10.2 排列与组合（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦排列与组合专题，依据课标要求覆盖概念理解、公式推导、实际应用等核心考点。对接高考评价体系，分析排列问题、组合问题、综合应用等高频考点权重，归纳邻不邻、分组分配等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2024年安徽马鞍山模拟题为例，用插空法解决不相邻节目排列问题，培养学生数学思维中的逻辑推理能力。通过“母题变式”设计和易错点警示，帮助学生掌握解题模型，提升得分率，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 10 [课标要求] 1.理解排列、组合的概念．　 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．　 3.能利用排列、组合解决简单的实际问题． 10．2　排列与组合 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十一) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十一) 排列与组合 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 【必备知识】 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列 组合 作为一组 一定的顺序 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示． 不同排列 不同组合 n！ 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n)． (2)＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝ ；＝ ． (2)＝1；＝； n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1 【必记结论】 1．排列数、组合数常用公式 (1)＝. (2). (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4). (5)＋＋…＋＋＝. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　 ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　 ) (3)若组合式＝，则x＝m成立．(　　 ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　 ) × × √ √ 2．安排6名歌手演出排序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是(　　 ) A．120 B．240 C．480 D．720 解析：选C.先考虑某歌手的位置不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4种位置可以选，共有＝4(种)结果，剩下5人在5个不同位置，共有＝120(种)结果，所以不同安排方法有＝4×120＝480(种)． 3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　 ) A．18 B．24 C．30 D．36 解析：选C.选出的3人中有2名男同学、1名女同学的方法有＝18(种)，选出的3人中有1名男同学、2名女同学的方法有＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有18＋12＝30(种)． 4．(1)＝__________；(2)＝__________； (3)－＝________；(4)＝________． 解析：(1)＝7×6×5＝210； (2)＝6×5×4×3×2×1＝6！＝720； (3)－＝35－15＝20； (4) ＝148. 答案：(1)210　(2)720　(3)20　(4)148 5．平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有________条；以其中2个点为端点的线段共有________条． 解析：因为有向线段与端点的顺序有关，是排列问题，而线段与端点的顺序无关，是组合问题，所以有向线段有＝12(条)，线段有＝6(条)． 答案：12　6 题型一　排列问题 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)男生顺序已定，女生顺序不定． 解：(1)从7人中选5人排列，排法有＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人站前排，有种排法，余下4人站后排，有种排法，故排法共有＝5 040(种)． (3)方法一(特殊元素优先法)　先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，故排法共有＝3 600(种)． 方法二(特殊位置优先法)　首尾位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，故排法共有＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种排法，再将女生全排列，有种排法，故排法共有＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有种排法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种排法，故排法共有＝1 440(种)． (6)(定序问题)7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有＝840(种)． 方法指导　求排列问题的四种常用方法 (1)直接法：对于无限制条件的排列，直接列出排列数计算． (2)优先法：对于特殊元素(或位置)优先安排． (3)捆绑法：针对相邻元素的排列． (4)插空法：针对不相邻元素的排列(间隔排列)． 【对点练习】　1.(1)(2024·黄冈模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　 ) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 解析：选B.先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有种放法，再排剩余的3道程序，共有种放法，则共有＝36(种)放法． (2)(2024·泉州质检)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有________种(填数字)． 解析：若甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排， 则有种方案； 若丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排， 则有种方案． 所以共有＝672(种)停车方案． 答案：672 题型二　组合问题 【例2】　(人教A版选择性必修三P27)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛． (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 解：(1)如果4人中男生女生各选2人，有＝60(种)选法； (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有＝21(种)选法； (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有＝21(种)，第二种情况，甲乙选1人，有＝70(种)选法，则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有21＋70＝91(种)选法； (4)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有－－＝120(种)选法． 思维升华　组合问题的两类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【对点练习】　2.(1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　 ) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 解析：选B.先从5人选择1人两天均参加公益活动，有种方式，再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有＝60(种)． (2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有＝16种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有＝24种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有＝24种． 综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)． 答案：64 题型三　排列组合的综合问题 角度1　“邻”与“不邻”问题 【例3】　(1)(2024·安徽马鞍山模拟)要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.3个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，再将3个舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法． (2)5位同学和2位老师一起拍照，要求排成一排，2位老师相邻但不排在两端，则不同的排法共有_______种．(结果用数字表示) 解析：首先排2位同学到两端，有种排法，再排其余3位同学与2位老师，其中老师需相邻，故有种排法，按照分步乘法计数原理可得共有＝960(种)排法． 答案：960 思维升华　(1)解决相邻问题一般用“捆绑法”，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (2)不相邻问题，一般用“插空法”．先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 角度2　分组、分配问题 【例4】　(1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．80种 D．60种 解析：选D.首先安排甲场馆的3名同学，即＝20；再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即＝3；最后安排2名同学到丙场馆，即＝1.所以不同的安排方法有20×3×1＝60(种)． (2)(2024·湖南株洲模拟)将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有(　　 ) A．1 880种 B．2 940种 C．3 740种 D．5 640种 解析：选B.5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1∶1∶3型与1∶2∶2型， 对于1∶1∶3型，女老师的分配情况有＝60，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60； 对于1∶2∶2型，女老师的分配情况有＝90，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0∶5型、1∶4型与2∶3型，则分配情况有＋＋＝32，即总分配情况为32×90＝2 880. 综上所述，2 880＋60＝2 940. (3)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有______种． 解析：甲、乙、丙家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为＝90. 答案：90 思维升华　分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配． (1)分组问题属于“组合”问题． ①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一 定要除以组数的阶乘； ②对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！； ③对于不等分组，只需先分组，后排列． (2)分配问题属于“排列”问题． ①相同元素的“分配”问题，常采用“挡板法”； ②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成， 第一步是分组，第二步是发放； ③有限制条件的分配问题常采用分类法求解． 角度3　相同元素分配问题 【例5】　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有＝40(种)放法． 思维升华　相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． 【对点练习】　3.(1)(2024·湖北名校联考)为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为(　　 ) A．1 176 B．2 352 C．1 722 D．1 302 解析：选A.由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)， (2，2，3)，(3，3，1)三种情况， 把7名工作人员分为1，1，5三组， 则不同的安排方式共有＝126(种)； 把7名工作人员分为2，2，3三组， 不同的安排方式共有＝630(种)； 把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式有＝420(种)． 综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176. (2)某班2025年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　 ) A．2 B．11 C．36 D．42 解析：选D.将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42(种)插入方法． (3)(2024·辽宁大连二模)第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有______种． 解析：①小张和小赵两人只有一人入选，则有＝24(种)选派方法； ②小张和小赵两人都入选，则有＝12(种)选派方法． 综上可得一共有21＋12＝36(种)选派方法． 答案：36 (4)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为________． 解析：先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花，这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，所以不同的放法共有＋＝10(种)． 答案：10 【基础巩固题】 1．若，则m等于(　　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C.因为，所以m(m－1)(m－2)＝6×， 即1＝，解得m＝7. 2．(2024·唐山模拟)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为(　　 ) A．336 B．252 C．216 D．180 解析：选C.由题意得不同的安排方法种数为－＝216. 3．(2024·河北邯郸二模)某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　 ) A．12 B．18 C．20 D．60 解析：选C.根据题意，可分为两类： ①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有＝4×2＝8(种)方法； ②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有＝4×3＝12(种)方法． 由分类计数原理得，共有8＋12＝20(种)不同的插法． 4．(2024·福建厦门三模)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有(　　 ) A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 解析：选B.若只有同学甲去A公司，则共有＝6(种)可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有＝12×2＝24(种)可能，故共有6＋24＝30(种)可能． 5．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如42＝2×3×7.对于1 260＝a1×a2×a3×…×an，其中a1，a2，a3，…，an均是素数，则从a1，a2，a3，…，an中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为(　　 ) A．32 B．36 C．42 D．60 解析：选C.1 260＝2×2×3×3×5×7，从2，2，3，3，5，7中任选3个数组成三位数，可以分为两类：第一类，三个数互不相同，共有＝24(个)；第二类，含有2个2或2个3，共有＝18(个)，所以一共可以组成不同三位数的个数为24＋18＝42. 6．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有(　　 ) A．144种 B．216种 C．288种 D．432种 解析：选C.第一步：先将3名母亲全排列，共有种排法； 第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，共有种排法； 第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法． 所以不同的排法共有＝288(种)． 7．(多选)(2024·淮安模拟)有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的是(　　 ) A．5名同学每两人握手1次，共握手20次 B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法 D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 解析：选BD.A选项，5名同学每两人握手1次，共握手＝10(次)，故A错误；B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片＝20(张)，故B正确；C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有＝24(种)排法，故C错误；D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有＝48(种)排法，其中丙站正中间的排法有＝8(种)，所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48－8＝40(种)，故D正确． 8．(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有(　　 ) A．共有90种安排方法 B．甲连续两天值班的安排方法有30种 C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 解析：选ABD.对于A，首先任选2天安排甲值班，共＝15(种)方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班，共＝6(种)方法，最后安排丙，有＝1(种)方法，共计15×6×1＝90(种)方法，故A正确； 对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5(种)方法，再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共＝6(种)，共计5×6＝30(种)方法，故B正确； 对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2(种)方法，再讨论丙值的两天班是否连续， 若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，安排“丙丙”即可，此时有＝3(种)方法， 若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，此时有＝3(种)；综上，符合题意的方法数为2×(3＋3)＝12(种)，故C错误； 对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共＝6(种)方法，故D正确． 9．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________． 解析：问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为＝165. 答案：165 10．(人教A版选择性必修三P28)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况． 解析：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6(种)情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况； ②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有＝6(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况． 故一共有36＋18＝54(种)不同的名次情况． 答案：54 【综合应用题】 11．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为(　　 ) A．208 B．204 C．200 D．196 解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为；二是4条竖线上的3个点，其组数为；三是4条对角线上的3个点，其组数为.所以可以构成三角形的组数为＝200. 12．“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同的取法种数为________． 解析：对于取下6盏不同的花灯，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种排法，因为花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有＝20(种)不同的取法． 答案：20 13．(2024·北京十一校联考)把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这2张票具有连续的编号，那么不同的分法共有________种．(用数字作答) 解析：根据题意，可分为两步进行： ①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张， 至多2张， 则有2个人各1张，2个人各2张且分得的票必须连号，相当于将1，2， 3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号， 即在其中的5个空隙中插入3个板子，有＝10(种)情况， 其中出现3张三连号的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345， 6；1，2，3，456，共4种情况，不满足题意， 所以有10－4＝6(种)情况； ②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有＝24(种)情况． 由分步乘法计数原理可得，共有6×24＝144(种)不同的分法． 答案：144 14．(2024·湖南师大附中质检)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有___个． 解析：先排偶数，有＝6(种)方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有＝24(种)情况，故组成没有重复数字且奇数不相邻的六位数的个数为＝6×24＝144， 若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有种选择，第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有种选择，剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有＝6(种)选择， 则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4位于第四位共有＝24(个)， 所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4不在第四位的六位数共有144－24＝120(个)． 答案：120 【创新拓展题】 15．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记an为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n＝1，2，…，14)，则满足＝16，a14＝2的跳跃方法有(　　 ) A．336种 B．448种 C．315种 D．420种 解析：选B.因为＝16，所以a8＝－4或a8＝4. 当a8＝－4，a14＝2时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次， 后6次向右跳跃6次，所以有＝28(种)跳跃方法； 当a8＝4，a14＝2时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向 左跳跃4次，向右跳跃2次，所以有＝28×15＝420(种)跳跃方法． 综上所述，满足＝16，a14＝2的跳跃方法有28＋420＝448(种)． 16．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有(　　 ) A．181种 B．109种 C．84种 D．96种 解析：选A.依题意作图如图所示： 上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其中第3个位置必须比1，2，4，5，6要高，第8个位置必须比6，7高，1，6两处要比排列里其他位置低． 设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，则第3个位置可选演员编号最小是⑥，最大是⑧，下面分类讨论： (1)第3个位置选⑥号：先从①，②，③，④，⑤号中选两个放入前两个位置，余下的3个号放入位置4，5，6，顺序是确定的，只有一种情况，然后⑦，⑧号放入最后两个位置也是确定的，此时共＝10(种)情况； (2)第3个位置选⑦号：先从①，②，③，④，⑤，⑥号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中编号最小的放入第6个位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共＝45(种)情况； (3)第3个位置选⑧号：先从①，②，③，④，⑤，⑥，⑦号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中编号最小的放入第6个位置，剩下4个选2个放入4，5两个位置，余下的2个号放入最后两个位置，此时共＝126(种)情况． 综上，由分类加法计数原理可得共有10＋45＋126＝181(种)排列方式． $