小测卷(34) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(三十四)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝4，点P在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A、B，求△F1AB面积最大时直线l的方程． 2．已知动点M到定点F(1，0)的距离与动点M到定直线x＝2的距离之比为. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)对∀k∈R，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求的取值范围． 4．已知双曲线C1：＝1的离心率为分别是其左右焦点，过点F2的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限．当直线PA的斜率不存在时，|PA|＝2. (1)求双曲线的标准方程； (2)线段PF1交圆C2：(x＋c)2＋y2＝4a2于点B，记△PF2B，△AF2F1，△PAF1的面积分别为S1，S2，S，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(三十四)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，则F1(－2，0)、F2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝， 得a＝，所以b＝， 因此椭圆E的标准方程为＝1. (2)由题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立消去可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 由韦达定理可得y1＋y2＝－， 所以S△F1AB＝＝2＝， 令t＝＝， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 2．解：(1)设M(x，y)(x≠2)，则， 即2[(x－1)2＋y2]＝(x－2)2，整理得＋y2＝1， 所以点M的轨迹C的方程为＋y2＝1. (2)假设曲线C上始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称， 当k≠0时，设直线AB方程为y＝A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得x＋2t2－2＝0， 则Δ＝(2t2－2)＝－8t2＋8>0， 所以t2<1＋. 设AB的中点为(x0，y0)， 则x0＝， 将(x0，y0)代入y＝kx＋b，则b＝y0－kx0＝， 所以t＝－b，所以<对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， 即b2<对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， 因为∈(0，1)，所以b2≤0，则b＝0. 易知当k＝0时，曲线C上存在两点，关于直线y＝0对称． 所以b的取值范围为{0}． 3．解：(1)由题意知∴故椭圆C的标准方程为＝1. (2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，其中k<0，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立∴(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，x1＋x2＝， ∴|PM|＝＝＝，∴＝|x1|＋|x2|， 若k≤－，则x1≥0，x2≥0，∴|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝∈， 若－＝x2－x1＝， 令＝m，∴1<m<2，∴x2－x1＝， 因为y＝在(1，2)单调递减，所以x2－x1＝∈， 综上：的取值范围为. 4．解：(1)因为双曲线C1：＝1的离心率为， 所以e＝＝2， 所以.解得a＝b＝，所以双曲线的方程为＝1. (2)设P(x1，y1)，则＝1，且， 所以|PF1|＝ ＝ex1＋a， 由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a， 所以|PF2|＝ex1－a，则|PB|＝|PF1|－2a＝|PF2|， 所以， ＝λ＋1， 所以＋2， 当且仅当λ＝时，等号成立， 所以的最小值为2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $