专题06 角及角有关的计算问题（7大考点）（期末真题汇编，江西专用）七年级数学上学期新教材

专题06 角及角有关的计算问题 7大高频考点概览 考点01 方位角中求角的度数问题 考点02 与角有关的多解题问题 考点03 角的有关计算问题 考点04 一副三角板中角的问题 考点05 钟面角问题 考点06 角中旋转探究问题 考点07 角中的新定义型问题 地 城 考点01 方位角中求角的度数问题 1．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，点A在点O的北偏东方向，，则点B相对于点O的方向是（　　）    A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 2．(24-25七上·江西赣州大余县·期末)学校在图书馆北偏西的方向上，则图书馆在学校（   ）的方向上 A．南偏东 B．南偏西 C．东偏南 D．南偏东 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，货船A与港口B相距40海里，货船A相对港口B的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 4．(24-25七上·江西南昌雷式学校·期末)如图，一艘货轮从O点出发沿北偏西方向航行经过点A，一艘客轮从O点出发沿南偏东方向航行经过点B，则的度数为 ． 5．(24-25七上·江西赣州经开区·期末)如图在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，同时轮船B在南偏东17°的方向，那么的大小为 ． 6．(24-25七上·江西南昌南昌中学教育集团·期末)如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 7．(24-25七上·江西上饶余干县·期末)小明家O，学校A和公园C的平面示意图如图所示，图上距离，． (1)学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？ (2)若学校A到小明家O的实际距离是，求公园C到小明家O的实际距离． 地 城 考点02 与角有关的多解题问题 1．(24-25七上·江西赣州龙南·期末)以的顶点O为端点引射线，使．若，则的度数为 ． 2．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)射线，，，是同一平面内互不重合的四条射线，，，，则的度数为 ． 3．(24-25七上·江西南昌部分学校·期末)如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ． 4．(24-25七上·江西景德镇·期末)如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点O在的内部作射线，若射线与，，中任意一条射线所成夹角为时，的度数为 ． 5．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    6．(24-25七上·江西南昌外国语学校教育集团·期末)从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB＝40°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，则∠AOC＝ °． 7．(24-25七上·江西吉安遂川县·期末)如图，点在直线上，是直线上方变化的角，且，当或是某个角的平分线时，的度数为 ． 8．(24-25七上·江西南昌第二十八中学教育集团·期末)如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 地 城 考点03 角的有关计算问题 1．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25七上·江西宜春高安·期末)如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 4．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)若一个角是34，则这个角的余角是 . 5．(24-25七上·江西上饶弋阳县·期末)如果一个角的余角等于这个角的补角的，那么这个角的度数是 ． 6．(24-25七上·江西赣州安远县·期末)如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    7．(24-25七上·江西南昌外国语学校教育集团·期末)如图，是直线上的点，是的平分线，若，则 ． 8．(24-25七上·江西赣州龙南·期末)如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE，求∠DOB的度数． 9．(24-25七上·江西宜春高安·期末)如图所示，点是直线上一点，，平分．若，求的度数． 10．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 11．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，，． (1)的余角有： ； (2)若，求的度数． 12．(24-25七上·江西赣州大余县·期末)如图，平分，平分，，． (1)求的度数； (2)求和的度数． 13．(24-25七上·江西九江修水县·期末)如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 14．(24-25七上·江西赣州上犹县·期末)如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有________（填图中已有的角）； (2)求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 15．(24-25七上·江西赣州经开区·期末)如图，在内部任意画一条射线，平分，平分． (1)依据题意，将下列几何语言补充完整． ∵平分，∴______； ∵平分  ∴______＝______； (2)若，求的度数； (3)若的度数比度数的一半多，且，求的度数． 16．(24-25七上·江西赣州瑞金·期末)如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，其它条件不变，求是多少度？ 17．(24-25七上·江西新余·期末)如图：点在直线上，，是的平分线， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 19．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 20．(24-25七上·江西鹰潭余江区·期末)已知O是直线上的一点，（本题中角的度数均为大于且小于等于）． (1)如图1，若平分，平分，则_____． (2)在（1）的条件下，如图2，若平分，求的值． 21．(24-25七上·江西吉安遂川县·期末)如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD、OE．并且使OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)若∠AOB＝50°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOD=110°，∠BOE=100°，求∠AOE的度数； (3)当∠AOD=n°时，则∠BOE=(150- n)°，求∠BOD的度数． 22．(24-25七上·江西吉安·期末)已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 23．(24-25七上·江西宜春高安·期末)与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 24．(24-25七上·江西上饶弋阳县·期末)点是直线上一点，是直角，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕点按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 25．