第八章 第一节 直线的方程（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的方程”专题，覆盖倾斜角、斜率及五种方程形式等核心考点，依据新课标要求明确几何要素确定、代数刻画等考查维度，通过真题分析梳理倾斜角范围、截距问题等高频考点，归纳最值、定点问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础夯实+能力提升+应试突破”体系，结合易错题（如截距相等忽略过原点）和真题变式（如面积最值用基本不等式），总结斜率计算、方程求解等技巧，培养数学思维与运算能力，助力学生掌握答题方法，为教师提供系统复习指导，提升备考效率。

第一节　直线的方程 高三一轮复习讲义　湘教版 第八章　平面解析几何 课程标准 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.　 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.　 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等). 03 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 正向 逆时针 平行或重合 1.直线的倾斜角 定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们把x轴_____绕交点_______旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴___________时，规定倾斜角α=0 范围 __________ 0≤α<π 2.直线的斜率 微提醒　所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.当直线的倾斜角是时直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合). 定义 一条直线的倾斜角α的_______k称为这条直线的斜率，即k=_____ 过两点的直线的斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线(设直线的倾斜角为α)的 斜率公式为k=tan α=_______ 正切值 tan α 3.直线的方程 名称 方程 适用范围 点斜式 ____________ 不含直线x=x0 斜截式 _______ 不含垂直于x轴的直线 两点式 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 过任意两个不同的点的直线都适用 __________________________ 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 _______ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ___________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 y-y0=k(x-x0) y=kx+b +=1 微提醒　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 4.直线的方向向量和法向量 (1)直线的方向向量：与直线l_____的_____向量v都称为l的方向向量，用它们来表示直线的_____. (2)直线方向向量的性质： ①直线的方向向量相互_____，互为_______. ②斜率为k的直线的方向向量为_______的非零实数倍. (3)直线的法向量：与直线l_____的非零向量n=(A，B)称为直线l的法向量. 平行 非零 常用结论 (1)直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界 线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. (2)几种特殊直线的方程 ①直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x=x1. ②直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y=y1. ③y轴的方程为x=0. ④x轴的方程为y=0. Α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 自主检测 1.(多选)下列说法错误的是 A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D．存在直线l，使得l在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0 √ √ √ 2.若过点M(-2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 √ 由斜率公式得=1，解得m=1.故选A． 3.(易错题)过点(3，-2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为___________ _______.  由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过(3，-2)，则直线方程为y=-x，即2x+3y=0；若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距均为a，则直线方程为+=1，又直线过点(3，-2)，则+=1，解得a=1，所以此时直线方程为x+y=1. 2x+3y=0或 x+y=1 4.(用结论)直线y=1的斜率为　　.  因为直线y=1平行于x轴，所以斜率为0. 0 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　直线的倾斜角与斜率 自主练透 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ=-sin α.因为sin α∈[-1，1]，所以-1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤≤θ<π.故选B． 1.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 A．[0，π) B．∪ C． D．∪ √ 2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 √ 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.故选D． 3.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　　　______　　　　　，倾斜角的取值范围 是　　　　.  如图，因为kAP==1，kBP==-，所以k∈(-∞， -]∪[1，+∞).设直线的倾斜角为θ，则有tan θ≤ -，或tan θ≥1，所以≤θ≤，即倾斜角的取值 范围为. (-∞，-]∪[1，+∞) 　 4.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在 直线的斜率分别为　　，　　.  如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为 2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直 线的倾斜角为θ，则tan θ=2，由正方形的性质可知，直 线OA的倾斜角为θ-，直线OC的倾斜角为θ+，故kOA= tan===，kOC=tan= ==-3. -3 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤 第一步：求出斜率k=tan α的取值范围； 第二步：利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围. 2.斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k=tan α求斜率. (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 规律方法 考点二　求直线的方程 师生共研 典例1 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点A(-1，-3)，且斜率为-； 解：因为所求直线过点A(-1，-3)，且斜率为-，所以y+3=-(x+1)，即x+4y+13=0. (2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍； 解：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=kx， 又直线过点(2，1)， 所以1=2k，解得k=，所以直线方程为y=x，即x-2y=0； 当横截距与纵截距都不为0时， 可设直线方程为+=1， 由题意可得 所以直线方程为+=1，即x+2y-4=0. 综上，所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0. (3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5. 解：当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x-5=0，满足题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k， 则所求直线方程为y-10=k(x-5)， 即kx-y+10-5k=0. 所以原点到直线的距离d==5， 解得k=， 所以所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上，所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0. 求直线方程的两种方法 注意：在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时应注意分类讨论. 规律方法 对点练1.(1)已知直线l的一个方向向量为n=(2，3)，若l过点A(-4，3)，则直线l的方程为 A．y-3=-(x+4) B．y+3=(x-4) C．y-3=(x+4) D．y+3=-(x-4) √ 法一：因为直线l的一个方向向量为n=(2，3)，所以直线l的斜率k=，故当△AOB面积最小时，直线l的方程为y-3=(x+4).故选C． 法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则=，因为直线l的一个方向向量为n=(2，3)，所以3(x+4)-2(y-3)=0，故直线l的方程为y-3=(x+4).故选C． (2)过点P(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 √ 当截距为0时，设直线方程为y=kx，将P(1，4)代入y=kx，求得k=4，故方程为y=4x；当截距不为0时，①若截距相等，设方程为+=1，将P(1，4)代入，即+=1，解得a=5，故方程为x+y=5.②若截距互为相反数，设直线方程为-=1，将P(1，4)代入，即-=1，解得a=-3，故方程为x-y+3=0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.故选C． 考点三　直线方程的综合应用 师生共研 典例2 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 解：法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0)， 则A，B， S△AOB=·=≥×(4+4)=4， 当且仅当-4k=-，即k=-时，等号成立. 故直线l的方程为y-1=-(x-2)， 即x+2y-4=0. 法二：设直线l：+=1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)，所以+=1， 则1=+≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab=×8=4， 当且仅当==时取等号， 此时a=4，b=2，故直线l的方程为+=1， 即x+2y-4=0. 变式探究 1.(变条件)在本例条件下，当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程. 解：由本例法二知，+=1，a>0，b>0， 所以|OA|+|OB|=a+b=· =3++≥3+2， 当且仅当a=2+，b=1+时，等号成立， 所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+y=2+. 2.(变条件)本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程. 解：法一：由本例法一知A，B(0，1-2k)(k<0). 所以|MA|·|MB|=· =2×=2≥4， 当且仅当-k=-，即k=-1时取等号， 此时直线l的方程为x+y-3=0. 法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，+=1， 所以|MA|·|MB|=||·|| =-· =-(a-2，-1)·(-2，b-1) =2(a-2)+b-1=2a+b-5 =-5 =2≥4， 当且仅当a=b=3时取等号，此时直线l的方程为x+y-3=0. 与直线方程有关的最值问题的解题策略 规律方法 对点练2.已知直线l过点M(1，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为　　　　　.  设直线l的方程为+=1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b)，且+=1，则a+b=ab，所以|MA|2+|MB|2=(a-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(b-1)2=4+a2+b2-2(a+ b)=4+a2+b2-2ab=4+(a-b)2≥4，当且仅当a=b= 2时取等号，此时直线l的方程为x+y-2=0. x+y-2=0 对点练3.已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； 证明：直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0， 令 所以无论k取何值，直线总经过定点(-2，1). (2)若直线不经过第四象限，求实数k的取值范围. 解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为-，在y轴上的截距为1+2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有 解得k>0； 当k=0时，直线为y=1，符合题意， 故实数k的取值范围是[0，+∞). 返回 课 时 测 评 返回 1.在x轴与y轴上截距分别为-2，2的直线的倾斜角为 A．45° B．135° C．90° D．180° √ 由题意知直线过点(-2，0)，(0，2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k=tan α==1，故倾斜角α=45°.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为 A．y=x+2 B．y=x-2 C．y=x- D．y=-x-2 √ 直线x-2y-4=0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y=x+2.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.如果AB>0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号，令x=0，得y=->0；令y=0，得x=->0，所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是 A．- B． C．- D． √ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)，则平移后直线的方程为y=k(x-3)+b-2=(kx+b)+(-3k-2)，可得kx+b=(kx+b)+(-3k-2)，即k=-.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.已知点A(1，3)，B(-2，-1).若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB恒相交，则实数k的取值范围是 A．k≥ B．k≤-2 C．k≥或k≤-2 D．-2≤k≤ √ 直线l：y=k(x-2)+1经过定点P(2，1)，因为kPA==-2，kPB==，又直线l与线段AB恒相交，所以-2≤k≤.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为 A．x-y+1=0 B．x+y-3=0 C．2x-y=0 D．x-y-1=0 √ √ 当直线经过原点时，斜率为k==2，所求的直线方程为y=2x，即2x-y=0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=a，把点A(1，2)代入可得1-2=a或1+2=a，求得a=-1或a=3，故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0.综上，所求的直线方程为2x-y=0，x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R)，则下列命题正确的是 A．直线的倾斜角是π-α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 √ √ 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π-α∈R，故A不正确；当x=y=0时，xsin α+ycos α+1=1≠0，所以直线必不过原点，故B正确；当α=时，直线斜率不存在，故C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S=·=≥1，故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限，则数k的取值范围为　　____　_. 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.直线l的倾斜角是直线x-y-1=0的倾斜角的2倍，且过点(，-1)，则直线l的方程为　　　　　　.  直线x-y-1=0可化为y=x-1，其斜率为，所以其倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为120°，所以kl=tan 120°=-，所以直线l的方程为y+1=-(x-)，即x+y-2=0. x+y-2=0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.过点P(-1，0)且与直线l1：x-y+2=0的夹角为的直线的一般式方程是 　　　　　　　　___.  直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tan β=，则β=，因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为.当所求直线的倾斜角为时，直线为x=-1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y=(x+1)，故直线为x-y+1=0.综上，所求直线为x+1=0或x-y+1=0. x+1=0或x-y+1=0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0有可能是 √ 由题意l1：y=-ax-b，l2：y=-bx-a，所以直线l1的斜率、y轴上的截距分别与直线l2在y轴上的截距、斜率符号相同，分析选项可知B符合.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(知识融合)直线l：x-y+2=0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转得直线m，m的倾斜角为α，则cos α等于 A．- B． C． D． 设l的倾斜角为θ，则tan θ=，所以θ=，由题意知α=θ-=-，所以cos α=cos =cos cos +sin sin =×+×=.故选C． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.已知A(2，3)，B(-1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为 A．1 B． C．- D．-3 √ 设Q(3，0)，则kAQ==-3，kBQ==-，因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所以表示直线PQ的斜率，而kPQ∈，故的最大值为-.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(多选)已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<β，则下列关系可能成立的是 A．0<k1<k2 B．k1<k2<0 C．k2<k1<0 D．k2<0<k1 √ √ 若0<α<β<，因为y=tan θ在上单调递增，则0<tan α<tan β，即0<k1<k2，故A可能成立；若<α<β<π，因为y=tan θ在上单调递增，则tan α<tan β<0，即k1<k2<0，故B可能成立；对于C，由k2<k1<0可知α，β∈，且tan β<tan α，即β<α，与题意矛盾，故C不可能成立；若0<α<<β<π，则tan α>0，tan β<0，即k2<0<k1，故D可能成立.故选ABD． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.设m∈R，过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P(x，y)，则|PA|+|PB|的最大值为 A．2 B．3 C．3 D．6 √ 由题意知，动直线x+my+1=0过定点A(-1，0)，动直线mx-y-2m+3=0可化为(x-2)m+3-y=0，令可得B(2，3)，又1×m+m×(-1)=0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-2)2+(0-3)2=18，因为≥，所以|PA|+|PB|≤= =6，当且仅当|PA|=|PB|=3时取等号.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(-2，-2)三点共线，则ab的最小值为　　.  16 根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为+=1，又因为C(-2，-2)在该直线上，故=1，所以-2(a+b)=aB．又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab=-2≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a=b=-4时取等号，即ab的最小值为16. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 直线的方程 $