课下巩固精练卷(63) 直线的方程（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(六十三)　直线的方程 【基础巩固题】 1．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为(　　 ) A．45° B．135° C．90° D．180° 解析：选A.由题意知直线过点(－2，0)，(0，2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°. 2．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.依题意，是直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的倾斜角为120°. 3．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　 ) A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1 解析：选A.设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，即k1<0，k2>k3>0，故k1<k3<k2. 4．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点，则直线l的方程为(　　 ) A．x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y－4＝0 解析：选C.直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，∴其倾斜角为60°， ∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan 120°＝－， ∴直线l的方程为y＋1＝－，即x＋y－2＝0. 5．(2024·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　 ) A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0 解析：选C.因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)， 所以4a1＋3b1＋1＝0，4a2＋3b2＋1＝0. 由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上， 即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0. 6．(2024·淮南联考)已知直线l：y＝x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l(　　 ) A.向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D.设直线l的倾斜角为α，则tan α＝， 旋转后的直线斜率为tan (α＋45°)＝＝3， 又点P坐标为(0，1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Q， 因为直线l过点(－2，0)，所以把直线l向右平移个单位长度后经过点Q. 7．(多选)下列说法中正确的是(　　 ) A．若直线斜率为，则它的倾斜角为30° B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90° C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4) D．若直线的斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点 解析：选ABC.对于A，设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则由题意得tan α＝，所以α＝30°，故A正确； 对于B，因为A(1，－3)，B(1，3)，所以直线AB与x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为90°，故B正确； 对于C，因为直线过定点(1，2)，且斜率为tan 45°＝1，所以直线的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，易知4＝3＋1，故直线必过点(3，4)，故C正确； 对于D，不妨取y＝x，满足直线的斜率为，但显然该直线y＝x不过(1，1)与(5，4)两点，故D错误． 8．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是(　　 ) A．若ab>0，则直线l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90° C．直线l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0° 解析：选ABD.若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确； 若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确； 将(0，0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误； 若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确． 9．过点A(5，2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程为_________． 解析：当直线不过原点时，设直线的方程为＝1，把点A(5，2)代入可得＝1，解得a＝，此时直线方程为x＋2y－9＝0； 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点A(5，2)代入可得k＝，即2x－5y＝0. 综上可得，满足条件的直线方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 答案：2x－5y＝0或x＋2y－9＝0 10．(人教A版选择性必修一P67)△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求： (1)边BC上的中线所在直线的方程； (2)边BC上的高所在直线的方程； (3)边BC的垂直平分线的方程． 解：(1)BC的中点坐标为＝(3，5)， 则边BC上的中线所在直线的方程为y＝×(x－4)＝－5x＋20. (2)边BC的斜率为，则其上的高的斜率为－，且过A(4，0)， 则边BC上的高所在直线的方程为y＝－(x－4)＝－x＋6. (3)由(1)知BC的中点坐标为(3，5)，由(2)知高的斜率为－， 则边BC的垂直平分线的方程为y＝－(x－3)＋5＝－. 【综合应用题】 11．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　 ) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 解析：选BD.根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确； 当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确； 当α＝时，直线斜率不存在，C不正确； 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为 S＝≥1，D正确． 12．若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________． 解析：根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为＝1， 又因为C(－2，－2)在该直线上， 故＝1，所以－2(a＋b)＝ab. 又因为ab>0，故a<0，b<0. 根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16. 答案：16 13．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为________． 解析：由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)， 动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0， 令可得B(2，3)， 又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18， 因为， 所以|PA|＋|PB|≤＝6， 当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号， 即|PA|＋|PB|的最大值为6. 答案：6 14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)． (1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程． 解：(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限； 当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝＋1， 要使直线不经过第一象限， 则解得－2≤k<0. 综上，k的取值范围为[－2，0]. (2)由题意可得k>0， 由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0，得y＝， 所以S＝＝·(2＋k)＝＝4， 当且仅当k＝，即k＝2时取等号， 此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0. 【创新拓展题】 15．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．当圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为(　　 ) A．x＋y－＝0 B．x－y＋＝0 C．x－y＋＝0 D．x－y＋＝0 解析：选C.如图所示， 化A项中的直线方程为截距式得＝1，化B项中的直线方程为截距式得＝1，化C项中的直线方程为截距式得＝1，化D项中的直线方程为截距式得＝1.由图可知，直线在坐标轴上的截距的绝对值的最小值为，所以C项不是该正八边形的一条边所在的直线． 16．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为________． 解析：当过A(2，1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3，4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为面积相等的两个区域且kAB＝＝3， ∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)， 即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)． 答案：3x－y－5＝0(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $