课下巩固精练卷(46) 等差数列（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(四十六)　等差数列 【基础巩固题】 1．已知数列{an}是等差数列，a2＋a9＝3a6，公差d＝－4，则其前11项和等于(　　) A．44 B．22 C．－44 D．－22 解析：选A.由a2＋a9＝3a6，得a1＋(－4)＋a1＋8×(－4)＝3[a1＋5×(－4)]，解得a1＝24，所以前11项和S11＝11a1＋×d＝11×24＋55×(－4)＝44. 2．(2024·安徽十校联盟联考)“数列{an}，{bn}都是等差数列”是“数列{an＋bn}是等差数列”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若数列{an}，{bn}都是等差数列，设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，所以an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2为常数，所以数列{an＋bn}是等差数列． 若数列{an＋bn}是等差数列，如an＋bn＝2n＋(n－2n)＝n是等差数列， 而此时an＝2n，bn＝n－2n均不是等差数列， 所以“数列{an}，{bn}都是等差数列”是“数列{an＋bn}是等差数列”的充分不必要条件． 3．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　 ) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) 解析：选B.因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 4．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　 ) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 解析：选A.∵a1＝29，S10＝S20， ∴10a1＋d，解得d＝－2， ∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225， ∴当n＝15时，Sn取得最大值． 5．(2024·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.设数列{an}的公差为d，则由5S9＝9a9－36得5(9a1＋36d)＝9(a1＋8d)－36，则36(a1＋3d)＝－36，即a1＋3d＝－1，故a4＝a1＋3d＝－1. 6．(2024·青岛模拟)已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1，则b2 024－b2 023等于(　　 ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选C.∵an＋m＝am＋n，∴an－am＝n－m， ∵bn＝a2n＋1＋a2n－1， ∴b2 024＝a4 049＋a4 047，b2 023＝a4 047＋a4 045， ∴b2 024－b2 023＝(a4 049＋a4 047)－(a4 047＋a4 045)＝a4 049－a4 045＝4 049－4 045＝4. 7．(多选)(2024·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　 ) A．d>0 B．a1>0 C．S22<0 D．S21<0 解析：选AD.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 对于A，B，因为S11<S10<S12， 所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0， 故等差数列的首项为负，公差为正， 所以d>0，a1<0，故A正确，B错误； 对于C，由S10<S12，可知S12－S10＝a12＋a11>0，所以S22＝＝11(a11＋a12)>0，故C错误； 对于D，因为a11<0，所以S21＝21×＝21a11<0，故D正确． 8．(多选)(2024·南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则(　　 ) A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 解析：选AD.由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*， 记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*， 因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，故A正确； 第七日良马行走总里程为S7＝103×7＋×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为994<1 125，所以第七日良马未至齐，故B错误； 设第m日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即103m＋×0.5＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C错误； 由C可知，第九日二马相逢，此时良马行走总里程为S9＝103×9＋×13＝1 395，故D正确． 9．(人教A版选择性必修二P18)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，am－n＝_________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则⇒ 所以am－n＝a1＋(m－n－1)d＝m＋n－1－m＋n＋1＝2n. 答案： 2n 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由． 解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，解得λ＝3， 所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列{an}不可能为等差数列．理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)， 若存在常数λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3， 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， 这与{an}为等差数列矛盾， 故不存在常数λ，使得{an}是等差数列． 11．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d， 则解得 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2； 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 【综合应用题】 12．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且.设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为________． 解析：依题意，B，C，P三点共线， ∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×， 依题意，， ∴λ＝1－2×. 答案：－ 13．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________． 解析：因为等差数列{an}共有2n＋1项， 所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1＝132， 所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120， 所以， 解得n＝10. 答案：10 14．(2024·河南郑州期中)已知等差数列{an}的公差为整数，a3＝9，设其前n项和为Sn，且{}是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝a2n－1－80，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an} 的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得3d2－22d＋40＝0，解得d＝4或(舍去)， 故a1＝a3－2d＝1，an＝1＋4(n－1)＝4n－3. (2)依题意，bn＝a2n－1－80＝8n－87. 当n≤10时，|bn|＝87－8n，故Tn＝＝83n－4n2； 当n≥11时，|bn|＝8n－87，故Tn＝－b1－b2－…－b10＋b11＋b12＋…＋bn＝－2(b1＋b2＋…＋b10)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝4n2－83n＋860. 故Tn＝ 【创新拓展题】 15．(2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab等于(　　 ) A．－1 B．－ C．0 D． 解析：选B.方法一　由题意得an＝a1＋(n－1)， cos an+3＝cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝cos an， 所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列， 又cos a2＝cos ＝－cos a1－sin a1， cos a3＝cos ＝－cos a1＋sin a1， 因为集合S中只有两个元素， 所以有三种情况：cos a1＝cos a2≠cos a3， cos a1＝cos a3≠cos a2， cos a2＝cos a3≠cos a1. 下面逐一讨论： ①当cos a1＝cos a2≠cos a3时， 有cos a1＝－cos a1－sin a1， 得tan a1＝－， 所以ab＝cos a1(－cos a1＋sin a1) ＝ ＝ ＝ ＝. ②当cosa1＝cos a3≠cos a2时， 有cos a1＝－cos a1＋sin a1， 得tan a1＝， 所以ab＝cos a1(－cos a1－sin a1) ＝－cos2a1－sina1cos a1 ＝ ＝ ＝. ③当cosa2＝cos a3≠cos a1时， 有－cos a1－sin a1＝－cos a1＋sin a1，得sin a1＝0， 所以ab＝cos a1(－cos a1－sin a1)＝－cos2a1＝－(1－sin2a1)＝－. 综上，ab＝－. 方法二　取a1＝－，则cosa1＝， cos a2＝cos ＝， cos a3＝cos ＝－1， 所以S＝，ab＝－. 16．已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1＝1，an－1≤an(n＝2，3，…，k).若a1＋a2＋…＋ak＝8，则k的最大值是(　　 ) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：选B.由a1＝1，an－1≤an(n＝2，3，…，k)，得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]， 即3＋(3n－2)d≥0， 即d≥－，所以d≥－， 由a1＋a2＋…＋ak＝8，得8＝， 所以16＝2k＋k(k－1)d≥2k＋k(k－1)·， 因为k∈N*，k≥2， 整理得3k2－49k＋32≤0，所以k≤15. 所以k的最大值是15. 学科网（北京）股份有限公司 $