小测卷(9) 函数零点及函数应用（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(九)　函数零点及函数应用 一、单选题 1．已知函数f(x)在区间区间[-2,2]上的图象连续不断，则“f(x)在区间[-2,2]上有零点”是“f(-2)·f(2)<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 2．函数f＝sin 2x＋cos x在内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知x0是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0 4．用二分法求函数f＝ln ＋x－1在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 5．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A，放电时间为(　　) A．28 h B．28.5 h C．29 h D．29.5 h 6．已知函数f(x)＝x3＋(m－1)x2＋(n－m－1)x－n＋1在区间(－1，1]上有三个不同的零点，则m2－n2的取值范围是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 7．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1 min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度y ℃与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①y＝kax＋25，②y＝kx＋b. 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(　　) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．6 min B．6.5 min C．7 min D．7.5 min 8．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(m2＋3)f(x)＋m3－m2＋3m＝0有且仅有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2>0 B．x1x2<0 C．＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2<1 10．已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰好有4个不同的零点，则实数t的取值可以是(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．2 11．已知函数f(λ∈R)，g(x)＝f(x)－m，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝0时，函数f(x)有3个零点 B．当λ＝2时，若函数g(x)有三个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2) C．若函数f(x)恰有2个零点，则λ∈[2，4) D．若存在实数m使得函数g(x)有3个零点，则λ∈(－∞，3) 12．已知函数f(x)＝x4，则(　　) A．a的取值范围是(0，1) B．x2－x1的取值范围是(0，1) C．x3＋x4＝4 ＝2 三、填空题 13．函数f(x)＝ex－x－6的零点所在区间为(n，n＋1)(n∈N)，则n＝_________________. 14．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2－f[f(x)]的所有零点之积等于______． 15．2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v＝v0·ln ，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位：m/s)，其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为800 m/s，根据以上信息： (1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________m/s； (2)若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________． (所有结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609，e≈2.718) 16．已知函数f(x)＝其中a∈R.若a＝0，则函数f(x)的值域是______；若函数y＝f(x)－1有且仅有2个零点，则a的取值范围是______． 四、解答题 17．在①函数y＝f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1只有一个交点；②函数y＝f(x)过点(1，－1)，且不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，这两个条件中选择一个补充在下面问题中，并解答： 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且________． (1)求f(x)的解析式； (2)若方程mf(2x)－2x+1－2＝0有且仅有一个实根，求实数m的取值范围． 18．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝－x＋b；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(九)　函数零点及函数应用 1．