课下巩固精练卷(29) 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(二十九)　任意角和弧度制、三角函数的概念 【基础巩固题】 1．(2024·石家庄质检)已知角α的终边上一点P的坐标为(－2，1)，则cos α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.由题意可得cos α＝. 2．若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.由>0，得>0，所以cos θ>0. 又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角． 3．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A． B．－ C． D． 解析：选A.点P旋转的弧度数为，由三角函数定义可知，点Q的坐标(x，y)满足x＝cos ，y＝sin . 4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿．如果大轮的转速为180 r/min (转/分)，小轮的半径为10 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是(　　) A．5 400π cm 　B．90π cm 　C．180π cm 　D．40π cm 解析：选B.大轮有45齿，小轮有30齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为180 r/min时，小轮转速为×180＝270 r/min， 小轮周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π÷60＝9π. 又小轮的半径为10 cm，所以小轮周上一点每1 s转过的弧长为9π×10＝90π cm. 5．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　) A．－ B．± C．－ D．± 解析：选C.由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，即y＝±. 当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－； 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－. 综上，sin α·tan α＝－. 6．(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝(　　) A．± B． C．± 　D． 解析：选B.记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0， 所以，解得m＝±2， 因为A，B两点位于同一象限， 所以m＝2，则A(1，2)， 所以cos α＝. 7．(多选)已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 解析：选ACD.角θ的终边经过点，则sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确． 8．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图．设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.如图， 连接AB，取AB的中点为D，连接OD， 由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB， 设OA＝r，在Rt△ADO中，sin 　①， 又l＝rθ　②， 所以由①②可得，即. 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________． 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240° 10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝______弧度时，这个扇形的面积最大． 解析：由已知，得l＋2R＝40， 所以S＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100， 所以当R＝10(cm)时，S取得最大值， 此时l＝20(cm)，α＝2. 答案：2 【综合应用题】 11．(2024·江苏连云港模拟)如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．14π B．18π C．24π D．30π 解析：选C.由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为，第二段圆弧长度为×(1＋1)＝，第三段圆弧长度为×3＝2π，第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为，第六段圆弧长度为×6＝4π，第七段圆弧长度为，第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为＋2π＋＋4π＋＝24π. 12．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) A． B． C． D． 解析：选AD.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限， 可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x， 所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 当k＝0时，x所在的一个区间是， 当k＝1时，x所在的一个区间是. 13．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝______． 解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2. 在Rt△PBO中，PB＝r tan α， 所以△POB的面积为r·r tan α. 由题意得r2tan α＝2×αr2， 所以tan α＝2α，所以. 答案： 14．若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________． 解析：∵P(cos θ，sin θ)与Q，关于y轴对称，即θ，θ＋关于y轴对称，∴θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为. 答案： 【创新拓展题】 15．(多选)(2024·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．若y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 解析：选AD.由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝一定成立，所以D正确． 16．(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分．若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(　　) A．300－50π B．120π＋150 C．100π＋180 D．120π＋180 解析：选A.如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R， 则2R＝， 得R＝20＝AB， 因此∠AOB＝，△ABC所在弓形的面积S＝×πR2－2－2＝200π－300，从而阴影部分面积S′＝π×2－S＝300－50π. 学科网（北京）股份有限公司 $