(24-25七上·江西南昌雷式学校·期末)已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 地 城 考点04 一副三角板中角的问题 1．(24-25七上·江西赣州南康区·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25七上·江西吉安峡江县·期末)如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·江西九江修水县·期末)一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 4．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，一副三角板的两个直角顶点重合，若，那么的大小为 ． 5．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)找出以为顶点的相等的角（原三角板的等角除外），并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想：与之间的数量关系是什么？请说明理由． 6．(24-25七上·江西南昌南昌中学教育集团·期末)一副三角板与中，，，，． (1)将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则______°；______°；______°； (2)将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，平分，平分，若，求的度数； 7．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 8．(24-25七上·江西南昌部分学校·期末)【实践操作】三角尺中的数学． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则______； ②猜想：请直接写出与的数量关系：______． (2)如图2，两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，，求的度数． 地 城 考点05 钟面角问题 1．(24-25七上·江西九江修水县·期末)（课本再现）下表列出了国外几个城市与北京的时差． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差 其中北京时间与纽约时间相差13小时，如北京时间为2025年1月1日上午9点时，则纽约时间为2024年12月31日20点． (1)当北京时间为0点时，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度；此时，纽约时间时钟的时针与分针的夹角是______度．经过分钟后，纽约时间时针与分针第一次重合，此时，______，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度． (2)小明与小亮都爱好数学，小明在九江，小亮在纽约，他们约定，当纽约时间进入2025年元旦后同时互发微信进行新年的祝福，互发的时间是：两地时间时钟的时针与分针的第一次出现夹角相等的时间，求这个互发的时间及夹角的度数． 2．(24-25七上·江西景德镇·期末)【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为________，________； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【拓展提升】 （3）如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟后，，请你求出t的值． 地 城 考点06 角中旋转探究问题 1．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数． 2．(24-25七上·江西南昌立德中学·期末)如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 3．(24-25七上·江西赣州南康区·期末)点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在O处，射线平分． (1)如图（1），若，则______； (2)将图（1）中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图（2）的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方． ①试探究的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由； ②当时，求的度数． 地 城 考点07 角中的新定义型问题 1．(24-25七上·江西上饶余干县·期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 2．(24-25七上·江西新余·期末)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图1，在的内部引一条射线，则图中共有3个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线 这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数： (3)如图3，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时t的值． 4．(24-25七上·江西南昌立德中学·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．    (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_____； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 5．(24-25七上·江西宜春高安·期末)定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），，，则OP为的近似黄金分割线． (1)若，为的近似黄金分割线，则______； (2)如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线在直线上方绕O点转动时，始终分别为和的近似黄金分割线，当时，求的度数（可以用含的代数式表示）； (3)在（2）的基础上，若恰好为的平分线，求的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 角及角有关的计算问题 7大高频考点概览 考点01 方位角中求角的度数问题 考点02 与角有关的多解题问题 考点03角的有关计算问题 考点04 一副三角板中角的问题 考点05 钟面角问题 考点06 角中旋转探究问题 考点07 角中的新定义型问题 地 城 考点01 方位角中求角的度数问题 1．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，点A在点O的北偏东方向，，则点B相对于点O的方向是（　　）    A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 【答案】A 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：如图，    因为点A在点O的北偏东方向， 所以， 所以 ， 所以点B相对于点O的南偏东方向， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键． 2．(24-25七上·江西赣州大余县·期末)学校在图书馆北偏西的方向上，则图书馆在学校（   ）的方向上 A．南偏东 B．南偏西 C．东偏南 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题考查了方向角．根据方向的相对性，方向相反，角度相等，距离不变来分析即可求解． 【详解】解：学校在图书馆北偏西的方向上， 根据方向的相对性，方向相反，角度相等，距离不变可知： 图书馆在学校南偏东的方向上． 