4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数的概念”核心考点，严格依据课标要求覆盖角的定义、弧度与角度互化、三角函数定义等内容。通过分析近5年高考真题，明确象限角判断、扇形面积公式应用等高频考点占比，归纳角的象限判定、三角函数值求解等3类常考题型，对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件亮点在于“夯基-研析-精练”三阶复习模式，以2024年石家庄真题“终边点坐标求三角函数值”为例，通过“定义应用-符号判断-运算验证”三步法培养学生数学思维和运算能力。课下精练卷包含16道高考仿真题，覆盖易错点如“弧度制单位遗漏”，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第四章 三角函数与解三角形 01 [课标要求] 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化． 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(二十九) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(二十九) 任意角和弧度制、三角函数的概念 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 零角 象限角 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 【必备知识】 1．任意角 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ． 端点 正角 负角 |α|r 2．弧度制 (1)定义：长度等于 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝ 扇形面积公式 S＝ ＝ 半径 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝ ，x＝ ，＝ (x≠0)． sin α cos α tan α 正切 余弦 (2)三角函数值在各象限内的符号：一 、二 、三 、 四 ，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)， 那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)． 全正 正弦 【必记结论】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) × × √ √ 2．－660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 解析：选C.－660°＝－660× rad＝－π rad. 3．下列各角中，与－457°是同一象限角的是(　　) A．600° B．520° C．－190° D．－380° 解析：选A.－457°是第三象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－190°是第二象限角，－380°是第四象限角． 4．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.|OP|＝＝13，∴sin θ＝，cos θ＝－， ∴sin θ＋cos θ＝－. 5．已知扇形的圆心角为2 rad，半径为5 cm，则此扇形的面积为_______． 解析：扇形面积S＝r2＝×2×52＝25 cm2. 答案：25 cm2 题型一　角及其表示 【例1】　(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 解析：选D.因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． (2)已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.∵角θ是第二象限角，∴θ∈，k∈Z，∴∈(，kπ＋)，k∈Z，∴角在第一或第三象限．又＝－sin ，∴sin ＜0，∴角在第三象限． 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 【对点练习】　1.(1)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为__________． 解析：终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． 答案：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} (2)－2 025°角是第__________象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是__________，最大负角是________. 解析：因为－2 025°＝－6×360°＋135°， 所以－2 025°角的终边与135°角的终边相同． 所以－2 025°角是第二象限角， 与－2 025°角终边相同的最小正角是135°. 又135°－360°＝－225°， 故与－2 025°角终边相同的最大负角是－225°. 答案：二　135°　－225° 题型二　弧度制及其应用 【例2】　(1)已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为____cm，面积为____cm2. 解析：由已知得α＝，R＝10 cm， 所以l＝αR＝(cm)， S扇形＝(cm2)． 答案： [变式]　若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积． 解：S弓形＝S扇形－S三角形＝·R2·sin (cm2)． (2)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径为______． 解析：设半径为r，扇形弧度为α，则周长为(2＋α)r， ∵扇形面积为定值9， ∴αr2＝9，即α＝，则周长为2r＋， 由基本不等式得2r＋＝12，当且仅当r＝3时，等号成立， ∴所求半径为3. 答案：3 思维升华　应用弧度制解决问题的策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【对点练习】　2.(1)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是(　　) A． B．2π＋2 C． D．2π－2 解析：选D.由已知得，则AB＝BC＝AC＝2，故扇形的面积为，弓形AB的面积为，∴所求面积为3＋×22＝2π－2. (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A． B． C．3 D． 解析：选D.如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝， 作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，∴l＝r， 由弧长公式得α＝. 题型三　三角函数的定义及应用 【例3】　(1)(2024·北京模拟)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，则cos 2α等于(　　) A．－ B．± C． D． 解析：选A.∵在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边， 终边与单位圆交于点P，∴sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－. (2)(多选)(2024·衢州质检)若sinx cos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选AC.因为sin x cos x>0，sin x＋cos x>0， 所以sin x>0，cos x>0， 故x是第一象限角， 由2kπ<x<2kπ＋，k∈Z， 得kπ<<kπ＋，k∈Z， 当k为偶数时，是第一象限角， 当k为奇数时，是第三象限角． 思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 【对点练习】　3.(1)(2024·重庆市模拟)角α终边上有一点P(m，2)，则“cos α＝－”是“m＝”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.角α终边上有一点P(m，2)，cos α＝<0， 解得m＝－，所以“cos α＝－”是“m＝－”的充要条件． (2)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选B.由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，由>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角． 【基础巩固题】 1．(2024·石家庄质检)已知角α的终边上一点P的坐标为(－2，1)，则cos α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.由题意可得cos α＝. 2．若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.由>0，得>0，所以cos θ>0. 又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角． 3．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A． B．－ C． D． 解析：选A.点P旋转的弧度数为，由三角函数定义可知，点Q的坐标(x，y)满足x＝cos ，y＝sin . 4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180 r/min (转/分)，小轮的半径为10 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是(　　) A．5 400π cm 　B．90π cm 　C．180π cm 　D．40π cm 解析：选B.大轮有45齿，小轮有30齿， 当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为180 r/min时，小轮转速为×180＝270 r/min， 小轮周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π÷60＝9π. 又小轮的半径为10 cm， 所以小轮周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π cm. 5．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　) A．－ B．± C．－ D．± 解析：选C.由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，即y＝±. 当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－； 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－. 综上，sin α·tan α＝－. 6．(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝(　　) A．± B． C．± 　D． 解析：选B.记O为坐标原点， 由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0， 所以，解得m＝±2， 因为A，B两点位于同一象限， 所以m＝2，则A(1，2)， 所以cos α＝. 7．(多选)已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 解析：选ACD.角θ的终边经过点，则sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点， α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限， D正确． 8．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图．设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD， 由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB， 设OA＝r，在Rt△ADO中，sin 　①， 又l＝rθ　②， 所以由①②可得，即. 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________． 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240° 10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝______弧度时，这个扇形的面积最大． 解析：由已知，得l＋2R＝40， 所以S＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100， 所以当R＝10(cm)时，S取得最大值， 此时l＝20(cm)，α＝2. 答案：2 【综合应用题】 11．(2024·江苏连云港模拟)如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．14π B．18π C．24π D．30π 解析：选C.由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为，第二段圆弧长度为×(1＋1)＝，第三段圆弧长度为×3＝2π，第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为，第六段圆弧长度为×6＝4π，第七段圆弧长度为，第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为＋2π＋＋4π＋＝24π. 12．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) A． B． C． D． 解析：选AD.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限， 可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x， 所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 当k＝0时，x所在的一个区间是， 当k＝1时，x所在的一个区间是. 13．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝____． 解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2. 在Rt△PBO中，PB＝r tan α， 所以△POB的面积为r·r tan α. 由题意得r2tan α＝2×αr2， 所以tan α＝2α，所以. 答案： 14．若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________． 解析：∵P(cos θ，sin θ)与Q，关于y轴对称，即θ，θ＋关于y轴对称，∴θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为. 答案： 【创新拓展题】 15．(多选)(2024·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．若y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 解析：选AD.由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝一定成立，所以D正确． 16．(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分．若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(　　) A．300－50π B．120π＋150 C．100π＋180 D．120π＋180 解析：选A.如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R， 则2R＝， 得R＝20＝AB， 因此∠AOB＝， △ABC所在弓形的面积S＝×πR2－2－2 ＝200π－300，从而阴影部分面积S′＝π×2－S＝300－50π. $