第六章 第四节 复 数（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦复数高考核心考点，涵盖复数概念、几何意义及四则运算，按“概念定义-几何表征-运算规律”逻辑架构知识体系，结合常用结论与微提醒强化理解。通过考点自主练透、师生共研典型题、真题再现等环节，帮助学生突破概念辨析、运算化简等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出结论速用与数形结合策略，如利用i周期性简化幂运算，借助复平面轨迹求模长最值，培养学生数学思维与几何直观能力。设置分层练习从基础检测到综合测评，配合即时方法总结，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

第四节　复　数 【课程标准】　1.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.　2.了解复数的代数表示法及其几何意义.　3.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)； (2)复数z=a+bi平面向量. [微提醒]　复数z=a+bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi). 3.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的加、减法进行，且复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即=+=. (3)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律和结合律，即对任何复数z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (4)复数乘法的运算律 复数的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律，即对任何复数z1，z2，z3，有z1·z2=z2·z1，(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)，z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 【常用结论】 (1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=－1，i4n+3=－i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+). (2)=±2i，=i，=－i. (3)z·=|z|2=||2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，=，|zn|=|z|n. (4)对于任意复数z1，z2，都有|z1+z2|2+|z1－z2|2=2|z1|2+2|z2|2. (5)复数z的方程在复平面上表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界； ②|z－(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．复数z=a－bi(a，b∈R)中，虚部为b B．复数可以比较大小 学生用书⬇第169页 C．已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数 D．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 答案：ABC 2.若复数z=(x2－1)+(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 答案：A 解析：因为z为纯虚数，所以所以x=－1.故选A． 3.若z=3+4i，则|z|=(　　) A． B．5 C．7 D．25 答案：B 解析：因为z=3+4i，所以|z|==5.故选B． 4.已知复数z满足(2－i)=1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：由(2－i)=1－2i得===i，故z=+i，所以z在复平面内对应的点为，故z在复平面内对应的点在第一象限.故选A． 5.(用结论)i为虚数单位，则=　　　　.  答案：i 解析：由结论(2)可得=i，又i2 025=i4×506+1，由结论(1)可知原式=i. 考点一　复数的概念自主练透 1.复数(i为虚数单位)的共轭复数的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：B 解析：因为===i，所以其共轭复数为－i，则其虚部为－1.故选B． 2.(2023·全国甲卷)设a∈R，(a+i)(1－ai)=2，则a=(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：因为(a+i)(1－ai)=a－a2i+i+a=2a+(1－a2)i=2，所以解得a=1.故选C． 3.(2025·河南新乡模拟)已知z=(1－3i)(a+i)(a∈R)为纯虚数，则a=(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 答案：B 解析：依题意，z=(a+3)+(1－3a)i，由z是纯虚数，得所以a=－3.故选B． 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=－1－i，则=(　　) A．0 B．1 C． D．2 答案：C 解析：若z=－1－i，则==.故选C． 5.已知复数z满足=i，则=　　　　.  答案：+i 解析：由=i，得z+i=zi，所以z====.则=+i. 解决复数概念问题的方法及注意事项 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 3.复数的概念中的常用性质 (1)=± ；=· ；=(z2≠0)； (2)||=|z|，|z2|=||2=z·，|z1·z2|=|z1|·|z2|，= (z2≠0). 考点二　复数的四则运算师生共研 (1)(2025·沈阳质量监测(三))已知复数z=，则z=(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i，则z=(　　) A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i (3)已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2 025= (　　 ) A．1+i B．1－i C．i D．1 答案：(1)D　(2)C　(3)A 解析：(1)依题意，===－i，所以z==(－i)2=－1.故选D． (2)因为==1+=1+i，所以z=1+=1－i.故选C． (3)法一：因为z=1+=1+=i，所以1+z+z2+…+z2 025======1+i.故选A． 法二：因为z=1+=1+=i，所以1+z+z2+…+z2 025=1+i+i2+…+i2 025=506×(1+i－1－i)+1+i=1+i.故选A． 复数代数形式运算问题的解题策略 复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用加减法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 学生用书⬇第170页 对点练1.(1)(2025·河南三门峡模拟)(2+2i)(1－2i)等于(　　) A．－2+4i B．－2－4i C．6+2i D．6－2i (2)(2025·广西贺州模拟)已知复数z=1+i(i是虚数单位)，则=(　　) A．2+2i B．2－2i C．2i D．－2i (3)(2025·江西九江模拟)设复数z满足=i，则z=(　　) A．+i B．i C．－+i D．－i (4)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=，则z－=(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案：(1)D　(2)B　(3)C　(4)A 解析：(1)(2+2i)(1－2i)=2－4i+2i+4=6－2i.故选D． (2)====2－2i.故选B． (3)由=i，得1+2z=i－iz，所以z===－+i.故选C． (4)因为z====－i，所以=i，即z－=－i.故选A． 考点三　复数的几何意义师生共研 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数对应的点位于 (　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知|z|=2，则|z+3－4i|的最大值是　　　　.  (3) (2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2 满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=+i，则|z1－z2|=　　　　.  答案：(1)A　(2)7　(3)2 解析：(1)===+i，对应的点坐标为，位于第一象限.故选A. (2)设z=x+yi，x，y∈R，则有=2，即x2+y2=4，则z在复平面中的点P(x，y)在以(0，0)为圆心，2为半径的圆周上.z+3－4i=(x+3)+(y－4)i，|z+3－4i|=，表示P(x，y)与点A(－3，4)的距离，如图所示，由图可知，|AP|max=+r=5+2=7，即|z+3－4i|的最大值为7. (3)如图所示，设复数z1，z2 所对应的点为Z1，Z2，则=+ .由已知||==2=|OZ1|=|OZ2|，所以平行四边形OZ1PZ2 为菱形，且△OPZ1，△OPZ2 都是正三角形，所以∠Z1OZ2=120°，|Z1Z2|2=|OZ1|2+|OZ2|2－2|OZ1|·|OZ2|cos 120°=22+22－2×2×2×=12，所以|z1－z2|=|Z1Z2|=2 . 复数几何意义的理解及应用 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a+bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔=(a，b). 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 对点练2.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2025·江西重点中学协作体联考)在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数z·(1+i)2 026对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为(1+3i)(3－i)=3+8i－3i2=6+8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A． (2)因为(1+i)2 026===21 013i1 013=21 013i1 012i=21 013i，因为复数z对应的点在第三象限，所以设z=a+bi(a<0，b<0)，所以z·(1+i)2 026=z·21 013i=21 013i(a+bi)=21 013(－b+ai)，因为a<0，b<0，所以－b>0，所以z·(1+i)2 026对应的点在第四象限.故选D． [真题再现]　(2023·全国甲卷)=(　　 ) A．－1 B．1 C．1－i D．1+i 答案：C 解析：===1－i.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修二P128T5(3))计算： (3). 点评：该高考题和教材习题考查的角度完全相同，都是简单的复数除法运算. 课时测评51　复　数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2024·全国甲卷理)若z=5+i，则i=(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 答案：A 解析：由z=5+i⇒=5－i，z+=10，则i=10i.故选A． 2.(2025·河南九师联盟) 已知复数为纯虚数，则a的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案：C 解析：==，由题意得所以a=－1.故选C． 3.(2022·全国甲卷)若z=1+i，则|iz+3|=(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案：D 解析：因为z=1+i，所以iz+3=i(1+i)+3(1－i)=－1+i+3－3i=2－2i，所以|iz+3|=|2－2i|==2.故选D． 4.(2025·江西名校联盟)已知z=，则z2+=(　　) A．－4+6i B．－2+2i C．－4+2i D．－2+6i 答案：A 解析：z===－1－2i，所以z2+=1－4+4i－1+2i=－4+6i.故选A． 5.(2025·江苏南京六校联考)复数z满足=1+i2 025，则复数z对应点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：由题意得，由=1+i2 025=1+i2 024·i，可得z==－1+5i，对应点在第二象限.故选B． 6.(多选)(2025·山东济南调研)设复数z1=2－i，z2=2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为(　　) A．z2是纯虚数 B．z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限 C．|z1+z2|=3 D．=2+i 答案：AD 解析：对于A，z2=2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；对于B，z1－z2=2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；对于C，z1+z2=2+i，则|z1+z2|==，故C错误；对于D，z1=2－i，则=2+i，故D正确.故选AD． 7.(多选)(2025·江苏徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则(　　) A．=1 B．z+=1 C．z2+z+1=0 D．z2 024= 答案：ACD 解析：由题可知，z=－+i，==1，故A正确；=－i，z+=－1，故B错误；z2==i=－i，所以z2+z+1=－1+1=0，故C正确；z3=z2·z=·=1，所以z2 024=z2 022·z2=·z2=z2=，故D正确.故选ACD． 8.(多选)(2024·河北邯郸三模)已知复平面内复数z1对应向量=，复数z2满足|z2|=2，是z1的共轭复数，则(　　) A．|z1|=|| B．= C．=4 D．|z1z2|=4 答案：ABD 解析：依题意，z1=1－i，则|z1|=||=2，故A正确；又=1+i，=－2+2i，=－2－2i，=－2+2i，即=，故B正确；设z2=a+bi(a，b∈R)，由|z2|=2得，a2+b2=4， 则===， = = = ===1，故C错误； z1z2==+i， |z1z2|=|+i| = = ===4.故D正确.故选ABD． 9.(2024·江苏扬州第二次调研)设m∈R，i为虚数单位.若集合A={1，2m+(m－1)i}，B={－2i，1，2}，且A⊆B，则m=　　　　.  答案：1 解析：集合A={1，2m+(m－1)i}，B={－2i，1，2}，且A⊆B，则有2m+(m－1)i=－2i或2m+(m－1)i=2，解得m=1. 10.设m为实数，复数z1=1+i，z2=m+3i(其中i为虚数单位)，若z1·为纯虚数，则m的值为　　　　.  答案：－3 解析：由题意得=m－3i，因为z1·==+(m－3)i为纯虚数，所以解得m=－3. (每小题8分，共32分) 11.(2025·山东济南模拟)已知复数z1，z2是关于x的方程x2－2x+3=0的两根，则z1z2的值为(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案：D 解析：法一：由x2－2x+3=0，得z1=1+i，z2=1－i，所以z1z2==3.故选D． 法二：方程x2－2x+3=0，由韦达定理可得z1z2==3.故选D． 12.(多选)(2024·九省适应性测试)已知复数z，w均不为0，则(　　) A．z2=|z|2 B．= C．= D．= 答案：BCD 解析：对于A，设z=a+bi，则z2==a2+2abi－b2=a2－b2+2abi，|z|2==a2+b2，故A错误；对于B， =，又·z=，即有=，故B正确；对于C，设w=c+di，z－w=a+bi－c－di=a－c+i，则=a－c－i，=a－bi，=c－di，则=a－bi－c+di=a－c－i，即有=，故C正确；对于D，===========，故=，故D正确.故选BCD． 13.(新定义)在复平面内，复数z=a+bi对应向量(O为坐标原点)，设=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r(cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r1，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，则z1z2=r1r2[cos+isin]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r]n=rn.已知z=，则=　　　　；若复数ω满足ωn－1=0，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R，请写出一个满足条件的ω=　　　　　　　　.  答案：16　cos+isin (答案不唯一) 解析：因为+i=2，所以z==24，则==24=16.由题意知ω6=1，设ω=cos θ+isin θ，则ω6=cos 6θ+isin 6θ=1，所以又ω∉R，所以sin θ≠0，故可取θ=，则ω=cos+isin .(答案不唯一). 14.(多选)(2025·广东佛山二模)设z，z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是(　　) A．若=z2，则z1= B．若|z1－z2|=|z1+z2|，则z1z2=0 C．若zz1=zz2，则z=0 D．若|z－z1|=|z－z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上 答案：ACD 解析：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z=a+bi，a1，b1，a2，b2，a，b∈R，对于A，若=z2，即=a1－b1i=a2+b2i=z2，则a1=a2，b1=－b2，所以z1=a1+b1i=a2－b2i=，即z1=，故A正确；对于B，若z1=1，z2=i，则|z1－z2|=|z1+z2|=，而z1z2=i≠0，故B错误；对于C，zz1=(a+bi)(a1+b1i)=(a1a－b1b)+(a1b+ab1)i，zz2=(a+bi)(a2+b2i)=(a2a－b2b)+(a2b+ab2)i，所以(a1a－b1b)+(a1b+ab1)i=(a2a－b2b)+(a2b+ab2)i，即因为z1≠z2，a1+b1i≠a2+b2i，则a1－a2，b1－b2至少有一个不为零，不妨设a1－a2≠0，由可得所以a2(a1－a2)+b2(a1－a2)=0，a2+b2=0，即a=b=0，z=0，故C正确；对于D，由|z－z1|=|z－z2|，可得=，所以2a+2b++=0，又a1－a2，b1－b2不全为零，所以2a+2b++=0表示一条直线，即z在复平面内对应的点在一条直线上，故D正确.故选ACD． (每小题9分，共18分) 15.(多选)(2025·洛平许济第四次质量检测)已知复数ω=－+i，为ω的共轭复数，则(　　) A．ω·=1 B．ω2+=ω+ C．1+ω+ω2=0 D．ω+ω2+ω3+…+ω2 024=1 答案：ABC 解析：对于A，因为ω=－+i，所以=－i，所以ω·===+=1，故A正确；对于B，ω2+=+=i－++i－=－1，ω+=－+i－i=－1，故B正确；对于C，1+ω+ω2=1－+i+=+i+i－=0，故C正确；对于D，因为1+ω+ω2=0，所以ωn=ωn+ωn+1+ωn+2=0，所以ω+ω2+ω3+…+ω2 024=ω+ω2=－1，故D错误.故选ABC． 16.(多选)(2025·湖南邵阳第二次联考)已知复数z1，z2满足：=1，=(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的有(　　) A．=2 B．= C．的最小值为－1 D．的最大值为+1 答案：BC 解析：设z1=x+yi，则==1，即x2+y2=1，它表示以原点为圆心，半径为1的圆；设z2=a+bi，则由=，得=，即a+b－2=0，它表示一条直线；对于A，==，故A错误；对于B，==，故B正确；对于C和D，表示圆x2+y2=1上点与直线x+y－2=0上点的所连线段的长度，该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为－1；该距离无最大值(直线上的点可离圆上的点无穷远)，故C正确，D错误.故选BC． 学生用书⬇第171页 学科网（北京）股份有限公司 $