第九章 第四节 独立性检验（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦独立性检验专题，覆盖分类变量、2×2列联表、χ²计算及应用等核心考点，按“定义-公式-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破列联表补全、χ²计算、独立性判断等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，如通过实例数据构建列联表培养数据意识，借助χ²推理过程发展逻辑思维，用规范表格表达结论。设置分层练习和真题再现，确保高效突破，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四节　独立性检验 【课程标准】　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.　2.通过实例，了解独立性检验及其应用. 1.分类变量 分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据.如“性别”是一个分类变量，其变量值为“男”或“女”. 2.列联表 (1)定义：将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表. (2)2×2列联表：列出的两个分类变量均有两个变量值的频数分布表，称为2×2列联表. 一般地，对于两个分类变量X和Y，X有两类取值，即类A和类B(如吸烟与不吸烟)；Y也有两类取值，即类1和类2(如患肺癌与未患肺癌).经过统计调查，我们得到如下2×2列联表所示的抽样数据： Y X 类1 类2 合计 类A a b a+b 类B c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 3.独立性检验 (1)计算公式χ2=，利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验. (2)独立性检验的统计思想是：要研究“两个分类变量有关系”这一结论的可靠程度，首先假设该结论不成立，即假设 “H0：两个分类变量没有关系(指独立)”成立.在该假设下构造统计量χ2，如果由抽样数据计算得到的χ2的观测值x0≥6.635，则有[1-P(χ2≥6.635)]×100%的概率说明H0不成立. 我们把P(χ2≥6.635)中的数据6.635称为一个判断可靠程度的临界值.在实际应用中，常用的临界值如下表所示(称为临界值表). P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [微提醒]　独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大. 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数 B．事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响 C．χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量 D．在2×2列联表中，若|ad-bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强 答案：AC 2.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关，下列最适合的统计方法是(　　) A．均值 B．方差 C．独立性检验 D．回归分析 答案：C 解析：由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.故选C． 3.如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为 (　　) y1 y2 合计 x1 a 8 35 x2 11 34 45 合计 b 42 80 A．27，38 B．28，38 C．27，37 D．28，37 答案：A 解析：a=35-8=27，b=a+11=27+11=38.故选A． 4.随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样 学生用书⬇第272页 的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表(单位：人). 生育意愿 城市级别 合计 非一线 一线 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 合计 58 42 100 计算得χ2=≈9.616. 参照下表： α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以得到的结论是　　　　　　　　　　.  答案：生育意愿与城市级别有关 考点一　列联表与χ2的计算自主练透 1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a-b-c等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：根据题意，可得c=120-73-25=22，a=74-22=52，b=73-52=21， 补充完整2×2列联表为： 男 女 合计 喜欢 52 21 73 不喜欢 22 25 47 合计 74 46 120 所以a-b-c=52-21-22=9.故选C． 2.为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表： 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为(　　) A．1.255 B．38.214 C．0.003 7 D．2.058 答案：A 解析：χ2==≈1.255.故选A． 3.(2025·上海模拟)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其2×2列联表为： X Y 总计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为(　　) A．a=5，b=4，c=3，d=2 B．a=5，b=3，c=4，d=2 C．a=2，b=3，c=4，d=5 D．a=3，b=2，c=4，d=5 答案：D 解析：对于同一样本，|ad-bc| 越小，说明X 与Y 相关性越弱，而|ad-bc| 越大，说明X 与Y 相关性越强，通过计算知，对于A，B，C，都有|ad-bc|=|10-12|=2；对于D，有|ad-bc|=|15-8|=7，显然7>2.故选D． 4.某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a+b+d=　　　　.  会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 答案：44 解析：由题意得a+b+d+6=50，所以a+b+d=50-6=44. 2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别. 学生用书⬇第273页 考点二　列联表与独立性检验师生共研 (2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境.一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望. (2)试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 17.3　18.4　20.1　20.4　21.5　23.2　24.6 24.8　25.0　25.4　26.1　26.3　26.4　26.5 26.8　27.0　27.4　27.5　27.6　28.3 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 5.4　6.6　6.8　6.9　7.8　8.2　9.4　10.0 10.4　11.2　14.4　17.3　19.2　20.2　23.6 23.8　24.5　25.1　25.2　26.0 (ⅰ)求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表. <m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附：χ2=. P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 x0 2.706 3.841 6.635 解：(1)依题意， X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==， P(X=1)==，P(X=2)==， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 故E(X)=0×+1×+2×=1. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m==23.4. 故列联表为： <m ≥m 对照组 6 14 实验组 14 6 (ⅱ)由(ⅰ)可得，χ2==6.400>3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 独立性检验的一般步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2=计算； 第三步：比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断. 