小测卷(20) 等差数列（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(二十)　等差数列 1．解析：由题可知⇒ 答案：B 2．解析：等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2，S2n－Sn＝6－2＝4， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成首项为2，公差为2的等差数列， 则S4n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＋(S4n－S3n)＝2＋4＋6＋8＝20. 答案：D 3．解析：设该二阶等差数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13， 由二阶等差数列的定义可知，a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，…， 所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，即an＋1－an＝2n， 所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，…，an＋1－an＝2n， 将所有上式累加可得an＋1＝a1＋＝n2＋n＋1，所以a13＝122＋12＋1＝157， 即该数列的第13项为a13＝157. 答案：B 4．解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝－18，S9＝－72，则有 解得 所以an＝，令an＝≤0，则n≤21，又a21＝0， 所以当n＝20或21时，Sn取最小值． 答案：D 5．解析：设Sn＝(2n＋1)nt，Tn＝(3n－1)nt，t≠0，则a8＝S8－S7＝136t－105t＝31t，b9＝T9－T8＝234t－184t＝50t，所以. 答案：B 6．解析：由题意知{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列， 所以|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240， 所以，即最长拉索所在直线的斜率为±. 答案：B 7．解析：公差不为0的等差数列{an}满足， 则(a1＋2d)2＋(a1＋3d)2＝(a1＋4d)2＋(a1＋5d)2， 整理得13d2＋10a1d＝41d2＋18a1d，则2a1＋7d＝0， a4＝a1＋3d＝－d≠0，A错误； a5＝a1＋4d＝d≠0，B错误； S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝4(2a1＋7d)＝0，C正确； S9＝9a1＋d＝9a1＋36d＝9(a1＋4d)≠0，D错误． 答案：C 8．解析：由题意，等差数列{an}，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立， 即S6是等差数列{an}的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0， 当a6＝0，此时S5＝S6，S5、S6是等差数列{an}的前n项和中的最小值， 此时a6＝a1＋5d＝0，即a1＝－5d，则. 当a6<0，a7≥0，此时S6是等差数列{an}的前n项和中的最小值， 此时a6＝a1＋5d<0，a7＝a1＋6d≥0，即－6≤<－5， 则，则有， 综合可得，所以的最小值为. 答案：C 9．解析：对于A，等差数列{an}中，a1＝10，公差d＝－2，则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋12，S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6＝0，故A正确； 对于B，由A的结论，an＝－2n＋12，则a6＝0，由d＝－2，当n<6时，an>0，a6＝0，当n>6时，an<0，则当n＝5或6时，Sn取得最大值，且其最大值为＝30，B错误； 对于C，|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6＋2＋4＋6＋8＝30＋20＝50，故C正确； 对于D，由n≤2 023，则an≥a2 023＝－4 034， 则数列{an}中与数列{3m＋10}中的项互为相反数的项依次为：－16，－22，－28，…，－4 030， 可以组成以－16为首项，－6为公差的等差数列，设该数列为{cn}，则cn＝－10－6n， 若cn＝－10－6n＝－4 030，解得n＝670，即两个数列共有670项互为相反数，D错误． 答案：AC 10．解析：∵点在直线x－y－＝0上， ∴， ∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列，B正确； ∴(n－1)＝n，D正确；∴an＝3n2，C错误； ∴an－an－1＝3n2－3(n－1)2＝6n－3，∴数列{an}不是等差数列，A错误． 答案：BD 11．解析：对于选项A：设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，故A正确； 对于选项B：若am＋an＝a2＋a10，则m＋n＝2＋10＝12，即＝1， 可得， 当且仅当，即n＝4m＝时，等号成立， 但m，n∈N*，所以的最小值不为，故B错误； 对于选项C：令an＝2n－11≤0，解得n≤， 又因为n∈N*，可得{an}的最后一个负项为第5项，且无零项， 所以Sn取最小值时n＝5，故C正确； 对于选项D：因为bn＝(2n－11)·2n， 则Tn＝(－9)×2＋(－7)×22＋…＋(2n－11)·2n， 可得2Tn＝(－9)×22＋(－7)×23＋…＋(2n－11)·2n+1， 两式相减得： －Tn＝(－9)×2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－11)·2n+1＝－18＋－(2n－11)·2n+1＝(13－2n)·2n+1－26， 所以Tn＝(2n－13)2n+1＋26，故D错误． 答案：AC 12．解析：由已知可得Hn＝＝2n， 所以a1＋2a2＋…＋2n-1an＝n·2n，① 所以n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n-2an－1＝(n－1)·2n-1，② ①－②得2n-1an＝n·2n－(n－1)·2n-1＝(n＋1)·2n-1， 即n≥2时，an＝n＋1， 当n＝1时，由①知a1＝2，满足an＝n＋1， 所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确； 所以Sn＝，所以，故，故C正确； S2＝5，S4＝14，S6＝27，S2，S4，S6不是等差数列，故D错误． 答案：ABC 13．解析：等差数列{an}的首项a1≠0，a9＝0，则＝0. 答案：0 14．解析：①当n为偶数时，an＋2＝an＋2，则偶数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 故a2＋a4＋…＋a100＝50×1＋×2＝2 500. ②当n为奇数时，an＋2＝－an＋2，即an＋an＋2＝2， 故a1＋a3＋…＋a90＝2×25＝50， 综上，S100＝2 550. 答案：2 550 15．