10.4 随机事件与概率（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 10 [课标要求] 1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．　 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．　 3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．　 4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．　 5.结合实例，会用频率估计概率． 10．4　随机事件与概率 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十三) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十三) 随机事件与概率 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 【必备知识】 1．有限样本空间与随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用 ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 基本结果 样本空间 (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形： 、 ． 子集 必然事件 不可能事件 2．两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件(和事件) A与B 至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A⊆B A∩B或AB A∩B＝∅，A∪B＝Ω 3.古典概型 (1)古典概型的特征 ①有限性：样本空间的样本点只有 ； ②等可能性：每个样本点发生的可能性 ． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 有限个 相等 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) 4．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ； 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ ； 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ； 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件， 那么P(B)＝ ，P(A)＝ ； ≥0 1 0 性质5　如果A⊆B，那么 ，由该性质可得， 对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件， 有P(A∪B)＝ ． P(A)≤P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 5．概率与频率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 【必记结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　 ) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　 ) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　 ) (4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　 ) √ × × × 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”．则下列结论中正确的是(　　 ) A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)＝P(B) 解析：选D.样本空间可表示为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A包含的样本点：(正，正)，(正，反)，B包含的样本点：(正，反)，(反，反)，所以P(A)＝，P(B)＝，故P(A)＝P(B)． 3．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　 ) A．A∪B表示向上的点数是1或3或5 B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或3 D．A∩B表示向上的点数是1或5 解析：选A.设A＝{1，3}，B＝{1，5}， 则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}， ∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1， A∪B表示向上的点数为1或3或5. 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率是________． 解析：抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有基本事件为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共有36种， 两个点数相等的基本事件为：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)， (6，6)，共有6种，所以两个点数相等的概率是P＝. 答案： 5．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝，设C＝“抽到红花色”，则P(C)＝___________；设D＝“抽到黑花色”，则P(D)＝________． 解析：因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝. 因为C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－. 答案： 题型一　随机事件及关系 角度1　随机事件间关系的判断 【例1】　(1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　 ) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 解析：选B.对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件； 对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件； 对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件； 对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． 角度2　利用互斥、对立事件求概率 【例2】　某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解：(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝. 故1张奖券中奖的概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 思维升华　事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 【对点练习】　1.(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的有(　　 ) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D 解析：选ABD.用(x1，x2)表示试验的射击情况，其中x1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 由题意得，A＝{(1，1)}，B＝{(0，0)}，C＝{(0，1)，(1，0)}，D＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，则A⊆D，A∪C＝D，且B∩D＝∅，即A，B，D都正确； 又B∪D＝Ω，A∪B＝{(0，0)，(1，1)}≠Ω，所以A∪B≠B∪D，故C不正确． (2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. ①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． 解：①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计， 其估计值为×(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10)＝1.9(分钟)． ②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟” “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟” “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝， 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为. 题型二　随机事件的频率与概率 【例3】　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计相应的概率为P＝＝0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0＋0.1＋0.4＝0.5. ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1. 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0＋0.1＋0.4＋0.4＝0.9. ∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2. 思维升华　计算简单随机事件的频率或概率的步骤 (1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数； (2)由频率公式得所求，由频率估计概率． 【对点练习】　2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶， 当且仅当最高气温低于25 ℃， 由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)， 则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900， 所以利润Y的所有可能值为－100，300，900. Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃， 由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 题型三　古典概型 【例4】　(1)(2024·湖北省十一校联考)在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.这8个素数中，任取2个不同的数，有(2，3)，(2，5)， (2，7)，(2，11)，(2，13)，(2，17)，(2，19)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(3，17)，(3，19)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共28个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有 (2，3)，(2，5)，(2，11)，(2，17)，共4个，所以这两个数之和仍为素数的概率是. (2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为. 思维升华　古典概型中求样本点个数的三种方法 【对点练习】　3.(1)(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝. (2)(2024·山东临沂模拟)阿基米德多面体是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体．它共有13种，其特点是棱长相等．如图①所示，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图②所示，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为_______． 解析：此阿基米德多面体共有24条棱，任取2条，共有＝12×23＝276(种)取法．两条棱垂直有两类情况：①都来自同一个正方形：6×4＝24(种)；②来自对面的两个正方形：3×8＝24(种)．故所求概率为P＝. 答案： 【基础巩固题】 1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1 000名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 241 571 188 如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是(　　 ) A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.19 解析：选C.由已知统计表可知在1 000名志愿者中，服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为＝0.241≈0.24. 2．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D. 解析：选D.依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有＝6件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有＝4，所以这2名学生来自不同年级的概率为. 3．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P＝(　　 ) A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8 解析：选A.∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2， ∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5， ∴P＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5. 4．在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8(种)组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.在一次“算卦”中得到六爻，样本点的总数为n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的样本点数为m＝＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P＝. 5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是(　　 ) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 解析：选D.“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况，故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确； A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D错误． 6．(2024·郑州质检)如果事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么(　　 ) A．A∪B是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 解析：选B.如图①所示，A∪B不是必然事件， 是必然事件，与不互斥； 如图②所示，A∪B是必然事件，是必然事件，与互斥． 7．(多选)(2024·杭州模拟)四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.方法一　A的小孩等可能地与B，C，D其中一位爸爸交谈，所以A的小孩与D交谈的概率P＝. 方法二　设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d， 则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)， A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)， ∴A的小孩与D交谈的概率P＝. 8．(多选)小佳和小明两人进行篮球比赛，小佳投中的概率为0.8，小明投不中的概率为0.2，且两人投篮互不影响，现两人各投篮一次．记“小明投中”为事件A，“至少1人投中”为事件B，则下列说法正确的是(　　 ) A．P＝0.2 B．P(B)＝0.16 C．P(AB)＝0.8 D．P＝P＋P 解析：选AC.记“小佳投中”为事件C，则有P(A)＝P(C)＝0.8， ＝P＝0.2，A选项正确； P(B)＝1－P＝1－0.2×0.2＝0.96，B选项错误； P(AB)＝P＝P(A)P(C)＋P(A)P＝P(A)＝0.8，C选项正确； ⊆，所以P≠P＋P，D选项错误． 9．(人教A版选择性必修一P10)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率P＝________． 解析：该试验的样本空间可表示为：Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3个，故所求概率P＝. 答案： 10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数及相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 【综合应用题】 11．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.由题意可得一共有种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有种分组方法．故所求概率P＝. 12．某公司为了给驾驶电动汽车的员工提供充电便利，在停车场开展充电桩安装试点．如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电．现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置)，则2辆电动汽车能同时充上电的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.事件A＝“2辆电动汽车能同时充上电”，先从Bi，i∈{1，2，3，4，5，6}中任选一个车位给第一辆电动车，有种选择，再从非与第一辆电动车并列的剩余四个车位中找一个给第二辆电动车，有种选择，最后从剩余8个车位中随机选取3个安排燃油车即可，所以P(A)＝. 13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________． 解析：记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝，则至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－. 答案： 14．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率． 解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为， 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝，故所求事件的概率为. 【创新拓展题】 15．(2023·山东聊城二模)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质．现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为____． 解析：7个数中随机选取4个不同的数共有＝35(种)不同的选法， 因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27， 所以具有“准等比”性质的4个数有：{2，16，4，8}，{2，32，4，16}{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{8，16，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{4，64，8，32}，{16，32，8，64}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种， 所以这4个数具有“准等比”性质的概率为. 答案： 16．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2|x|＋1.现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则X<3的概率为________． 解析：易判断f2(x)＝x2，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2|x|＋1为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X的取值范围是{1，2，3，4}．P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，所以P(X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝. 答案： $