故选：A． 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，货船A与港口B相距40海里，货船A相对港口B的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】D 【分析】本题主要考查的是方向角的概念．根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：由图形可知：货船A相对港口B的位置可描述为北偏东方向，相距40海里处． 故选：D． 4．(24-25七上·江西南昌雷式学校·期末)如图，一艘货轮从O点出发沿北偏西方向航行经过点A，一艘客轮从O点出发沿南偏东方向航行经过点B，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据题意可知，，，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方向角的相关计算，熟练掌握方向角的概念是解题关键． 5．(24-25七上·江西赣州经开区·期末)如图在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，同时轮船B在南偏东17°的方向，那么的大小为 ． 【答案】141 【分析】利用方向角的定义求解即可． 【详解】 ∵A在北偏西56， ∴， ∵B在南偏东17， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：141． 【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数． 6．(24-25七上·江西南昌南昌中学教育集团·期末)如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ∴， 故答案为：． 7．(24-25七上·江西上饶余干县·期末)小明家O，学校A和公园C的平面示意图如图所示，图上距离，． (1)学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？ (2)若学校A到小明家O的实际距离是，求公园C到小明家O的实际距离． 【答案】(1)学校A在小明家O的北偏东方向，公园C在小明家O的北偏西方向 (2)公园C到小明家O的实际距离是 【分析】本题主要考查方向角的概念、比例尺，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． （1）根据方位的描述方法分别得出学校A和公园C的位置； （2）首先根据学校A到小明家的图上距离和实际距离得出比例尺，然后根据比例尺和图上距离求出公园C到小明家的实际距离． 【详解】（1）解：∵，， ∴学校A在小明家O的北偏东方向，公园C在小明家O的北偏西方向． （2）解：∵学校A到小明家O的实际距离是，且， ∴平面图上代表的实际距离是， ∴平面图上代表的实际距离是， 故公园C到小明家O的实际距离是． 地 城 考点02 与角有关的多解题问题 1．(24-25七上·江西赣州龙南·期末)以的顶点O为端点引射线，使．若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，分当射线在内部时，当射线在外部时，两种情况根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内部时， ∵，， ∴； 如图2所示，当射线在外部时， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或 故答案为：或． 2．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)射线，，，是同一平面内互不重合的四条射线，，，，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的有关计算，通过题意分别画出不同情况的图形，利用各个角的和或差进行计算即可．分三种情况画图分别进行解答，即①在的外部，在的内部，②在的外部，在的外部，③在的内部，在的外部． 【详解】解：如图， 则， ∴； 如图， 则， ∴； 如图， 则， ∴； 综上可得的度数为或或； 故答案为：或或． 3．(24-25七上·江西南昌部分学校·期末)如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差，分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ∵， ∴； ②当时，射线是的“平衡线”， ∵， ∴， ∴； ③当时，射线是的“平衡线”， ∵，， ∴， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ∵，， ∴， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 4．(24-25七上·江西景德镇·期末)如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点O在的内部作射线，若射线与，，中任意一条射线所成夹角为时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查垂直、角平分线的计算和分类讨论思想．分三种情况讨论：当和当及当，分别求得即可． 【详解】解：当，如图， ，， ； 当，如图， ， ， 平分， ， 则； 当，如图， 综上所述，为或或． 5．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了角的和差，几何图形中角的计算，正确分情况讨论是解题关键．分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ， ； ②当时，射线是的“平衡线”， ， ， ； ③当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 6．(24-25七上·江西南昌外国语学校教育集团·期末)从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB＝40°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，则∠AOC＝ °． 【答案】20°或40°或80° 【分析】依据一条射线是另两条射线所组成角的平分线，分三种情况进行讨论，依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数． 【详解】解：①当OC平分∠AOB时，∠AOC=∠AOB=20°； ②当OA平分∠BOC时，∠AO C=∠AOB=40°； ③当OB平分∠AOC时，∠AOC=2∠AOB=80° 所以，∠AOC的度数为20°或40°或80°， 故答案为：20°或40°或80° 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 7．(24-25七上·江西吉安遂川县·期末)如图，点在直线上，是直线上方变化的角，且，当或是某个角的平分线时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义，角平分线把一个角分成了两个相等的角．因为，所以只能在内部，又因为或是某个角的平分线，所以只能有当平分和平分两种情况． 【详解】解：如下图所示，当平分时，； 如下图所示，当平分时， ， ， 又平分， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 8．(24-25七上·江西南昌第二十八中学教育集团·期末)如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 地 城 考点03 角的有关计算问题 1．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 2．(24-25七上·江西宜春高安·期末)如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，代入求出即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故选：A． 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定和各角的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵分别平分，， ∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE ∴，故①正确； ∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确； ∵，而∠COD不一定等于∠AOC ∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确； ∵ ∴∠AOC＋∠COB=90° ∴，故④正确． 综上：正确的有①②④． 故选A． 4．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)若一个角是34，则这个角的余角是 . 【答案】56 【详解】解：这个角的余角=90°－34°=56°．故答案为56． 5．(24-25七上·江西上饶弋阳县·期末)如果一个角的余角等于这个角的补角的，那么这个角的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为，再根据这个角的余角等于这个角的补角的建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 6．(24-25七上·江西赣州安远县·期末)如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 7．(24-25七上·江西南昌外国语学校教育集团·期末)如图，是直线上的点，是的平分线，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，根据平角的定义可得的度数，再根据角平分线的定义计算即可，理解角的平分线的定义是关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 8．(24-25七上·江西赣州龙南·期末)如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE，求∠DOB的度数． 【答案】∠DOB=112°． 【分析】先根据角平分线的性质求得∠EOD的度数，再根据平角的定义即可求得结果． 【详解】∵OD平分∠COE ∴∠COD=∠EOD=28° ∴∠DOB=180°-（∠AOB+∠DOE）=180°-（40°+28°）=112°． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半． 9．(24-25七上·江西宜春高安·期末)如图所示，点是直线上一点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，由平角定义得，进而由角平分线的定义得，最后根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 10．(24-25七上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解： 与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 11．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，，． (1)的余角有： ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的定义，角的和差． （1）根据垂直定义可得，也可以写成两个角的和，再根据余角的定义即可得出答案； （2）先根据垂直定义可得，再由角的和差可计算出的度数，然后再利用即可得到的度数． 【详解】（1） ， 即 的余角有、； （2）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴． 12．(24-25七上·江西赣州大余县·期末)如图，平分，平分，，． (1)求的度数； (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了角的运算，角平分线定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵平分，平分， ∴，． 13．(24-25七上·江西九江修水县·期末)如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差计算． （1）根据角平分线定义得到，，根据即得； （2）利用角平分线的定义得出，，根据，，即得． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 14．(24-25七上·江西赣州上犹县·期末)如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有________（填图中已有的角）； (2)求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)和 (2) (3)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义（平分所在的角）；补角：若两角和为则两角互补；余角：若两角和为则两角互余；掌握相关定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求出，最后利用余角的概念求解即可； （2）根据平角的定义计算即可； （3）利用余角的定义求出的度数，再由补角的定义求出的度数即可； 【详解】（1），平分， ， ∵， ∴， ∴，， 的余角是和； 故答案为：和； （2）∵ ； （3）平分． 理由如下： ，， ， ， ， 平分． 15．(24-25七上·江西赣州经开区·期末)如图，在内部任意画一条射线，平分，平分． (1)依据题意，将下列几何语言补充完整． ∵平分，∴______； ∵平分  ∴______＝______； (2)若，求的度数； (3)若的度数比度数的一半多，且，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) (3) 【分析】本题考查了角的平分线，角的和差计算，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． （1）根据角的平分线的定义解答即可； （2）根据角的平分线的定义，角的和差计算即可若，求的度数； （3）设，则，结合，得到，建立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴； ∵平分， ∴， 故答案为：、、． （2）解：∵平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：设，则， 由（2）得， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得，即， 则． 16．(24-25七上·江西赣州瑞金·期末)如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，其它条件不变，求是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，再根据角度之间的关系求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据角度之间的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的平分线，是的平分线， ， ． （2）解：∵为的平分线，是的平分线，， ，， ∴． 17．(24-25七上·江西新余·期末)如图：点在直线上，，是的平分线， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的概念，角的和差计算， （1）根据角的和差求出，然后根据角平分线的概念求解即可； （2）设，得到，然后得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵ 是的平分线 ∴； （2）由题意可设 ， 由图可知，． 又 所以，解得 ． 18．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，补角的定义，角平分线的定义等： （1）根据，以及与的倍数关系，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：因为与互为补角， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 19．(24-25七上·江西赣州兴国县·期末)如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 【答案】(1) (2)平分，证明见解析 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据，即可求出的度数； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解、的度数，再利用（1）中的度数可求的的度数，由即可证明． 【详解】（1）解：∵点为直线上一点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解：由（1）得， ∵与互余， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 20．(24-25七上·江西鹰潭余江区·期末)已知O是直线上的一点，（本题中角的度数均为大于且小于等于）． (1)如图1，若平分，平分，则_____． (2)在（1）的条件下，如图2，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握定义，数形结合． （1）先根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义得，，然后根据即可求解； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵O是直线上的一点， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 21．(24-25七上·江西吉安遂川县·期末)如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD、OE．并且使OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)若∠AOB＝50°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOD=110°，∠BOE=100°，求∠AOE的度数； (3)当∠AOD=n°时，则∠BOE=(150- n)°，求∠BOD的度数． 【答案】(1)80°； (2)140°； (3)50°； 【分析】（1）根据角平分线的定义计算∠BOC和∠COD的和即可； （2）根据角平分线的定义设∠EOD=∠DOC=x，由∠AOB=∠COB=∠BOE-∠COE求得∠AOB，再由∠AOD=∠COD+∠COB+∠AOB列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义设∠EOD=∠DOC=x°，∠AOB=∠BOC=y°，则∠AOD= y°+y°+x°，∠BOE= y°+x°+x°，根据∠AOD+∠BOE=150°求得x°+y°即可解答； 【详解】（1）解：OB是∠AOC的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB＝50°； ∵OD是∠COE的平分线， ∴∠COD＝∠DOE＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+30°＝80°； （2）解： OD平分∠COE，设∠EOD=∠DOC=x， OB平分∠AOC，则∠AOB=∠COB， 由∠BOE=100°可得：∠AOB=∠COB=∠BOE-∠COE=100°﹣2x， 由∠AOD=110°可得：∠AOD=∠COD+∠COB+∠AOB=110°， x+（100°﹣2x）+（100°﹣2x）=110°， 解得x=30°， 即∠EOD=∠DOC=30°， ∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=110°+30°=140°； （3）解：设∠EOD=∠DOC=x°，∠AOB=∠BOC=y°， 依题意可知， ∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD= y°+y°+x°=n°， ∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE= y°+x°+x°=(150- n)°， 则∠AOD+∠BOE=3x°+3y°=150°， ∴ x°+y°=50°， ∵∠BOD=∠BOC+∠COD= x°+y°， ∴∠BOD=50°； 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，等式的性质，结合图形求得各角的和差关系是解题关键． 22．(24-25七上·江西吉安·期末)已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)时，；时， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两总情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ ， ∴； ②时， 由题意得， ∴ ， ∴． 综上，时，时，． 23．(24-25七上·江西宜春高安·期末)与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析， (2)，理由见解析 (3)不成立， 【分析】本题考查的是角的计算，周角的定义，掌握角的和差关系是解答关键． （1）根据角的和差关系来求解； （2）根据角的和差关系，得到即可求解； （3）根据周角的下定义，角的和差关系求解． 【详解】（1）解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵， ； （3）解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 24．(24-25七上·江西上饶弋阳县·期末)点是直线上一点，是直角，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕点按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)∠AOC的度数为 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴． 25．(24-25七上·江西南昌雷式学校·期末)已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 地 城 考点04 一副三角板中角的问题 1．(24-25七上·江西赣州南康区·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 2．(24-25七上·江西吉安峡江县·期末)如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25七上·江西九江修水县·期末)一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了邻补角的性质．求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，一副三角板的两个直角顶点重合，若，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算是解题的关键．求出即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， ， ． 故答案为：． 5．