2．1 直线的倾斜角与斜率（7大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第一册）

2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：倾斜角与斜率的定义 2 题型二：斜率与倾斜角的关系 3 题型三：求参数问题 4 题型四：直线与线段的相交问题 5 题型五：直线平行 6 题型六：直线垂直 7 题型七：直线平行、垂直的综合应用 8 02 重难点拓展 11 题型一：倾斜角与斜率的定义 1．下列说法中正确的是(    ) A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角 C．和轴平行的直线，它的倾斜角为 D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 【答案】D 【解析】直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误； 直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误； 和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误； 每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确． 故选：D﹒ 2．（2025·高一·河北衡水·期末）直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 所以当时，. 故选：B 3．（2025·高二·江西吉安·期末）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是； ②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； ③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； ④任何一条直线都有倾斜角和斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【解析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，即斜率与倾斜角的关系，即可求解.对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是，所以是正确的； 对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得， 当时，可得，则，所以是正确的； 对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确； 对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确． 故选: A. 题型二：斜率与倾斜角的关系 4．（2025·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 5．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 6．（2025·高二·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 题型三：求参数问题 7．（2025·高一·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 8．（2025·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【解析】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 9．（2025·高二·天津武清·月考）设点，若直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数m的值为 . 【答案】4 【解析】依题意知直线的斜率存在，则，由得 ，所以. 故答案为：4 题型四：直线与线段的相交问题 10．（2025·高二·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 11．（2025·高二·广东·月考）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 12．（2025·高二·河南平顶山·月考）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 ，， 在射线逆时针旋转至射线时斜率逐渐变大， 直线与线段总有公共点， 所以的取值范围为． 故答案为: 题型五：直线平行 13．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【解析】（1），，，不共线，因此与平行． （2），，又两直线不重合，直线与平行， （3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行； （4）,，直线与不平行， 14．（2025·高一·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【解析】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 15．（2025·高二·湖南·学业考试）已知直线：，：．若，则 ． 【答案】 【解析】由已知两条直线平行，应当满足关系，解得. 故答案为：. 题型六：直线垂直 16．（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 【答案】直角 【解析】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 17．已知的三个顶点分别是，则是 ．（填的形状） 【答案】直角三角形 【解析】由已知得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率 边所在直线的斜率， 所以，所以，所以是直角三角形． 故答案为：直角三角形 18．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【解析】，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 题型七：直线平行、垂直的综合应用 19．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【解析】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 20．在等腰中，，顶点，，求顶点C的坐标． 【解析】设点 ，则① 又， ② 由①②解得或 则C的坐标为或 21．设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【解析】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 1．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 2．（2025·高二·湖北·开学考试）“”是“直线：与直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对于充分性：当时，直线为， 直线为，此时和显然斜率相同，截距不同， 则此时与平行，故充分性成立， 对于必要性：若和平行，则有且， 解得，故必要性成立， 综上，是直线与直线平行的充要条件，故C正确. 故选：C 3．（2025·高二·河南开封·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线与直线平行则， 即，可得或 ， 故“ ”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：A 4．（2025·高二·浙江·月考）直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令直线倾斜角为，则，又， 所以. 故选：A 5．（2025·高三·重庆渝中·月考）已知直线与直线互相平行，则实数的值为（   ） A． B．2或 C．2 D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，故舍去； 当时，直线与直线互相平行，符合题意； . 故选：D 6．（2025·高二·河北保定·期末）已知直线和互相垂直，则实数（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为直线和互相垂直， 所以，解得． 故选：B 7．（2025·高三·贵州·月考）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 【答案】B 【解析】因为直线与直线互相垂直， 所以 ，解得或. 故选：B 8．（2025·高二·广西梧州·月考）设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 9．（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 10．（2025·高一·甘肃兰州·期末）过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】如图所示： 则， 若过点的直线与线段MN相交，所以. 故选：B. 11．（2025·高二·河南周口·月考）已知实数满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 12．（2025·高三·江西南昌·月考）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 13．（2025·高一·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 14．（多选题）（2025·高二·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 15．（多选题）（2025·高二·湖南·月考）已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】由，可得，解得或1． 故选：BC. 16．（多选题）（2025·高二·重庆九龙坡·期中）直线的倾斜角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直线变形得， 假设直线的倾斜角为，则， 则， 所以或，故ABD满足题意， 故选：ABD. 17．（2025·高二·浙江杭州·期中）直线的倾斜角大小为 . 【答案】/ 【解析】由直线可知其斜率为， 所以其倾斜角满足，所以. 故答案为： 18．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【解析】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：倾斜角与斜率的定义 2 题型二：斜率与倾斜角的关系 2 题型三：求参数问题 3 题型四：直线与线段的相交问题 3 题型五：直线平行 3 题型六：直线垂直 3 题型七：直线平行、垂直的综合应用 4 02 重难点拓展 5 题型一：倾斜角与斜率的定义 1．下列说法中正确的是(    ) A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角 C．和轴平行的直线，它的倾斜角为 D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2．（2025·高一·河北衡水·期末）直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·江西吉安·期末）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是； ②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； ③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； ④任何一条直线都有倾斜角和斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 题型二：斜率与倾斜角的关系 4．（2025·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：求参数问题 7．（2025·高一·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 8．（2025·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 9．（2025·高二·天津武清·月考）设点，若直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数m的值为 . 题型四：直线与线段的相交问题 10．（2025·高二·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 11．（2025·高二·广东·月考）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 12．（2025·高二·河南平顶山·月考）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ． 题型五：直线平行 13．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 14．（2025·高一·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 15．（2025·高二·湖南·学业考试）已知直线：，：．若，则 ． 题型六：直线垂直 16．（2025·高二·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 17．已知的三个顶点分别是，则是 ．（填的形状） 18．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 题型七：直线平行、垂直的综合应用 19．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 20．在等腰中，，顶点，，求顶点C的坐标． 21．设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 1．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·湖北·开学考试）“”是“直线：与直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·高二·河南开封·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·高二·浙江·月考）直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·高三·重庆渝中·月考）已知直线与直线互相平行，则实数的值为（   ） A． B．2或 C．2 D． 6．（2025·高二·河北保定·期末）已知直线和互相垂直，则实数（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．（2025·高三·贵州·月考）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 8．（2025·高二·广西梧州·月考）设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·高一·甘肃兰州·期末）过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 11．（2025·高二·河南周口·月考）已知实数满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·江西南昌·月考）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高一·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 14．（多选题）（2025·高二·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 15．（多选题）（2025·高二·湖南·月考）已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 16．（多选题）（2025·高二·重庆九龙坡·期中）直线的倾斜角可以为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·高二·浙江杭州·期中）直线的倾斜角大小为 . 18．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $