8.12 圆锥曲线中范围与最值问题（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 8.12　圆锥曲线中范围与最值 问题 01 02 题型一 题型二 课下巩固精练卷(七十四) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(七十四) 圆锥曲线中范围与最值问题 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 01 02 03 04 感谢观看 题型一　最值问题 角度1　利用基本不等式求最值 【例1】　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x＝－2相交于点M. (1)若M(－2，－1)，求证：|MA|·|BF|＝|MB|·|AF|； (2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x＝－2相交于点N.求的最大值． [思维建模] 第(1)问 求什么 想什么 证明线段之积相等，想到两点间距离公式或弦长公式 给什么 用什么 (1)已知离心率和焦距，可求椭圆方程； (2)直线过点M、F，可求出其方程 差什么 找什么 要用到A、B点的坐标，所以要联立直线与椭圆方程组 第(2)问 求什么 想什么 求四条线段长倒数的和的最大值，想到用弦长公式表示四条线段的长 给什么 用什么 已知两条互相垂直的直线，分别联立其与椭圆的方程组，为弦长公式做好准备 差什么 找什么 建立关于直线斜率k的函数关系式，转化为基本不等式求最值 解：(1)证明：因为椭圆E的焦距为2， 所以2c＝2，解得c＝1. 又因为椭圆E的离心率e＝，所以a＝， 所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. 因为直线l经过M(－2，－1)，F(－1，0)，kMF＝＝1， 所以直线l的方程为y＝x＋1， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得3x2＋4x＝0， 解得x1＝－，x2＝0. 所以|MA|·|BF|＝＝2×， |MB|·|AF|＝＝2×2×， 因此，|MA|·|BF|＝|MB|·|AF|. (2)若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直， 则其中有一条必与直线x＝－2平行，不合乎题意， 所以直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为y＝k(x＋1)， 则直线m方程为y＝－(x＋1)，其中k≠0. 联立可得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 设A1(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k4－8(2k2＋1)(k2－1)＝8(k2＋1)>0， 由韦达定理可得x1＋x2＝－， 易知x1>－2且x2>－2，将x＝－2代入直线l的方程可得y＝－k， 即点M(－2，－k)， 所以＝ ＝＝ ＝＝， 同理可得， 所以 ＝， 当且仅当k＝±1时，等号成立， 因此，的最大值为2. 思维升华　基本不等式求最值的典型情况 (1)s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)． (2)s＝(基本不等式)． (3)s＝(基本不等式)． (4)s＝(先分离参数，再利用基本不等式)． (5)s＝(上下同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)． 【对点练习】　1. (2024·海南诊断)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一个动点，|PF1|＋|PF2|＝ ＝. (1)求C的方程； (2)设点P在第一象限，且直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于另外两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，求y1－y2的最大值． 解：(1)设C的半焦距为c(c>0)， 由|PF1|＋|PF2|＝， 可得2a＝c　①， 当PF2⊥x轴时，令x＝c，得|y|＝， 所以　②. 联立①②以及a2＝b2＋c2，解得a＝， 故C的方程为＝1. (2)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 由已知可得F1(－2，0)，F2(2，0)， 设直线PA的方程为x＋2＝my，直线PB的方程为x－2＝ny. 联立消去x整理得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 所以y0y1＝. 又m＝＝6， 所以y0y1＝－， 所以y1＝－. 同理可得y2＝－. 则y1－y2＝ ＝ ＝， 当且仅当时取等号， 所以y1－y2的最大值为. 角度2　利用函数性质求最值 【例2】　(2024·四川模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B(p，0)，若|AB|的最小值为2. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l过点P(5，－4)且交抛物线C于M，N两点，求|FM|·|FN|的最小值． 解：(1)设A(x，y)，则|AB|＝ ≥p，等号成立当且仅当y＝0， 所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线的斜率存在时， 由题易知直线的斜率不为0， 设直线l的方程为y＝k(x－5)－4＝kx－5k－4(k≠0)， 与抛物线C的方程联立 消去y得k2x2－(10k2＋8k＋4)x＋(5k＋4)2＝0， 由P(5，－4)在抛物线内部，故Δ>0， 所以x1＋x2＝. 由(1)知，F(1，0)为抛物线C的焦点，由抛物线定义得， |FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝ ＋36＝202＋， 所以当时，； 当直线的斜率不存在时，x1＝x2＝5. 由抛物线定义知|FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝36. 综上，. 思维升华　利用函数性质求最值的解题模型 【对点练习】　2.(2024·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 解：(1)由题意可得 解得p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)， 设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0， 联立消去x得y2－4ty－4＝0. 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 联立消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0. 所以y1＋y3＝－. 所以|AC|＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝·(ty1＋2)． 同理可得|BD|＝·(ty2＋2)， 所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8， 令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0， 所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝2时，f(x)取得最小值， 即当t＝±时，. 题型二　范围问题 【例3】　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围． 解：(1)当MN⊥x轴时，设F1(－c，0)，M(－c，m)， 则c2＝a2－b2，＝1，即m2＝， 又|MN|＝3，即＝3， 又，得a＝2，b＝， 所以椭圆C的方程为＝1. (2)由题意得直线PQ的斜率一定存在且不为0， 设直线PQ的方程为y＝kx－1(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F(－x1，y1)， 联立整理得(3＋4k2)x2－8kx－8＝0， Δ＝64k2＋32(3＋4k2)＝192k2＋96>0， 则x1＋x2＝， 直线FQ的方程y－y1＝(x＋x1)，设G(0，yG)， 则yG－y1＝－1＝－3， S△PQG＝＝|x1－x2|＝ . 令2k2＋1＝t，t∈(1，＋∞)， 则S△PQG＝4，t∈(1，＋∞)， 由于4t＋＋4∈(9，＋∞)，∈， 所以∈， 则4∈， 所以△PQG面积的取值范围为. 思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点练习】　3.已知F是椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 解：(1)由题意知，椭圆＝1(a>b>0)的左焦点为， 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为 ＝4， 即2a＝4，所以a＝2， 又因为c＝，可得b＝＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时， 结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意． 故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝， 所以kOA＋kOB＝＝ ＝2k＋， 由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1， 所以k≥－， 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0， 所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1， 综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)． 1．已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c＝. 又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程为＋y2＝1. (2)当l⊥x轴时不合题意； 设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>. 从而|PQ|＝＝. 又点O到直线PQ的距离d＝. 所以△OPQ的面积S△OPQ＝＝. 设＝t，则t>0，S△OPQ＝≤1， 当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 2．已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求的取值范围． 解：(1)由题意可得 又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝. 所以椭圆C的方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t， 联立 消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0， Δ＝12(3＋9k2－t2)>0， 则 又k1k2＝， 故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0， 即3t2－9≠0，则t2≠3， 又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以 ＝k2＋ ＝， 整理得2t2＝9k2＋3≥3， 则t2≥且Δ>0恒成立． ， 又t2≥，且t2≠3， 故3∪(0，3)． 当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1， 则k1k2＝－， 又＝1，解得， 则＝3. 综上，的取值范围为[－3，0)∪(0，3]. 3．(2024·湖南衡阳模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)左焦点为F，离心率为，以坐标原点O为圆心，＝0相切． (1)求C的方程； (2)设点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围． 解：(1)依题意解得 所以C的方程为＝1. (2)因为AE不与x轴重合，所以设AE的方程为x＝my＋t(m≠0)， 设点A(x1，y1)(y1≠0)，E(x2，y2)，则B(x1，－y1)， 联立得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0， 则Δ＝48(3m2－t2＋4)>0，y1＋y2＝， 因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以， 所以x1y2＋x2y1＝4(y1＋y2)， 将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入化简可得，故， 解得t＝1，满足Δ＝48(3m2＋3)>0， 所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆右焦点， 设所求内切圆半径为r，因为S△AEF＝×4a·r＝4r， 所以r＝， 令u＝(u>1)，则m2＝u2－1，所以r＝， 因为u>1，对勾函数y＝3u＋在(1，＋∞)上单调递增， 所以3u＋>4，则0<r<. 所以内切圆半径r的范围为. 4．(2024·佛山模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 解：(1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2， 由|AF|＝|BF|，得a＋c＝， 得a2＋2a＝22－a2， 解得a＝1(a＝－2<0舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故双曲线C的方程为x2－＝1. (2)显然直线MN不可能与x轴平行， 故可设直线MN的方程为x＝my＋n， 联立消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－， 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 代入根与系数的关系得， 3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简得n2－4n－5＝0， 解得n＝5或n＝－1(舍去)， 则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝， 又M，N都在双曲线的右支上，且k1k2＝－2， 故y1y2＝<0， 即3m2－1<0，0≤m2<， 此时1≤<∈， 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为. $