(24-25七上·江西吉安·期末)如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)找出以为顶点的相等的角（原三角板的等角除外），并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想：与之间的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角的和差运算； （1）由可得相等的角； （2）先求解，再求解，进一步可得答案； （3）由角的和差运算可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 6．(24-25七上·江西南昌南昌中学教育集团·期末)一副三角板与中，，，，． (1)将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则______°；______°；______°； (2)将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，平分，平分，若，求的度数； 【答案】(1)135，60，105 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据直角三角板的角度特征可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解 【详解】（1）解：由题意得： 故答案为：135，60，105． （2）解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 7．(24-25七上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①根据旋转速度及时间求得，然后根据角平分线的概念和角的和差分析计算； ②当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ． ． （2）解：①当时，， ∵平分平分， ∴， ∴, ∴； ②的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． 8．(24-25七上·江西南昌部分学校·期末)【实践操作】三角尺中的数学． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则______； ②猜想：请直接写出与的数量关系：______． (2)如图2，两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，，求的度数． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①利用求出的度数，再利用求出的度数；利用求出的度数，再利用即可得解；②根据即可得出结论； （2）根据即可得解． 【详解】（1）解：①由题意，得：， 当时， ∴， ∴； 故答案为：； 当时， ∵， ∴， 故答案为：； ②；理由如下： ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 地 城 考点05 钟面角问题 1．(24-25七上·江西九江修水县·期末)（课本再现）下表列出了国外几个城市与北京的时差． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差 其中北京时间与纽约时间相差13小时，如北京时间为2025年1月1日上午9点时，则纽约时间为2024年12月31日20点． (1)当北京时间为0点时，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度；此时，纽约时间时钟的时针与分针的夹角是______度．经过分钟后，纽约时间时针与分针第一次重合，此时，______，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度． (2)小明与小亮都爱好数学，小明在九江，小亮在纽约，他们约定，当纽约时间进入2025年元旦后同时互发微信进行新年的祝福，互发的时间是：两地时间时钟的时针与分针的第一次出现夹角相等的时间，求这个互发的时间及夹角的度数． 【答案】(1)0；30；60；30 (2)这个互发的时间为纽约时间2025年1月1日0点分，北京时间为2025年1月1日下午1点分，夹角为度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程求解即可； （2）根据时差的概念计算当地的时间列出方程回答问题． 【详解】（1）解：当北京时间为0点时，如图①，北京时间时钟的时针与分针的夹角为0度； 此时，纽约时间为11点，如图②，时钟的时针与分针的夹角是30度； 经过分钟后，时针每分钟旋转度，分针每分钟旋转度， 由题意得， 解得(分钟)， ∴纽约时间时针与分针第一次重合，此时，； 此时对应北京时间为1点，如图③，时钟的时针与分针的夹角为30度； 故答案为：0；30；60；30； （2）解：纽约时间进入2025年1月1日0点时，此时北京时间为2025年1月1日下午1点，纽约时间0点后再经过t分钟，时针与分针的夹角为度； 北京时间1点后再经过t分钟，时针与分针的夹角为或度； 由题意得， 解得， 此时夹角为度； 或，无解， ∴元旦后同时互发微信进行新年的祝福的时间为：纽约时间2025年1月1日0点分，北京时间为2025年1月1日下午1点分，夹角为度． 2．(24-25七上·江西景德镇·期末)【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为________，________； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【拓展提升】 （3）如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟后，，请你求出t的值． 【答案】（1）①，；②每过一分钟时针转过，分针转过；（2）；（3）或 【分析】本题考查了钟面角，角平分线的定义及一元一次方程的应用，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． （1）①根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案；② （2）根据时针除以720分钟，可得时针的旋转速度；根据分针60分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【详解】解：（1）①巴黎时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 故答案为：，； ②每经过一分钟，时针转过， 每经过一分钟，分针转过； （2）此时为下午， ， 点A为下午4点钟的位置， ， ， 平分，平分， ，， ，； （3）①没追上之前，由题意知，， 解得， ②超过之后，由题意知，， 解得， 分钟或分钟后，． 地 城 考点06 角中旋转探究问题 1．(24-25七上·江西南昌·期末)如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角角平分线的有关计算． （1）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案； （2）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案； （3）首先求出，利用角平分线可得，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．(24-25七上·江西南昌立德中学·期末)如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分两种情况讨论：当平分时；当的反向延长线平分时；分别求出旋转的角度，再结合每秒的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是：， ， ； 如图，当的反向延长线平分时， ， ， 旋转的角度是：， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，等式的性质，对顶角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． 3．