课下巩固精练卷(21) 导数的概念及其意义、导数的运算（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(二十一)　导数的概念及其意义、导数的运算 【基础巩固题】 1．(多选)下列结论中不正确的是(　　 ) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析：选ACD.对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误． 2．设f(x)为可导函数，且满足＝3，则曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线的斜率是(　　 ) A.1 B．3 C．6 D．9 解析：选D.依题意，＝＝3，则f′(3)＝3，即f′(3)＝9，所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线的斜率是9. 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　 ) A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5) B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5) D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3) 解析：选A.由图可知，f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5). 4．(2024·江苏南京二模)曲线y＝ln (x－1)2在原点处的切线方程为(　　 ) A.y＝x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝－2x 解析：选D.由题意，令y＝f(x)＝ln (x－1)2，f′(x)＝，则f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切线方程为y＝－2x. 5．(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b等于(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B.因为f(x)＝a ln x＋x2， 所以f′(x)＝＋2x. 又函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0， 所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1， 则f(x)＝ln x＋x2， 所以f(1)＝1，代入切线方程得3－1＋b＝0， 解得b＝－2，故a＋b＝－1. 6．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　 ) A． B．2 C．3 D．0 解析：选A.设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行， ∵y′＝，∴＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)， ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 7．(多选)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，则下列结论正确的是(　　 ) A．l斜率最小时的切点坐标为 B．l斜率最小时的切点坐标为 C．切线l的倾斜角α的取值范围为 D．l斜率的取值范围为k≤1 解析：选BC.∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝， ∴斜率最小时的切点坐标为，最小斜率k＝－1，∴A错误，B正确． 由k≥－1，得tan α≥－1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈， 故α的取值范围为，∴C正确，D错误． 8．设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直．则a的值为________． 解析：∵y＝e2ax，∴y′＝2a·e2ax， ∴曲线在点(0，1)处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a， ∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直， ∴2a×2＝－1，∴a＝－. 答案：－ 9．(2024·陕西榆林模拟)已知曲线f(x)＝x2与g(x)＝ln (ax)(a>0)有公共切线，则实数a的最大值为________． 解析：设曲线f(x)＝x2与g(x)＝ln (ax)(a>0)的切点分别为(x1，)，(x2，ln (ax2))， 因为f′(x)＝2x，g′(x)＝， 所以k1＝2x1，k2＝， 所以y－＝2x1(x－x1)，y－ln (ax2)＝(x－x2)， 所以得＋ln (ax2)－1＝0，即1－ln a＝＋ln x2， 令h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝， 当0<x<时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 故h(x)≥h()＝＋ln ，即1－ln a≥＋ln ，即ln a≤ln ，即0<a≤. 答案： 10．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x. (1)求f′(e)及f(e)的值； (2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程． 解：(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x， ∴f(e)＝－＋ln e＝－1. (2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋， ∴f(e2)＝2－2e，f′(e2)＝－＋， ∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，即(2e－1)x＋e2y－e2＝0. 【综合应用题】 11．(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)＝a sin 3x＋bx3＋3(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 023)＋f(－2 023)＋f′(2 024)－f′(－2 024)＝(　　 ) A．0 B．2 023 C．2 024 D．6 解析：选D.依题意，得f(x)的定义域为R，令g(x)＝a sin 3x＋bx3，则g(－x)＝a sin 3(－x)＋b(－x)3＝－g(x)，即g(x)是奇函数，有g(2 023)＋g(－2 023)＝0，则f(2 023)＋f(－2 023)＝g(2 023)＋3＋g(－2 023)＋3＝6，又f′(x)＝3a cos 3x＋3bx2，且有f′(－x)＝3a cos 3(－x)＋3b(－x)2＝f′(x)，即f′(x)是偶函数，f′(2 024)－f′(－2 024)＝0，所以f(2 023)＋f(－2 023)＋f′(2 024)－f′(－2 024)＝6. 12．(2024·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设曲线y＝tex切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)， 则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem， 同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2， 根据y＝tex与y＝x2有两条公切线， 则所以tem－mtem＝，化简可得t＝具有两个交点， 转化为t＝有两个解，构造函数f(x)＝， 则f′(x)＝， 当x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 故f(x)在x＝2时有极大值即为最大值，故f(2)＝， 当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0， 故t的取值范围为(0，). 13．(多选)对于函数f(x)＝ln x－1，则下列判断正确的是(　　 ) A．直线y＝是f(x)过原点的一条切线 B．f(x)关于y＝x对称的函数是y＝ex－1 C．若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则ln a<b＋1 D．f(x)≤x－2 解析：选ACD.对于A，设切点为(m，ln m－1)， 则k＝f′(m)＝， ∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2， ∴m＝e2，k＝. ∴过原点的切线方程为y＝，故A正确； 对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x⇒ey＋1＝x，故与f(x)关于y＝x对称的函数为y＝ex＋1，故B错误； 对于C，若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则点(a，b)在f(x)上方，如图所示， 即b>f(a)，即b>ln a－1，故C正确； 对于D，由于∀x>0， 设g(x)＝x－ln x－1⇒g′(x)＝， 令g′(x)>0⇒x>1，令g′(x)<0⇒0<x<1， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴g(x)≥g(1)＝0⇒ln x≤x－1⇒f(x)≤x－2， 故D正确． 14．已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1>k2)是曲线y＝ax＋2ln |x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝________． 解析：由已知得曲线的切线过点(0，0)， 当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x， 设x1>0，直线y＝k1x在曲线上的切点为(x1，ax1＋2ln x1)，＝a＋， ∴切线方程为y－(ax1＋2ln x1)＝(x－x1)， 又切线过点(0，0)， ∴－ax1－2ln x1＝(－x1)， ∴x1＝e，k1＝a＋； 同理，当x<0时，曲线为y＝ax＋2ln (－x)， 设x2<0，直线y＝k2x在曲线上的切点为(x2，ax2＋2ln (－x2))，＝a＋， ∴切线方程为y－[ax2＋2ln (－x2)]＝(a＋)(x－x2)， 又切线过点(0，0)， ∴－ax2－2ln (－x2)＝(－x2)， ∴x2＝－e，k2＝a－，∴k1－k2＝. 答案： 15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋， ∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)， 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)， ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6， 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 【创新拓展题】 16．若函数f(x)＝＋ln (x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　 ) A．a≤1 B．a<0 C．a≥1 D．a≤0 解析：选A.因为函数f(x)＝＋ln (x＋1)(x>－1)， 所以f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥－a－1＝1－a， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立， 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1. 17．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是(　　 ) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：选ABC.对于A，由f(x)＝sin x＋cos x，得f′(x)＝cos x－sin x，则f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)，因为x∈，所以f″(x)＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数；对于B，由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，则f″(x)＝－，因为x∈，所以f″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数；对于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，则f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因为x∈，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函数不是凸函数． 学科网（北京）股份有限公司 $