解析：已知函数f(x)在区间(-2，2）上的图象连续不断，根据零点存在性定理，若f(-2)·f(2)<0，则f(x)在区间[-2,2]上有零点； 若有f(-2)=0或者f(2)=0在区间[-2,2]上有零点,但是f(-2)·f(2)<0不成立， 答案：B 2．解析：当x∈时，由＝sin 2x＋cos x＝2sin x cos x＋cos x＝cos x(2sin x＋1)＝0可得cos x＝0或sin x＝－， 由cos x＝0可得x＝，方程sin x＝－在x∈时无解． 综上所述，函数＝sin 2x＋cos x在内的零点个数为1. 答案：B 3．解析：令f(x)＝＋ln x＝0，从而有ln x＝，此方程的解即为函数f(x)的零点． 在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝的图象，如图所示． 由图象易知，>ln x1，从而ln x1－<0，故ln x1＋<0，即f(x1)<0. 同理f(x2)>0. 答案：D 4．解析：开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过n次操作后，区间长度变为， ∵用二分法求函数＝ln ＋x－1在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01，∴≤0.01，解得n≥7, 所需二分区间的次数最少为7. 答案：C 5．解析：根据题意可得C＝57·10n， 则当I＝15 A时，57·10n＝15n·t， 所以t＝57·＝28.5 h， 即当放电电流I＝15 A，放电时间为28.5 h. 答案：B 6．解析：令f(x)＝0，得x3＋(m－1)x2＋(n－m－1)x－n＋1＝0， 所以x3－x2＋mx2－mx＋(n－1)x－(n－1)＝0， 所以x2(x－1)＋mx(x－1)＋(n－1)(x－1)＝0， 所以(x－1)(x2＋mx＋n－1)＝0，则x＝1或x2＋mx＋n－1＝0. 由题意得方程x2＋mx＋n－1＝0在区间(－1，1)内有两个不同的实数根， 设两根分别为x1，x2(x1≠x2)则Δ＝m2－4(n－1)>0，x1＋x2＝－m，x1x2＝n－1， 所以m＝－(x1＋x2)，n＝x1x2＋1， 所以m2－n2＝(x1＋x2)2－(x1x2＋1)2＝. 因为x1，x2∈(－1，1)，所以0≤<1，0≤<1，所以－1≤－1<0，－1≤－1<0. 又x1≠x2，所以－1<－<0，即m2－n2的取值范围是(－1，0)． 答案：B 7．解析：由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6，5.4，4.86，4.37，3.94，呈现越来越小的变化趋势，故选用模型①为更符合实际的模型． 当x＝0时，y＝85.00，代入y＝kax＋25，得85＝k＋25，解得k＝60. ∴y＝60ax＋25.当x＝1时，y＝79.00，可得79＝60a＋25，解得a＝， ∴y＝60·＋25，由55＝60·＋25，得，＝lg ＝x lg ， x＝≈6.5 min， 故刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5 min. 答案：B 8．解析：设g(x)＝f(x)＋m＝则f(x)＝g(x)－m， 又[f(x)]2－(m2＋3)f(x)＋m3－m2＋3m＝[f(x)－m][f(x)－m2＋m－3]＝0， 所以[g(x)－2m][g(x)－m2－3]＝0，则g(x)＝2m或g(x)＝m2＋3. ①当x>－1时，g(x)＝，求导得g′(x)＝. 当－1<x<0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(－1，0)上单调递增； 当x>0时，g′(x)<0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为x>－1，所以x＋1>0，ex>0⇒g(x)>0. 又g(0)＝2，当x>－1且x→－1时，g(x)→0＋； 当x→＋∞时，g(x)→0＋. ②当x≤－1时，g(x)＝(x＋2)2－1，g(－1)＝， 根据以上信息，作出函数g(x)的大致图象如图所示． 观察图象可得，函数y＝g(x)的图象与函数y＝m2＋3的图象仅有1个交点， 所以函数y＝g(x)的图象与函数y＝2m的图象有3个交点， 则<2m<2⇒<m<1，所以实数m的取值范围为. 答案：A 9．解析：x1，x2分别为直线y＝－x与y＝ex和y＝ln x的交点的横坐标， 因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线y＝x对称， 而直线y＝－x、y＝x的交点是坐标原点， 故x1＋x2＝x2＝0， x1x2－x1＋x2－1＝<0，故x1x2－x1＋x2<1. 答案：BCD 10．解析：由题意可知，当x≤0时，f(x)在(－∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)＝t； 当x>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)>2ln 1－1＝－1； 若函数y＝f(f(x))恰好有4个不同的零点， 令u＝f(x)，则y＝f(u)有两个零点，可得： 当u>0时，则2ln (u＋1)－1＝0，解得u＝－1>0； 当u<0时，则u2－2u＋t＝0，可得 可得f(x)＝－1和f(x)＝1－均有两个不同的实根， 即y＝f(x)与y＝－1、y＝1－均有两个交点， 不论t与－1的大小关系，则且解得－3<t≤0， 综上所述：实数t的取值范围为(－3，0]. 且－3∉(－3，0]，－2∈(－3，0]，0∈(－3，0]，2∉(－3，0]，故A、D错误，B、C正确． 答案：BC 11．