0.5＝10千元， Y的分布列为： Y 12 10 7 P 0.2 0.5 0.3 故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)＝12×0.2＋10×0.5＋7×0.3＝9.5千元， Z的分布列为： Z 7 10 12 P 0.2 0.5 0.3 故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)＝7×0.2＋10×0.5＋12×0.3＝10千元， 所以E(Y)<E(X)＝E(Z)， 即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙， 又D(X)＝0.5×(8－10)2＋0.5×(12－10)2＝4， D(Z)＝0.2×(7－10)2＋0.5×(10－10)2＋0.3×(12－10)2＝3， D(X)>D(Z)，故种植丙时获利的稳定性更好， 因此，作物丙最适合在该地区推广种植． 15．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获得三等奖，得分在[80，90)内的学生获得二等奖，得分在[90，100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)若该市共有10 000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； (2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×10＋65×0.034×10＋75×0.016×10＋85×0.008×10＋95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)， 因为μ＋σ＝79，所以P(X>79)≈＝0.158 65， 故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.158 65×10 000≈1 587. (2)由μ＝64，得P(X>64)＝， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量ξ～B， 所以P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以期望为E(ξ)＝0×(或E(ξ)＝3×)． 学科网（北京）股份有限公司 $