10.8 概率与统计的综合问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义紧扣高考命题规律，覆盖概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等核心考点，按“图表分析—模型构建—统计推断”逻辑组织知识，通过题型解读、典例精讲、方法总结、真题训练四环节，帮助学生突破概率与统计综合问题难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义注重数学思维与数学语言培养，创新设计“数据提取—模型转化—统计推断”教学活动，如例3结合独立性检验构建列联表并进行卡方检验，提升数据分析能力。设置分层对点练习与真题演练，确保学生快速掌握解题策略，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有效指导。

10．8　概率与统计的综合问题 [题型解读]　概率与统计解答题每年高考必考，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等．既有比较基础的简单应用，也有各类知识交汇的综合题，如概率与统计图表交汇、概率与统计和统计案例交汇、概率与函数、数列、不等式等的交汇等．此类问题一般篇幅较长，对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养． 题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题 【例1】　(2024·重庆模拟)某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果、标准果、精品果、礼品果．质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85](单位：mm)．统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于65 mm为不达标果，在65 mm到75 mm之间为标准果，在75 mm到80 mm之间为精品果，达到80 mm及以上的为礼品果． (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为X，求X的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取n(n≥2)个，设其中恰有2个精品果的概率为P(n)．当P(n)最大时，求n的值． 解：(1)由题意(0.004＋0.016＋0.060＋0.080＋a)×5＝1，所以a＝0.040， 所以这100个水果中礼品果的个数为0.040×5×100＝20， 采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有×10＝2个， 故随机变量X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 期望E(X)＝0×. (2)由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为0.080×5＝0.4， 则P(n)＝·0.42·0.6n-2，P(n－1)＝·0.42·0.6n-3，P(n＋1)＝·0.42·0.6n-1， 要使P(n)最大，则≤1且≤1， 解得4≤n≤5，因为P(4)＝·0.42·0.62＝0.345 6，P(5)＝·0.42·0.63＝0.345 6， 所以P(4)＝P(5)，所以当P(n)最大时，n＝4或n＝5. 【对点练习】　1.(2024·上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”． (1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率； (2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40～50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望． 解：(1)由频率分布直方图可知，10×(0.01＋0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋a)＝1，解得a＝0.005. 设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件A，“该学生是‘运动族’”为事件B， 则P(A)＝0.72，P(AB)＝0.25， 所以在该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率为P(B|A)＝. (2)由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40～50分钟之间的学生有20人， 所以X＝0，1，2， P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×. 题型二　回归模型与分布列的综合问题 【例2】　设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示： 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：y(cm)与x(天)之间近似满足关系式y＝b＋a，其中a，b均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对a，b作出估计，并求出y关于x的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为ξ，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量ξ的分布列和数学期望． 附：对于一组数据(v1，μ1)，(v2，μ2)，…，(vn，μn)，其回归直线方程＝＋v的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解：(1)令μ＝，则y＝bμ＋a，根据已知数据表得到如下表： x 1 4 9 16 25 36 49 μ＝ 1 2 3 4 5 6 7 y 0 4 7 9 11 12 13 则＝8， 可得＝1×0＋2×4＋3×7＋4×9＋5×11＋6×12＋7×13＝283， ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140， 通过上表计算可得：＝， 因为回归直线＝μ＋过点，则＝－， 所以y关于μ的回归方程＝. (2)由题意可知：7天中幼苗高度大于＝8的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数ξ的取值为1，2，3，4， 则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝， 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 P 随机变量ξ的期望值E(ξ)＝1×. 【对点练习】　2.(2024·江苏常州模拟)某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了解研发资金的投资额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投资额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下： 投资额xi 2 3 4 5 6 8 9 11 年收入的附加额yi 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程； (2)在(1)的条件下，若投资额为16百万元，估计年收入的附加额； (3)若年收入的附加额与投资额的比值大于1，则称对应的投资额为“优秀投资额”，现从上面8个投资额中任意取3个，用X表示这3个投资额中“优秀投资额” 的个数，求X的分布列及数学期望． 附：＝334.1，＝48.6，＝356. 在线性回归方程＝x＋中，＝，＝－. 解：(1)＝6.075， 得b＝＝0.625， 又＝－＝6.075－0.625×6＝2.325， 所以年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程为＝0.625x＋2.325. (2)当x＝16时，＝0.625×16＋2.325＝12.325， 所以当投资额为16百万元时，估计年收入的附加额为12.325百万元． (3)8个投资额中，“优秀投资额”的个数为5， 故X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝1×. 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】　(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8 26．5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6 35．6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　 9.2 　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18．0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8 23．6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望； (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数 m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； <m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 解：(1)由题意，X服从超几何分布，所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＝1. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 又第20位为23.2，第21位数据为23.6. 所以m＝＝23.4， 故列联表为： <m ≥m 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 (ⅱ)由(ⅰ)可得，K2＝＝6.400>3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 【对点练习】　3.(2024·沈阳模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示． 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 (1)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？ (2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解：(1)零假设为H0：喜欢哪种机型与性别无关． 由表中数据可得χ2＝≈8.333>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为喜欢哪种机型与性别有关，且此推断犯错误的概率不大于0.01. (2)由题意，324∶216∶108＝3∶2∶1， 所以12人中有青年人6人，中年人4人，老年人2人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 则分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×. 学科网（北京）股份有限公司 $