第五章 第一节 数列的概念（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第一节　数列的概念 高三一轮复习讲义　湘教版 第五章　数　列 课程标准 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.数列的概念 概念 含义 数列 按照_________ 排成的一列数 数列的项 数列中的___________ 数列的第n 项与项数n 数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式.一般用an=_____表示 前n项和 数列{an}中，Sn=_______________称为数列{an}的前n项和 一定顺序 每一个数 f(n) a1＋a2＋…＋an 2.数列的分类 3.数列的表示方法 常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 自主检测 1.(多选)下列结论正确的是 A．数列的项与项数是同一个概念 B．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列 C．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点 √ √ 2.数列－1，，－，－，…的一个通项公式为 A．an=± B．an=· C．an=· D．an= √ 3.在数列{an}中，a1=1，an+1=1+，则a5= A．2 B． C． D． √ 由题意得，令n=1，可得a2=1+=2； 令n=2，可得a3=1+=1+=； 令n=3，可得a4=1+=1+=； 令n=4，可得a5=1+=1+=.故选D． 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=　　　　　　　.  当n=1时，a1=S1=2.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2+1－[(n－1)2+1]=2n－1.显然当n=1时，不满足上式， 故an= 返回 5.(用结论)数列{an}中，an=－n2+11n，则此数列最大项的值是　　.  若an最大，则 即 解得5≤n≤6.因为n∈N+，所以当n=5或n=6时，an取最大值30. 30 考点探究　提升能力 返回 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 自主练透 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，(1)若Sn=n2+2n，则an=　　　　； 2n+1　 当n=1时，a1=S1=3.当n≥2时，an=Sn－=n2+2n－[(n－1)2+2(n－1)]=2n+1.由于a1=3也满足上式，所以an=2n+1. (2)若Sn=n2+2n+1，则an=　　　　　　　.  当n=1时，a1=S1=4.当n≥2时，由(1)知，an=Sn－=2n+1，此时a1=4不满足上式，所以an= 2.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn=2an+1，则数列的通项公式an=　　　　，S6=　　　.  －2n－1　 －63 当n=1时，a1=S1=2a1+1，所以a1=－1.当n≥2时，Sn=2an+1①，Sn－1 =2an－1+1②.①－②得Sn－Sn－1=2an－2an－1，即an=2an－2an－1，即an=2an－1(n≥2)，所以{an}是首项为a1=－1，公比为q=2的等比数列.所以an=a1·qn－1=－2n－1，S6==－63. 3.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n－1)an=(n+1)2，n∈N+，则{an}的通 项公式an=　　　　　　　.  因为a1+3a2+5a3+…+(2n－1)an=(n+1)2①，所以a1=22=4，当n≥2时，a1+3a2+5a3+…+(2n－3)=n2②，由①－②，可得(2n－1)an =2n+1，所以an=(n≥2，n∈N+)，当n=1时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式是an= 4.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=SnSn+1，则Sn=　　　　.  因为an+1=Sn+1－Sn，an+1=SnSn+1，所以由两式联立得Sn+1－Sn=SnSn+1.由题意可知Sn≠0，所以=1，即=－1.又=－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列.所以=－1+(n－1)×(－1)= －n，所以Sn=－. － 1.已知Sn求an的三个步骤 第一步：先利用a1=S1求出a1； 第二步：用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an=Sn－Sn－1 (n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； 第三步：注意检验当n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解. (2)利用Sn－Sn－1=an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 规律方法 考点二　由数列的递推关系求通项公式 师生共研 典例1 根据下列条件求数列的通项公式： (1)已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n+1； 解：(累加法)：根据题意=an+n+1， 所以当n≥2时，an=+n，即an－=n， 所以当n≥2时，an=(an－)+()+…+(a2－a1)+a1=n+(n－1)+…+2+1=， 当n=1时，a1=1符合上式，故数列{an}的通项公式是an=. (2)已知数列{an}中，a1=1，an+1－an=4n－1； 解：(累加法)由an+1－an=4n－1，得an=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(an－an－1) =a1+1+4+…+4n－2=(n≥2). 当n=1时，a1=1，满足上式. 故数列{an}的通项公式是an=. (3)已知数列{an}中，a1=2，(n+1)an+1=2(n+2)an； 解：(累乘法)因为(n+1)=2(n+2)an， 所以=， 则an=a1····…·=2n－1·a1·=(n+1)·2n－1(n≥2). 当n=1时，a1=2满足上式， 故数列{an}的通项公式是an=(n+1)·2n－1. (4)已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an. 解：(累乘法)由Sn=n2an，可得当n≥2时，Sn－1=(n－1)2an－1， 则an=Sn－Sn－1=n2an－(n－1)2an－1， 即(n2－1)an=(n－1)2an－1，易知an≠0， 故=(n≥2). 所以当n≥2时，an=×××…×××a1 =×××…×××1=. 当n=1时，a1=1满足an=. 故数列的通项公式是an=. 1.形如－an=f(n)的递推关系，用累加法求通项，即利用恒等式an=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(an－)(n≥2)求解. 2.形如=f(n)的递推关系，用累乘法求通项，即利用恒等式an=a1····…·(an≠0，n≥2)求解. 规律方法 对点练1.在数列{an}中，a1=2，=an+ln，则an等于 A．2+ln n B．2+(n－1)ln n C．2+nln n D．1+n+ln n √ 因为－an=ln =ln(n+1)－ln n，所以a2－a1=ln 2－ln 1，a3－a2=ln 3－ln 2，a4－a3=ln 4－ln 3，…，an－=ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1=ln n－ln 1，则an=2+ln n(n≥2)，且a1=2也满足此式，因此an=2+ln n(n∈N+).故选A． 对点练2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n+2－3，则该数列的通 项公式为　　　　　　　　.  当n=1时，a1=S1=23－3=5，当n≥2时，有an=Sn－Sn－1=(2n+2－3)－(2n+1－3)=2n+1，当n=1时，a1=5不满足上式，所以an= an= 考点三　数列的函数特征 多维探究 an+1－an==，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N+，an+1－an=<0，所以k>3－3n对任意n∈N+恒成立，所以k的取值范围为(0，+∞).故选D． 典例2 角度1　数列的单调性 已知数列{an}中，an=，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为 A．(3，+∞) B．(2，+∞) C．(1，+∞) D．(0，+∞) √ 判断数列单调性的三种方法 1.作差比较法：根据an+1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. 2.作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断. 3.函数法：结合相应的函数图象直观判断. 规律方法 典例3 角度2　数列的周期性 (1)在数列中，an+1=若a1=，则a2 025= A． B． C． D． √ 因为an+1=且a1=，所以a2=2a1－1=2×－1=，a3=2a2－1=2×－1=，a4=2a3=，a5=2a4=，a6=2a5－1=2×－1 =，…，所以是以4为周期的周期数列，所以a2 025=a4×506+1=a1=.故选A． (2)在数列中，an>0，a1=1，a2=，若对∀n∈N+，+ +=10，则a2 026= A． B．1 C． D． √ 由++=10与++=10相减得=0，即(an+3－an)(an+3+an)=0，又an>0，故an+3=an，所以a2 026=a3×675+1=a1=1.故选B． 解决数列周期性问题的方法 　　根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和. 规律方法 角度3　数列的最值 　　　(1)已知数列{an}满足a1=，an－an+1=anan+1，则的最小值为　　　.  由题意得，=10，=1，所以数列是以10为首项，1为公差的等差数列，所以=n+9，所以==n++11，令y=n+，则y=n+在(0，3)上单调递减，在上单调递增，又n∈N+，当n=4时，n+=，当n=5时，n+=>，所以当n=4时，取得最小值，为. 典例4 (2)若数列{an}的前n项积bn=1－n，则an的最大值与最小值之和为 A．－ B． C．2 D． √ 因为数列{an}的前n项积bn=1－n，当n=1时，a1=；当n≥2时，=1－(n－1)，an====1+，当n=1时也适合上式，所以an=1+，所以当n≤4时，数列{an}单调递减，且an<1；当n≥5时，数列{an}单调递减，且an>1，故an的最大值为a5=3，最小值为a4=－1，所以an的最大值与最小值之和为2.故选C． 求数列的最大项与最小项的常用方法 1.将数列视为函数f(x)当x∈N+时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项或最小项. 2.通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项. 规律方法 对点练3.(2025·山东济宁三模)已知数列中，a1=2，a2=1，an+1=an－an－1 ，则a2 024= A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 由a1=2，a2=1，an+1=an－an－1(n≥2，n∈N+)，得a3=a2－a1=－1，a4=a3－a2=－2，a5=a4－a3=－1，a6=a5－a4=1，a7=a6－a5=2，a8=a7－a6=1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 024=a337×6+2=a2=1.故选C． 对点练4.(1)(多选)已知数列an=b∈Z，则下列描述正确的是 A．当{an}单调递减时，b的最小值为3 B．当{an}单调递减时，b的最小值为4 C．当b=20时，前n项和的最大值为57 D．当b∈时，{|an|}为单调递增数列 √ √ √ 当{an}单调递减时，则a8=－3×8+b>a9=－2×9－3，解得b>3，因为b∈Z，所以b的最小值为4，故A错误，B正确.当b=20时，数列{an}的前6项为正，第7项开始往后为负，所以前6项和最大，S6==57，故C正确.当n≥9时，an<0，|an|=2n+3，数列{|an|}单调递增，当1≤n≤8时，易知数列{an}单调递减，当b∈时，a1>0，a2<0，且数列{|an|}满足所以数列{|an|}单调递增，故D正确.故选BCD． (2)(2025·河北邢台模拟)已知数列{an}的通项公式为an=，则an取得最大值时，n=　　.  3 依题意a1=，a2=，a3=1，a4=，构造函数f(x)=，则f'(x)= =，因为x≥4，ln 3>1，xln 3>4，所以f'(x)<0在[4，+∞)上恒成立，所以f(x)在区间[4，+∞)上单调递减，所以当n≥4时，{an}是递减数列，所以an的最大值为a3=1.所以an取得最大值时，n为3. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2022·北京卷改编)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1，2，…)，则{an}为递　　　数列.(填“增”或“减”)  减 由题意可知，当n≥2时，由Sn==，又由an=Sn－Sn-1 ==>0，可得an<，所以数列{an}为递减数列. 返回 教材呈现 (湘教版选择性必修一P9例8)已知数列{an}的通项公式为an=，判断该数列是否有最大项.若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由. 点评：高考题与教材例题都考查数列的函数特性——单调性，高考题难度低于教材. 课 时 测 评 返回 1.已知数列，2，…，则2是该数列的 A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 √ 由数列，2，…的前三项可知，数列的通项公式为an==，由=2，解得n=7.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+n，则a9等于 A．20 B．30 C．36 D．28 √ 因为a1=2，2an+1=2an+n，所以an+1－an=，所以a9=(a9－a8)+(a8－a7)+…+(a2－a1)+a1=++…++2=+2=×+2=20.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.(2024·河南新乡模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，a2=3，an+an+2=1，则S19= A．0 B．3 C．12 D．19 √ 因为an+an+2=1，所以an+2+an+4=1，则an=an+4，故该数列的周期为4.又a1=1，a2=3，an+an+2=1，所以a3=0，a4=－2，所以S19=4×+a1+a2+a3=12.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.(2024·广东佛山检测)已知数列{an}满足an=若数列{an}为递增数列，则实数a的取值范围为 A．(1，7) B．(2，7) C．(2，6) D．(6，7) √ 因为数列{an}为递增数列，所以一定有解得a∈(2，6).故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(新定义)(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an+1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N+)，其中是“差递减数列”的有 A．an=3n B．an=n2+1 C．an= D．an=ln √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，若an=3n，则an+1－an=3－3n=3，为常数，所以{an}不为“差递减数列”，故A错误；对于B，若an=n2+1，则an+1－an=(n+1)2－n2=2n+1，所以{an+1－an}为递增数列，{an}不为“差递减数列”，故B错误；对于C，若an=，则an+1－an==，所以{an}为“差递减数列”，故C正确；对于D，若an=ln，则an+1－an=ln－ln=ln=ln，由函数y=ln在(0，+∞)上单调递减，所以{an}为“差递减数列”，故D正确.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(数学文化)(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是 A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182 C．此数列偶数项的通项公式为a2n=2n2 D．此数列的前n项和为Sn=n(n－1) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 观察此数列，偶数项通项公式为a2n=2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1=a2n－2n，由此可得a20=2×102=200，故A、C正确；a19=a20－20=180，故B错误；Sn=n(n－1)=n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn=n(n－1)，故D错误.故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.已知正项数列{an}中，++…+=，则数列{an}的通项公式an=　　　.  n2 因为++…+=，所以+ +…+=，两式相减得= =n，所以an=n2，又当n=1时，==1，a1=1，适合上式，所以an=n2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(新定义)若非零数列满足anan+2=an+1(n∈N+)，则称数列为“等积数列”.若等积数列中a1=4，a2=5，则a2 025=　　.  由题意知anan+2=an+1，则an+2=，结合a1=4，a2=5，可得a3==，a4===，a5===，a6==，a7==4，a8==5，…，故数列是以6为周期的周期数列，所以a2 025=a337×6+3=a3=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(开放题)已知数列{an}满足：①先单调递减后单调递增；②当n=3时取得最小值.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式： 　　　　　　　　　　　　　　　.  设an=，则an+1=，an+1－an==2n－5，当1≤n≤2时，an+1－an=2n－5<0，数列单调递减，当n≥3时，an+1－an=2n－5>0，数列单调递增，即a1>a2>a3<a4<…，可得当n=3时数列取得最小值，故an=(n－3)2. an=(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2－2an+1+an=4，n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) 解：令cn=an+1－an，则cn+1－cn=4，而c1=a2－a1=2， 所以{cn}是首项为2，公差为4的等差数列， 即cn=2+4=4n－2， 所以c1+c2+…+cn－1=(a2－a1)+(a3－a2)+…+(an－an－1)=an－a1=an－1，又c1+c2+…+cn－1=4(1+2+…+n－1)－2(n－1)=2n2－4n+2， 所以an=2n2－4n+3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)设bn=，n∈N+，求bn的最小值.(7分) 解：由(1)得bn==2n+－4，n∈N+， 所以bn≥2－4=2－4，当且仅当n=∈时等号成立，故bn>2－4且在n≥2上单调递增，又b1=1<b2=， 所以当n=1时，bn有最小值b1=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)在数列{an}中，已知a1=，an+1=，p>0，n∈N+. (1)若p=1，求数列{an}的通项公式；(6分) 解：由an+1=，得=n，用累加法得，++…+=1+2+…+n=，所以=+=，即an+1=， 所以an=，n≥2， 又n=1时，满足上式，所以an=，n∈N+，若p=1，则an=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)记bn=nan，若在数列{bn}中，bn≤b4(n∈N+)，求实数p的取值范围.(8分) 解：由(1)得，bn=，则b4=， 又bn≤b4(n∈N+)，则≤， 化简得(n－4)p≤2n(n－4). 当n<4时，p≥2n，即p≥(2n)max=2×3=6； 当n>4时，p≤2n，即p≤=2×5=10. 综上，实数p的取值范围是[6，10]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=·，则下列说法正确的是 A．数列{an}的最小项是a1 B．a4是数列{an}的最大项 C．a5是数列{an}的最大项 D．当n≥5时，数列{an}递减 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 假设第n项为{an}的最大项，则 即 所以又n∈N+，所以n=4或n=5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4=a5=，当n≥5时，数列{an}递减.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(数学文化)(多选)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”. “三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，依次类推.设第n层有an个球，从上往下n层球的总个数为Sn，则下列关系式正确的是 A．S5=35 B．an+1－an=n C．Sn－Sn－1=，n≥2 D．+++…+= √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意得a1=1，a2－a1=2，a3－a2=3，…，an－an－1=n，以上n个式子相加可得an=1+2+3+…+n=，又a1=1也满足上式，所以an=，所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35，故A正确；由递推关系可知an+1－an=n+1，故B不正确；当n≥2时，Sn－Sn－1=an=，故C正确；因为==2，所以++…+=2×+2×+…+2×=2×=，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新角度)(多选)(2024·江苏常州第一次质量检测)某一机器人每一秒可以前进或后退一步，将该机器人放在数轴的原点处，沿着数轴的正方向按照“先前进3步，再后退2步”的规律进行移动，且每步移动的距离均为1个单位长度.若P(n)表示第n秒机器人所在的点在数轴上对应的实数值，且规定P(0)=0，下式中的k∈N，则以下结论正确的是 A．P(2)=P(4) B．P(1)=P(5) C．P(5k+3)=k+3 D．P(5k+4)=k+4 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意P(0)=0，P(1)=1，P(2)=2，P(3)=3，P(4)=2，P(5)=1，P(6)=2，P(7)=3，P(8)=4，P(9)=3，P(10)=2，P(11)=3，P(12)=4，P(13)=5，P(14)=4，P(15)=3，…，以此类推，P(5k)=k，P(5k+1)=k+1，P(5k+2)=k+2，P(5k+3)=k+3，P(5k+4)=k+2，k∈N，所以A、B、C正确，D错误.故选ABC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2，[－1.7]=－2.在数列{an}中，an=[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2 024=　　　； S2 024=　　　　.  3　 4 965 因为an=[lg n]，所以当1≤n≤9时，an=[lg n]=0；当10≤n≤99时，an= [lg n]=1；当100≤n≤999时，an=[lg n]=2；当1 000≤n≤9 999时，an=[lg n]=3.所以a2 024=[lg 2 024]=3，S2 024=9×0+90×1+900×2+ 1 025×3=4 965. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 数列的概念 $