解析：因为3，5，7的最小公倍数为105，而满足被3除余2、被5除余3、被7除余2的最小正整数为23，所以被3除余2、被5除余3、被7除余2的数构成首项为23，公差为105的等差数列，记为数列{an}，则an＝23＋105(n－1)＝105n－82， 所以2≤105n－82≤210＝1 024，则，又因为， 所以符合条件的a的个数为10. 答案：10 16．解析：由题，设子n代中Aa占比为an，则AA占比为1－an. 所以A∶a＝[2(1－an)＋an]∶an＝(2－an)∶an，则子(n＋1)代的基因型如下表所示， 雌雄 A a A AA Aa a 由表可得，表格中总份数为(其中淘汰了份)， 因此子(n＋1)代中Aa占比为＝an＋1， 化简得an＋1＝，即，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，因此a10＝. 答案： 17．解：(1)记等差数列{an}的公差为d， 由题知即解得 所以数列{an}的通项公式为an＝4－2n. (2)数列{an}的公差为－2，数列{5－3n}的公差为－3， 所以数列{bn}的公差为－6， 又数列{an}和{5－3n}的首项都为2， 所以数列{bn}是以2为首项，－6为公差的等差数列， 所以Tn＝2n＋×(－6)＝－3n2＋5n. 18．解：(1)a2＝10＋d，a5＝10＋4d，a7＝10＋6d， 又a2，a5，a7成等比数列，所以(10＋d)(10＋6d)＝(10＋4d)2， 化简得d2＋d＝0，解得d＝－1或d＝0，又d<0，所以d＝－1， 可得数列{an}的通项公式an＝10－(n－1)＝11－n. (2)由(1)得an＝11－n，由an＝11－n≥0，得1≤n≤11， 由an＝11－n<0，得n>11，设数列{an}的前n项和为Sn， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a60|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋a60)＝－S60＋2S11＝－＝1 280， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a60|＝1 280. 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(二十)　等差数列 一、单选题 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝(　　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝6，则S4n＝(　　 ) A．8 B．12 C．14 D．20 3．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为(　　) A．156 B．157 C．158 D．159 4．设等差数列{an}的前项和为Sn，且a1＋a5＝－18，S9＝－72，则Sn取最小值时，n的值为(　　 ) A．19 B．20 C．21 D．20或21 5．设等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若对于任意的正整数n都有，则＝(　　 ) A． B． C． D． 6．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A．± B．± C．± D．± 7．公差不为0的等差数列{an}满足：，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是(　　) A．a4＝0 B．a5＝0 C．S8＝0 D．S9＝0 8．已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则的最小值为(　　 ) A． B．2 C． D．4 二、多选题 9．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则(　　) A．S4＝S7 B．当n＝6或7时，Sn取得最小值 C．数列{|an|}的前10项和为50 D．当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N)共有671项互为相反数 10．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点在直线x－y－＝0上，则(　　 ) A．数列{an}是等差数列 B．数列{}是等差数列 C．数列{an}的通项公式为an＝3n D．数列{}的通项公式为n 11．已知等差数列{an}的前项n和为Sn，若a2＝－7，S5＝－25，则(　　) A．an＝2n－11 B．若am＋an＝a2＋a10，则的最小值为 C．Sn取最小值时n＝5 D．设bn＝an·2n，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2n－13)2n＋26 12．定义Hn＝为数列{an}的“优值”．已知某数列的“优值”Hn＝2n，前n项和为Sn，下列关于数列{an}的描述正确的有(　　 ) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为递增数列 C． D．S2，S4，S6成等差数列 三、填空题 13．知等差数列{an}的首项a1≠0，而a9＝0，则＝______． 14．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝(－1)nan＋2，则{an}的前100项和为_________． 15．《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整数除以三余二，除以五余三、除以七余二，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[0，210]时，符合条件的a的个数为______． 16．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代．若某生物群体的基因型为Aa，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为aa的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰．例如，当亲代只有Aa基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示： 雌雄 A a A AA Aa a 由上表可知，子1代中AA∶Aa＝1∶2，子1代产生的配子中A占，a占.以此类推，则子10代中Aa个体所占比例为_____________． 四、解答题 17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5＝a7，a3＝－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)将数列{an}与{5－3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn. 18．在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1＝10，且a2，a5，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a60|的值． 学科网（北京）股份有限公司 $