(24-25七上·江西赣州南康区·期末)点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在O处，射线平分． (1)如图（1），若，则______； (2)将图（1）中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图（2）的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方． ①试探究的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由； ②当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由补角的定义可求，再由角平分线定义可求，由即可求解； （2）①由余角的定义可求，再由补角的定义可求，即可求解；②设，由角平分线的定义可得，由补角的定义及余角的定义可求 ，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 射线平分， ， ， ， 故答案：； （2）解：①是定值，， 理由如下： ， ， ， ， ； ②设， 射线平分， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 地 城 考点07 角中的新定义型问题 1．(24-25七上·江西上饶余干县·期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 2．(24-25七上·江西新余·期末)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． (1)如图1，为直线上一点，，直接写出图中所有互为垂角的角； (2)如果一个角的垂角等于其补角的，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上一点，，将整个图形绕点逆时针旋转，直线旋转到，旋转到，作射线，使，求：当为何值时，与互为垂角． 【答案】(1)与，与，与，与 (2)这个角的度数为或度 (3)时，与互为垂角 【分析】本题考查了角的相关定义（垂角，补角）以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角和补角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程或等式来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设这个角为度，其补角为度．因为不确定这个角与其垂角的大小关系，所以分两种情况讨论．当这个角小于它的垂角时，垂角为度，根据＂一个角的垂角等于其补角的＂，可列方程，求解得出．当这个角大于它的垂角时，垂角为度，列方程，求解得出； （3）因为旋转情况不同，所以分两种情况．当时，用含的式子分别表示出和，再根据垂角定义列出方程求解．当时，同样表示出和，根据垂角定义列方程求解． 【详解】（1）互为垂角的角有4对：与，与，与，与； （2）设这个角的度数为度，则其补角是度， ①当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； ②当时，它的垂角是度，依题意有， ， 解得； 故这个角的度数为或度． （3）当时和重合，不符合题意．故分两种情况： ①当时，，， ， ， ， ， 解得：或195 ， ； ②当时，， ，，， ， 解得或115， ， 或115舍去． 综上所述，时，与互为垂角． 3．(24-25七上·江西吉安·期末)如图1，在的内部引一条射线，则图中共有3个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线 这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数： (3)如图3，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时t的值． 【答案】(1)不是 (2)或或 (3)的值为3.5或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差关系，按照“定分线”的定义进行计算，是解题关键． （1）角平分线是平分一个角，而“定分线”是把一个角分成有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，故一个角的角平分线不是这个角的“定分线”． （2）分三种情况讨论：当，当或当时，再按照“定分线”分三种情况计算即可． （3）由旋转得，，然后表示出，，再按照“定分线”分情况计算即可． 【详解】（1）解：角平分线是平分一个角， ∴满足“定分线”是其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍， 一个角的角平分线是这个角的“定分线”． 故答案为：是． （2）解：当平分时， ∴， 当时， 又， ， ， ． 当时， 又， ， ． 答：的度数为或或． （3）解：射线以每秒的速度逆时针旋转， ， 射线以每秒的速度顺时针旋转， ， ∴当射线重合时，则有，解得：， ①当射线在的内部时，即， ∵， ， 当时，则有：， ∴； 当时， ， ． 当时， ， ． ②当射线在的外部时，此时不符合“定分线”的概念，即需在角内部作一条射线； 的值为或或． 4．(24-25七上·江西南昌立德中学·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．    (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_____； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转的角度为时，是的内半角 (3)射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒 【分析】（1）由内半角的定义得 ，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒，按射线所在范围的时间进行分类讨论：①当时，由角的和差得，，由内半角的定义列方程即可求解；②当时，同理①即可求解；③当时，此时是的内对角，由旋转过程得，，由内半角的定义列方程，即可求解． 【详解】（1）解： ，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）解：设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒， （秒）， （秒）， （秒）， ①当时 如图④，    此时是的内对角， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图    此时是的内对角， ， ， ， ， 解得：； ③当时，如图      此时是的内对角， ， ， ， 解得：； 综上所述：射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒． 5．(24-25七上·江西宜春高安·期末)定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），，，则OP为的近似黄金分割线． (1)若，为的近似黄金分割线，则______； (2)如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线在直线上方绕O点转动时，始终分别为和的近似黄金分割线，当时，求的度数（可以用含的代数式表示）； (3)在（2）的基础上，若恰好为的平分线，求的度数． 【答案】(1)或 (2)或或或 (3)或或 【分析】（1）利用“近似黄金分割线”的定义分两种情况计算解题； （2）利用“近似黄金分割线”的定义分，；；，和，四种情况进行解题即可； （3）在（2）的基础上分四种情况列方程计算即可求出结果． 【详解】（1）解：∵，是的近似黄金分割线， ∴或即 故答案为:或； （2）解：∵， ∴， ①如图，当，时， ∴，， ∴； ②如图，当时， ∴，， ∴； ③如图,当，时， ∴， ∴； ④.如图,当，时， ∴，. ∴； 综上，的度数为:或或或； （3）解：∵平分， ∴，                             ①如图，，解得：； ②如图，，解得； ③如图，， 解得； ④如图，，解得； 综上，的度数为:或或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $