第十章 第七节 概率与统计的综合问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第七节　概率与统计的综合问题 题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题 (2025·山东青岛模拟)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1 000名学生的假期日均阅读时间(单位：分钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.007 5，0.012 5，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1. (1)根据频率分布直方图，估计高一年级1 000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100)的人数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望. 解：(1)设后三个小矩形的高度分别为3a，2a，a， 由题知：(3a+2a+a+0.0125+0.0075)×20=1，解得a=0.005，所以各组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1. 日均阅读时间的平均数为30×0.15+50×0.25+70×0.3+90×0.2+110×0.1=67(分钟). (2)由题意，在[60，80)，[80，100)，[100，120]三组分别抽取3，2，1人， X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=1. 统计图表与概率综合问题的求解策略 1.正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据. 2.根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等). 3.正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作为科学的决策与判断 对点练1.(2025·广东潮州模拟)从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于[35，45]内的产品件数，用频率估计概率，求X的分布列. 解：(1)由已知得，=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25. (2)因为购买一件产品，其质量指标值位于[35，45]内的概率为0.2，所以X~B(3，0.2)， 因为X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P(X=0)=(1-0.2)3=0.512， P=×0.2×=0.384， P=×0.22×=0.096， P(X=3)=0.23=0.008. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 学生用书⬇第304页 题型二　回归模型与分布列的综合问题 (2025·江苏南京六校联考)某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量x(单位：mg)与药效指标值y(单位：m)之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据(i=1，2，…，20)，其中xi，yi分别表示第i次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，且xi=60，yi=1 200，=260，=81 000，xiyi=4 400. (1)求y关于x的经验回归方程=x+； (2)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率. 参考公式：==， =-. 解：(1)=xi=×60=3，=yi=×1 200=60， 所以====10， =-=60-10×3=30，所以y关于x的经验回归方程为=10x+30. (2)设事件A表示“随机取一件药品来自设备A生产”，事件B表示“随机取一件药品来自设备B生产”，事件C表示“所抽药品为不合格品”， ①因为设备A的生产效率是设备B的2倍， 所以P(A)=，P(B)=， P(C|A)=0.009，P(C|B)=0.006， 所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×0.009+×0.006=0.008. ②P(A|C)===， 所以三件不合格品中至少有两件是设备A生产的概率为P=·+=. 回归分析与概率综合问题的解题思路 1.此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即(1)求经验回归方程(预测)；(2)求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等. 2.充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的. 3.明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 对点练2.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2019年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2019年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y(册) y1 y2 36 92 142 (参考数据： =290) (1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； (2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①=35x-47和②=5x2+m两种模型作为年借阅量y关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好. 解：(1)由题知，5年的借阅量的平均数为=58， 又y1+y2=290-36-92-142=20， 则y1<58，y2<58， 所以低于平均值的有3个， 所以X服从超几何分布， P(X=k)=(k=0，1，2)， 所以P(X=0)==，P(X=1)===，P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. (2)因为=11，==58， 所以58=5×11+m，即m=3. 所以模型②的经验回归方程为=5x2+3， 根据模型①的经验回归方程可得 =-12，=23，=58，=93，=128， 根据模型②的经验回归方程可得 =8，=23，=48，=83，=128， 因为[(y1+12)2+(y2-23)2+(36-58)2+(92-93)2+(142-128)2]-[(y1-8)2+(y2-23)2+(36-48)2 +(92-83)2+(142-128)2] =(y1+12)2-(y1-8)2+222-122+12-92=40y1+340，且y1≥0， 所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更好. 学生用书⬇第305页 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 (2025·湖北七市州调研)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E和D； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为 “运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望. 附：χ2=，n=a+b+c+d α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解：(1)根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关， 根据列联表的数据计算可得 χ2===≈3.590>2.706=x0.1. 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. (2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P==. 即可得X~B，故E=20×=，D=20××=. (3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3；且Y服从超几何分布， P==，P===，P===，P===. 故所求分布列为： Y 0 1 2 3 P 所以E=0×+1×+2×+3×=2.1. 独立性检验与概率综合问题的解题思路 本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解. 学生用书⬇第306页 对点练3.(2025·江苏徐州适应性测试)某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习.据统计显示，P(|)=，P(|B)=，P(B)=. (1)计算P(A)和P(A|B)的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为m(m∈N+)的样本，利用独立性检验，计算得χ2=1.350.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的t(t∈N+)倍，使得学习兴趣与主动预习犯错误的概率不超过0.005，试确定t的最小值. 附：χ2=，其中n=a+b+c+D． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由已知P(A|B)=1-P(|B)=1-=， P(A|)=1-P(|)=1-=， 又因为P(B)=，所以P()=1-P(B)=1-=， 所以P(A)=P(B)·P(A|B)+P()·P(A|)=×+×=， 又P(AB)=P(A|B)·P(B)=×=， 所以P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不为独立事件. (2)假设原列联表为 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 a b a+b 不太主动预习 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 根据原数据有=1.35. 