课下巩固精练卷(80) 计数原理（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(八十)　计数原理 【基础巩固题】 1．从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　 ) A．18 B．20 C．26 D．1 080 解析：选C.由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，根据分类加法原理知共有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法． 2．将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　 ) A．720 B．240 C．120 D．60 解析：选A.可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720(种)不同分法． 3．高二1，2，3班各有升旗班同学人数分别为1，3，3，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为(　　 ) A．12 B．15 C．20 D．21 解析：选B.依题意，选中高二1班的同学有1×6种方法，高二1班的同学没选中有3×3(种)方法，所以2人来自不同班的选法种数为1×6＋3×3＝15. 4．(人教A版选择性必修三P11)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为(　　 ) A．5 B．11 C．20 D．45 解析：选D.根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45. 5．(2024·湖南长郡中学模拟)如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有(　　 ) A．72 B．56 C．48 D．36 解析：选C.将四个区域标记为A，B，C，D，如图所示． 第一步涂A：4种涂法，第二步涂B：3种涂法，第三步涂C：2种涂法，第四步涂D：2种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有4×3×2×2＝48(种)着色方法． 6．从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　 ) A．7 B．9 C．10 D．13 解析：选C.各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411，共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321，共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.所以共有3＋6＋1＝10(个)． 7．(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有(　　 ) A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 解析：选ABC.对于选项A，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，故A正确； 对于选项B，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，故B正确； 对于选项C，可分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，故C正确； 对于选项D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，知不同挂法的种数是N＝3×2＝6，故D错误． 8．(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是(　　 ) A．选1人为负责人的选法种数为34 B．每组选1名组长的选法种数为5 400 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420 D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种 解析：选AD.对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，故A对； 对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5 040(种)，故B错； 对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，故C错； 对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同的选法有64－27＝37(种)，故D对． 9．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为________． 解析：在8个数中任取2个不同的数共可组成8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4个数值，要减去4，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)． 答案：52 10．(人教A版选择性必修三P11)用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成________个不同的分数，可构成________个不同的真分数． 解析：从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，可构成4×4＝16(个)不同的分数； 由真分数的定义， ①若1为分子，分母有4种选择； ②若5为分子，分母有3种选择； ③若9为分子，分母有2种选择； ④若13为分子，分母有1种选择； 所以真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个)． 答案：16　10 【综合应用题】 11．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　　 ) A．5 B．8 C．10 D．15 解析：选C.满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5个； 满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5个．所以一共有10个． 12．(2024·佛山联考)某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有(　　 ) A．720种 B．1 440种 C．1 560种 D．2 520种 解析：选C. 如图，不同的布置方案分两类： ①A与C布置相同的花卉． 先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安排D，有4种不同的选择，共有6×5×4×4＝480(种)布置方案． ②A与C布置不同的花卉． 先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B，有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择，共有6×5×4×3×3＝1 080(种)布置方案． 所以不同的布置方案共有480＋1 080＝1 560(种)． 13．(人教A版选择性必修三P12)2 160有_____个不同的正因数． 解析：由题意，2 160＝24×5×33， 则2 160的正因数p＝2r×5s×3t(r，s，t∈N)， 因为r可取0，1，2，3，4；s可取0，1；t可取0，1，2，3； 所以2 160有5×2×4＝40(个)不同的正因数． 答案：40 14．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. 答案：24　112 学科网（北京）股份有限公司 $