对点练1.共享单车是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供单车共享服务，是共享经济的一种新形态.为了研究广大市民共享单车的使用情况，某公司在某市随机抽取了200名用户进行调查，得到如下数据(单位：人)： 每周使用次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上 男 8 6 6 14 16 60 女 12 10 8 8 12 40 合计 20 16 14 22 28 100 (1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2×2列联表(单位：人)； 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 女 合计 学生用书⬇第274页 (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析“喜欢骑行共享单车”是否与性别有关. 附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题中表格可得2×2列联表如下： 不喜欢骑行共享单车 喜欢骑行共享单车 合计 男 20 90 110 女 30 60 90 合计 50 150 200 (2)零假设为H0：“喜欢骑行共享单车”与性别无关.将2×2列联表中的数据代入公式计算得， χ2=≈6.06>3.841=x0.05， 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关. 考点三　独立性检验的综合应用师生共研 (2024·全国甲卷改编)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 ①根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析“产品的优级品率”是否与“甲、乙两车间”有关； ②根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析“产品的优级品率”是否与“甲、乙两车间”有关； (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 ①零假设为H0：“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”无关， χ2===4.687 5>3.841=， 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”有关. ②因为χ2===4.687 5<6.635=， 所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0成立，即认为“产品的优级品率”与“甲、乙两车间”无关. (2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为=0.64， 用频率估计概率可得=0.64， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5， 则p+1.65=0.5+1.65≈0.5+1.65×≈0.57， 可知>p+1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出. 学生用书⬇第275页 对点练2.某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和. x(个) 2 3 4 5 6 y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6 (1)该公司经过初步判断，可用回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程； (2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析两个店的顾客下单率有无差异. 参考公式：==-；χ2=，x0.1=2.706. 解：(1)由题意可得：==4， ==4， xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5+6×6=88.5， =22+32+42+52+62=90， 设y关于x的回归方程为=x+， 则===0.85， =-=4-0.85×4=0.6， 所以y关于x的回归方程为y=0.85x+0.6. (2)零假设为H0：两个店的顾客下单率无差异，则由题意可知2×2列联表如表所示： 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 60 20 80 合计 85 25 110 所以χ2==≈0.863<2.706=x0.1， 所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即两个店的顾客下单率没有差异. [真题再现]　(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附：χ2=. P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解： (1)根据表中数据，A公司共有班次260个，准点班次有240个， 设A公司长途客车准点为事件M， 则P(M)==； B公司共有班次240个，准点班次有210个， 设B公司长途客车准点为事件N， 则P(N)==. 所以A公司长途客车准点的概率为； B公司长途客车准点的概率为. (2)由题意，列联表如下表所示： 公司 班次是否准点 总计 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 260 B 210 30 240 总计 450 50 500 零假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关， 经计算得χ2=≈3.205>2.706， 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. [教材呈现]　(湘教版选择性必修二P195例2)为了考察某种新疫苗预防疾病的作用，科学家对动物进行试验，所得数据(单位：只)如下表所示： 发病 没发病 合计 接种疫苗 8 15 23 没接种疫苗 18 9 27 合计 26 24 50 能否作出接种疫苗与预防疾病有关的结论? 点评：该高考题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题，且与教材例题命题角度类似. 课时测评78　独立性检验 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-8，每小题5分，共40分) 1.观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　) 答案：D 解析：在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D． 2.下列关于独立性检验的说法正确的是(　　) A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 答案：D 解析：对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故A错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故B错误；对于C，99%是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故C错误；对于D，根据卡方计算的定义可知选项D正确.故选D． 3.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据： 药物 流感 患流感 未患流感 服用 2 18 未服用 8 12 下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 根据表中数据，计算χ2=，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过(　　) A．0.05 B．0.1 C．0.01 D．0.005 答案：A 解析：由题意知，χ2==4.8>3.841=x0.05，由临界值表可知，认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过0.05.故选A． 4.(多选)为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是(　　) 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析认为“药物有效” B．根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析认为“药物无效” C．根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析认为“药物有效” D．根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析认为“药物无效” 答案：BC 解析：因为χ2≈9.616，所以7.879<χ2<10.828，所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”，根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选BC． 5.(多选)根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2=2.974，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是 (　　) α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析变量x与y相互独立 B．根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析变量x与y不相互独立 C．变量x与y相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 答案：AD 解析：因为χ2=2.974>2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1.故选AD． 6.为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是(　　) 营养品 身高 合计 有明显增长 无明显增长 食用 a 10 50 未食用 b 30 50 合计 60 40 100 参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+D． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．a=b=30 B．χ2≈12.667 C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是 D．根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响 答案：D 解析：由题可知a=50-10=40，b=50-30=20，所以A错误；χ2=≈16.667>10.828= x0.001，所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是=，所以C错误.故选D． 7.如表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈　　　　(结果保留到小数点后3位).  喜欢运动 不喜欢运动 合计 男 40 28 68 女 5 12 17 合计 45 40 85 答案：4.722 解析：χ2=≈4.722. 8.一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示： 注意力稳定 注意力不稳定 男生 29 7 女生 33 5 则χ2=　　　　(精确到小数点后三位)，依据概率值α=0.05的独立性检验，该实验　　　　该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异(填拒绝或支持).  答案：0.538　支持 解析：由表中数据可知a=29，b=7，c=33，d=5，n=a+b+c+d=74， 根据χ2=，计算可知 χ2= ≈0.538<3.841=x0.05，所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异. 9.(15分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(5分) (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?(10分) 附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是=0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是=0.6. (2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异， 根据题表中的数据可得 χ2= =≈10.256>6.635=x0.01， 所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 10.(17分)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗. (1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(7分) (2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由.(10分) 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：χ2=，其中n=a+b+c+D． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由直方图的性质可知，0.005×10+0.010×10+0.025×10+10a+0.020×10=1， 解得a=0.040， 因为(0.020+0.040)×10=0.6>0.5，所以中位数位于[80，90)内， 设中位数为x，则有0.020×10+0.040×(90-x)=0.5，解得x=82.5. 故综合评分的中位数为82.5. (2)由(1)得优质花苗的频率为0.6， 所以样本中优质花苗的数量为60， 得如下列联表： 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 零假设为H0：优质花苗与培育方法无关， χ2=≈16.667>6.635=x0.01， 所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为优质花苗与培育方法有关. (每小题6分，共12分) 11.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)： 被某病毒感染 未被某病毒感染 合计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 50 合计 30 100 计算可知，根据小概率值α=　　　　的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”(　　)  附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005 答案：B 解析：完善2×2列联表如下： 被某病毒感染 未被某病毒感染 合计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”. 因为χ2=≈4.762，3.841<4.762<6.635，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”. 12.(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如表所示. X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 20-a 20 X2 15-a 30+a 45 合计 15 50 65 其中a，15-a均为大于5的整数，若依据α=0.05的独立性检验，可以认为X与Y有关，则a的可能取值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：CD 解析：根据a>5且15-a>5，a∈Z，知a可取6，7，8，9.由表中数据及题意，得 χ2==≥3.841=x0.05，结合选项，知a的可能取值为8，9.故选CD． (每小题8分，共16分) 13.(多选)在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表(单位：人)，则(　　) 性别 晕机 合计 晕机者 未晕机者 男 a 15 c 女 6 b d 合计 e 28 46 < B．χ2<2.706 C．依据小概率值α=0.1的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关 D．依据小概率值α=0.1的独立性检验，可以认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关 答案：BD 解析：由题中列联表数据，知 解得 所以得到如下列联表： 性别 晕机 合计 晕机者 未晕机者 男 12 15 27 女 6 13 19 合计 18 28 46 所以==>=，即A错误； 零假设为H0：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，由列联表中的数据， 得χ2=≈0.775<2.706=x0.1，依据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，所以B，D正确，C错误.故选BD． 14.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 a 50-a 50 未服用 80-a a-30 50 合计 80 20 100 若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为　　　　.(其中a≥40且a∈N+)(参考数据：≈2.58，≈3.29)  附：χ2=，n=a+b+c+D． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：46 解析：由题意可得 χ2=≥6.635， 整理得(a-40)2≥4×6.635，因为a≥40且a∈N+，所以a-40≥2，即a≥40+5.16=45.16，所以a≥46，所以a的最小值为46. 学生用书⬇第276页 学科网（北京）股份有限公司 $