若将样本容量调整为原来的t(t∈N+)倍， 则新的列联表为 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 ta tb t(a+b) 不太主动预习 tc td t(c+d) 总计 t(a+c) t(b+d) t(a+b+c+d) 则χ2===1.35t≥7.879，解得t≥5.84， 又t∈N+，所以t的最小值为6. 课时测评85　概率与统计的综合问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(17分)(2025·安徽黄山模拟)某校高三年级1 000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 . (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；(7分) (2)从这次数学成绩位于的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间的人数记为X，求X的分布列及数学期望.(10分) 解：(1)由频率分布直方图可得(0.002 5+0.007 5+0.015×2+2a)×20=1，解得a=0.005. 前四个矩形的面积之和为(0.002 5+0.007 5+2×0.015)×20=0.8， 前五个矩形的面积之和为0.8+0.005×20=0.9， 设这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m， 则0.8+×0.005=0.85，解得m=120， 因此，这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120. (2)数学成绩位于的学生人数之比为0.007 5∶0.015=1∶2， 所以，所抽取的9人中，数学成绩位于的学生人数为9×=3， 数学成绩位于的学生人数为9×=6， 由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则P==，P==， P==，P==. 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以E=0×+1×+2×+3×=2. 2.(17分)(2025·湖南长沙调研)随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱.某水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价x(元) 3 4 5 6 7 产品销量y(件) 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数r≈-0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；(7分) (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望.(10分) 参考公式：线性回归方程中的最小二乘估计分别为==-. 解：(1)由已知，得==5，==13.8， xiyi=313，=135， 则== ==-=-3.2， 所以=-=13.8-(-3.2)×5=29.8， 所以=-3.2x+29.8. (2)当x=3时，=20.2；当x=4时，=17； 当x=5时，=13.8；当x=6时，=10.6； 当x=7时，=7.4. 因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4， 所以“次数据”有2个. “次数据”个数X可能取值为0，1，2. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 3.(20分)(2025·湖南“一起考”大联考)某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和m(m>50)位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 　　年级 观点　　 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 (1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记X为这3名学生中热爱数学的学生人数，求X的分布列和期望；(8分) (2)若根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数m的最小值.(12分) 附：χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题意可知，高二学生热爱数学的概率为P==，热爱数学的学生人数X~B， 则P==，P==，P==， P==. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的期望为E=3×=. (2)因为根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关， 所以χ2=>6.635， 令f=-6.635×50×50×m×m，则f>0， 所以f'=25， 因为y=25的对称轴为m=<50，且当m=50时，y>0， 所以f'=25上恒大于0， 所以f上单调递增，而f<0，f>0， 所以实数m的最小值为57. 4.(20分)(2024·河北邯郸模拟)某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%. (1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联?(4分) 项目 对员工管理水平满意 对员工管理水平不满意 合计 对员工敬业精神满意 对员工敬业精神不满意 合计 (2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.(6分) (3)在统计学中常用T=表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，现从该企业员工中任选一人，A表示“选到对员工管理水平不满意”、B表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计T(B|A)的值.(10分) 附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表： 项目 对员工管理水平满意 对员工管理水平不满意 合计 对员工敬业精神满意 50 30 80 对员工敬业精神不满意 40 80 120 合计 90 110 200 零假设为H0：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关. 据表中数据计算得：χ2=≈16.498>6.635=x0.01， 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联. (2)对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中P==， P=··=， P=·=， P==， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则E=0×+1×+2×+3×=. (3)T======， 所以估计T(B|A)的值为. 5.(26分)(2024·湖南永州模拟)为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表(m≤40，m∈N)： 购买新能源汽车(人数) 购买传统燃油车(人数) 男性 80-m 20+m 女性 60+m 40-m (1)当m=0时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望；(10分) (2)定义K2=(2≤i≤3，2≤j≤3，i，j∈N)，其中Aij为列联表中第i行第j列的实际数据，Bij为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设H0(变量X，Y相互独立)，然后计算K2的值，当K2≥xα时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.根据K2的计算公式，求解下面问题： (ⅰ)当m=0时，依据小概率值α=0.005的独立性检验，请分析性别与是否购买新能源汽车有关； (ⅱ)当m<10时，依据小概率值α=0.1的独立性检验，若认为性别与是否购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性购买新能源汽车?(16分) 附： α 0.1 0.025 0.005 xα 2.706 5.024 7.879 解：(1)当m=0时， 用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人. 由题意可知，X的可能取值为1，2，3. P==， P==， P==. X的分布列如下表： X 1 2 3 P E=1×+2×+3×=2. (2)(ⅰ)零假设为H0：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联. 当m=0时，A22=80，B22=0.5×0.7×200=70，A23=20，B23=0.5×0.3×200=30， A32=60，B32=0.5×0.7×200=70，A33=40，B33=0.5×0.3×200=30， 则K2=+++ =+++=≈9.524， 因为9.524>7.879=x0.005， 所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005. K2=+++=， 由题意可知≥2.706，整理得(10-m)2≥28.413， 又m∈N，m<10，所以m≤4，所以m的最大值为4，又80-4=76， 所以至少有76名男性购买新能源汽车. 学科网（北京）股份有限公司 $