解析：对于A，当λ＝0时，f(x)＝令f(x)＝0，由ex－1＝0可得x＝0， 由－x2＋6x－8＝0，可得x＝2或x＝4，满足题设，故A正确； 对于B：当λ＝2时，f(x)＝若g(x)有三个零点，即f(x)与y＝m有三个交点，如图所示： ∴0<m<1，当m趋向于0时，恒有x1＋x2＋x3>6，当m趋向于1时，恒有x1＋x2＋x3<6＋ln 2，故B正确； 对于C，同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线x＝λ移动过程中，当λ＝(－∞，0)∪[2，4)时，f(x)恰有2个零点，故C错误； 对于D，同C项分析，要使g(x)有3个零点，必有λ∈(－∞，3)，故D正确． 答案：ABD 12．解析：y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解． f(x)的图象如图所示，由图可知0<a<1，x1<0，0<x2<1，所以x2－x1>0， 即x2－x1的取值范围是(0，＋∞)，故A正确，B错误； 由二次函数的对称性，可得x3＋x4＝4，故C正确； 因为－1，所以＝2，故，故D错误． 答案：AC 13．解析：f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为f(2)＝e2－8<0，f(3)＝e3－9>0， 所以存在唯一的x0∈(2，3)，使得f(x0)＝0， 又因为函数f(x)＝ex－x－6的零点所在区间为(n，n＋1)(n∈N)， 所以n＝2. 答案：2 14．解析：求函数g(x)＝2－f[f(x)]的所有零点，则等价于求方程＝2的根， 当x≤0时，＝2x>0，则f＝－x＝2，解得x＝－2； 当x>0且x≠1时，>0，则f＝2， log2＝±2，可得＝4或，即log2x＝±4或log2x＝±， 解得x＝或16或或； 当x＝1时，f＝20＝1，不符合题意． 综上，－2×＝－2. 答案：－2 15．解析：(1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：v＝800·ln 50＝800·≈800·(2×1.609＋0.693)＝3 128.8≈3 129； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为总质比为，要使火箭的最大速度至少增加800， 则1 600·ln －800·ln ≥800，即 2·ln －ln ≥1， 即ln －ln ≥1，即 ln ≥1，所以≥25e≈67.95≈68， 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68. 答案：(1)3 129　(2)68 16．解析：(1)a＝0时，f(x)＝ 当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0, 当x<1时，f(x)＝x2≥0， 综上：f(x)≥0，即函数f(x)的值域是[0，＋∞)． (2)y＝f(x)－1＝ 当x≥1时，令ln x－1＝0，得x＝e， 故在[1，＋∞)上，函数y＝f(x)－1有一个零点x＝e， 当x<1时，设g(x)＝(x＋a)2－1， 由题意可知：g(x)＝(x＋a)2－1在(－∞，1)上有且仅有一个零点， 所以或g(1)<0，解得a＝0或－2<a<0， 所以a的取值范围是(－2，0]. 答案：[0，＋∞)　(－2，0] 17．解：(1)选①， ∵f(x＋1)－f(x)＝2x－1， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x－1，即2ax＋a＋b＝2x－1， 故解得故f(x)＝x2－2x＋c， 又∵函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1只有一个交点， ∴f(1)＝－1，即1－2＋c＝－1，解得c＝0，故f(x)＝x2－2x. 选②， ∵不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的解为0，2， 故f(x)＝ax(x－2)， 又∵函数y＝f(x)过点(1，－1)，∴f(1)＝－a＝－1，解得a＝1，故f(x)＝x2－2x. (2)令2x＝t(t>0)， ∵方程mf(2x)－2x+1－2＝0有且仅有一个实根， ∴方程mf(t)－2t－2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个实根， 即m(t2－2t)－2t－2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个实根， 当t＝2时，方程m(t2－2t)－2t－2＝0不成立，故t＝2不是方程的一个根， 即m＝在(0，＋∞)上有且仅有一个实根， 令t＋1＝n，则m＝， ∵g(n)＝n＋－4在上单调递减，在上单调递增， ∴当n∈时，g(n)∈， 当n∈时，g(n)∈， 故当g(n)＝2－4或g(n)>0时， m＝在(1，＋∞)上有且仅有一个实根， 当g(n)＝2－4时，m＝， 当g(n)>0时，m＝>0， 故m的取值范围为{－2－}∪(0，＋∞)． 18．解：(1)由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增， 而①y＝－x＋b是单调递减，所以不符合题意； 将代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)， 得解得∴y＝. 当x＝9时，y＝＝8，不符合题意； 将代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)， 得解得∴y＝log2(x－1)， 当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4， 故可用③来描述x，y之间的关系． (2)由题知log2(x－1)≥6，解得x≥65. ∵年利润<10%，∴该企业要考虑转型． 学科网（北京）股份有限公司 $