课下巩固精练卷(71) 直线与圆锥曲线的位置关系（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(七十一)　直线与圆锥曲线的位置关系 【基础巩固题】 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 2．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(4，9] B．[4，＋∞) C．[4，9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 解析：选C.直线kx－y＋2＝0过定点(0，2)， 所以≤1，解得m≥4.① 由于方程＝1表示椭圆， 所以m>0且m≠9.② 由①②得m的取值范围是[4，9)∪(9，＋∞)． 3．(2024·河南新乡模拟)已知直线l交抛物线C：y2＝18x于M，N两点，且MN的中点为(5，3)，则直线l的斜率为(　　 ) A． B． C．3 D． 解析：选C.易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则两式相减得＝18(x1－x2)，整理得， 因为MN的中点为(5，3)，则y1＋y2＝6， 所以k＝＝3，即直线l的斜率为3. 4．(多选)直线y＝kx－与椭圆＝1的位置关系可能为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 解析：选AB.直线y＝kx－＝k＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.将直线y＝x＋m与椭圆联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2， 设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1，F2， 则d1＝， ＝2，解得m＝或－3(舍去)． 6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2，|BF|＝1，则p＝(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选C.由题意可知直线AB的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为y＝k， 联立方程消去y后整理为k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0， 有x1x2＝， 又由|AF|＝2，|BF|＝1，可得x1＝2－， 则＝， 解得p＝. 7．(多选)关于双曲线C：＝1，下列说法正确的是(　　 ) A．该双曲线与双曲线＝1有相同的渐近线 B．过点F(3，0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条 C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈ D.过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点 解析：选ACD.双曲线C：＝1的渐近线方程可表示为＝0，双曲线＝1的渐近线方程可表示为＝0，整理后都是y＝±x，故A正确； 由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误； 由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确； 由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确． 8．(人教A版选择性必修一P128)已知斜率为2的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2，1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得＝0，即＝0，因为点P(2，1)是线段AB的中点，所以＝0，得＝0，又因为直线l的斜率为2，所以＝0，得a2＝b2，即a2＝c2－a2，所以C的离心率e＝. 答案： 9．(2024·河南郑州一模)直线l：x＋y－1＝0与椭圆C: ＋ ＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为________． 解析：直线l与椭圆C联立 得3x2－4x－2＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 所以|AB|＝. 由椭圆C知点P(2，0)，故点P到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝， 所以△ABP的面积为S＝·d＝. 答案： 10．已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 解：(1)由得 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)， 设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即y1＋y2＝. 又S△BMN＝＝＝， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 【综合应用题】 11．已知直线l：mx－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，当|AB|取最大值时m的值为(　　 ) A．± B．± C．± D．± 解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得(1＋4m2)x2＋8mx＝0，解得x1＝0或x2＝，则y1＝1，y2＝， 则A(0，1)，B， 所以|AB|＝ ＝8 ＝8 ＝8 ＝8， 所以当，即m＝±取最大值． 12．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．x2－＝1 解析：选D.因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 所以b＝a，则双曲线方程为＝1(a>0)，F1，F2， 所以直线l为y＝， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2－6ax＋11a2＝0， 则x1＋x2＝6a，x1x2＝11a2， 所以|MN|＝ ＝2＝16a， 因为|MF1|＝|MF2|＋2a，|NF1|＝|NF2|＋2a， 所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4a＝|MN|＋4a＝20a， 因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝36， 所以20a＋16a＝36，解得a＝1， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. 13．(多选)(2024·河南周口模拟)已知O为坐标原点，椭圆T：＝1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是(　　 ) A． B．若M(异于点F，O)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之积为－ C．若，则直线AB的斜率为± D．△AOB面积的最大值为3 解析：选BC.易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，由椭圆T的方程知F(1，0)，当x＝1时，y＝±的最小值为3，故A错误； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1≠x2，x0≠0，因为M为线段AB的中点， 所以x0＝， 又点A，B在椭圆T上， 所以＝1， 两式相减得， 所以， 即直线AB与OM的斜率之积为－，故B正确； 设直线AB的方程为x＝my＋1， 代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， 则y1＋y2＝， 因为，所以m≠0，y1＝－2y2， 所以y1＋y2＝－y2＝， 则y2＝， 所以y1y2＝，解得m＝±， 所以直线AB的斜率为±，故C正确； △AOB的面积S＝＝＝， 令＝t，则t≥1，S＝， 易知函数y＝3t＋在t∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为，故D错误． 14．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆＝1相切， 联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5， ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0， 且两平行直线间的距离为d＝， ∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5. 答案：5 15．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，长轴长为2a＝4， 解得a＝2，c＝1，则b2＝3， 所以椭圆C的标准方程是＝1. (2)易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称； 当k≠0时，有kAB＝， 设AB中点的坐标为(x0，y0)， 又 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0， 又y0＝k，解得x0＝1，y0＝， 因为线段AB的中点在椭圆内部， 所以<1，即<1， 解得－2<k<0或0<k<2， 综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2，2)． 【创新拓展题】 16．(2024·四川绵阳模拟)已知圆C：x2＋(y－3)2＝1，点P在抛物线T：x2＝4y上运动，过点P作圆C的切线l1，l2，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析： ∵圆C的标准方程为：x2＋(y－3)2＝1，∴圆心为(0，3)，半径为1， ∵点P在抛物线T：x2＝4y上运动，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A，B点． ∴CB⊥PB，CA⊥PA，|CA|＝|CB|＝1，易得△PAC≌△PBC， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×＝|PA|， ∵设P(a，b)，a2＝4b，则|PC|2＝a2＋(b－3)2＝(b－1)2＋8， 故|PC|2≥8(当b＝1时取等号)， |PA|＝， ∴S四边形PACB＝|PA|≥， 可知四边形PACB面积的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $