第八章 培优课15 圆锥曲线中的几个常用二级结论的应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线二级结论应用核心考点，涵盖焦点三角形面积、斜率乘积关系、共焦点问题及焦点弦等题型，按“结论梳理-例题解析-对点练习”逻辑架构整合知识，通过考点精析、方法指导与真题训练，帮助学生构建系统解题思路，突破圆锥曲线综合应用难点。 讲义突出结论推导与应用结合的教学特色，如通过椭圆焦点三角形余弦定理推导面积公式，培养学生数学思维与推理能力，设置基础对点练与综合测评分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生解题速度与应考能力。

培优课15　圆锥曲线中的几个常用二级结论的应用 题型一　焦点三角形的面积 已知椭圆+=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为(　　) A． B．16 C．3 D．9 答案：C 解析：根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论=b2tan，得= 9tan=3.故选C． 焦点三角形的面积公式 1.已知F1，F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2=θ，则其焦点三角形的面积为=b2tan. 2.已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上， ∠F1PF2=θ，则其焦点三角形的面积为=. 对点练1.已知双曲线-=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面积为　　　　.  答案： 解析：根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论=b2，得= 25×=. 题型二　两直线斜率的乘积为e2-1 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆+=1的左、下顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)对任意k>0，求证：PA⊥PB． 解：(1)由题设知，a=2，b=，故M(-2，0)，N(0，-)， 所以线段MN的中点坐标为. 由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=. (2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(-x1，-y1)，C(x1，0). 因为P，A，B都在椭圆+=1上， 所以+=1，+=1，两式相减得kPB·kAB==-.设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2. 因为点C在直线AB上，所以k2===，从而kk1=2k1k2=-×2=-1，因此PA⊥PB． 1.椭圆方程中有关e2-1=-的结论 (1)已知AB是椭圆+=1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB=-，即kAB=-. (2)已知椭圆的方程为+=1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB=-. 学生用书⬇第239页 2.双曲线方程中有关e2-1=的结论 (1)已知AB是双曲线-=1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB=，即kAB=. (2)已知双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB=. 对点练2.已知双曲线x2-=1，直线l的斜率为-2，与双曲线交于A，B两点，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使得直线AB，BC，AC的斜率满足++=3，且D，E，H分别为AB，BC，AC的中点，则kOE+kOH等于(　　) A．-6 B．5 C．6 D．7 答案：D 解析：由题意得++=++=3，所以+=.因为kBCkOE=，所以kBCkOE=2，即kOE=.同理得kOH=，所以kOE+kOH=+=2=2×=7.故选D． 题型三　椭圆、双曲线共焦点 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2=，则该椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2必定满足的关系式为(　　) A．e1+e2=1 B．e1+e2=1 C．+=1 D．+=1 答案：C 解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则由椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2. 设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2 -2(a1+a2)(a1-a2)cos，化简可得3+=4c2，两边同时除以4c2，可得+=1.故选C． 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则+=1. 对点练3.已知F1，F2为椭圆C1：+=1(a1>b1>0)与双曲线C2：-=1(a2>0，b2>0)的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 答案：A 解析：设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，则由椭圆、双曲线的定义可知|MF1|+|MF2|=2a1，且|MF1|-|MF2|=2a2，所以|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1-a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2=+|MF2|2-2|MF1||MF2|·cos∠F1MF2，即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2 -2(a1+a2)(a1-a2)cos，整理得4c2=+3，于是得4=+=+≥2=，当且仅当=，即e2=e1时取等号，从而e1e2≥，所以e1e2的最小值为.故选A． 题型四　焦点弦问题 已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2的直线l与C的右支分别交于A，B两点，且|AB|=3|BF2|，2|OB|=|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为　　　　.  答案： 解析：如图，连接AF1，BF1.因为2|OB|=|F1F2|，所以BF1⊥BF2.设|BF2|=t，因为|AB|=3|BF2|，所以|AF2|=2t.因为+=，由双曲线定义可得|BF1|-|BF2|=2a，所以|BF2|=，|BF1|=2a+.由勾股定理可得|F1F2|2=|BF1|2+，化简整理得8a2=9b2，所以C的离心率为e==. 若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则+=. 对点练4.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 答案：B 解析：法一：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，得xA·xB=1　①，因为|AF|=2|BF|，由抛物线的定义得xA+1=2，即xA=2xB+1　②，由①②解得xA=2，xB=，所以|AB|=|AF|+|BF|= xA+xB+p=.故选B． 法二：因为|AF|=2|BF|，所以+=+===1，解得|BF|=，|AF|=3，故|AB|=|AF|+|BF|=.故选B． 课时测评70　圆锥曲线中的几个常用二级结论的应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题10分，共100分) 1.如图，已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点F1在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 答案：C 解析：由题图可知△ABC的周长=|AB|+|AC|+|BC|=(|AB|+|BF1|)+(|AC|+|CF1|)= 2a+2a=4a=4.故选C． 2.已知F1，F2为椭圆+=1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M的个数为(　　) A．2 B．4 C．0 D．不确定 答案：B 解析：由+=1得a2=4，b2=3，所以c2=a2-b2=1，c=1.由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a=4，|F1F2|=2c=2.因为△MF1F2的内切圆的周长等于π，所以△MF1F2内切圆的半径为r===r·(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)=.设点M(x0，y0)，则=|F1F2|·|y0|=，所以y0=±.将点M的坐标代入椭圆方程可得+=1，解得x0=±1，所以点M的坐标为 或，因此，满足条件的点M的个数为4.故选B． 3.已知A，B是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足=3，S△OAB=|AB|，则|AB|的值为(　　) A． B． C．4 D．2 答案：A 解析：如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，因为=3，所以F为AB的三等分点，令|BF|=t，则|AF|=2t，由+=，得+=⇒t=p，所以|AB|=3t=p，又|AB|=，所以=p⇒sin α=，又S△OAB=|AB|，所以=|AB|，即=·p⇒p=2，所以|AB|=.故选A． 4.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2=90°，则直线BM的斜率为(　　) A． B． C．-1 D．- 答案：B 解析：因为∠F1AF2=90°，所以△F1AF2为等腰直角三角形，所以b=c，所以a2=2b2=2c2，所以=，且∠AF2O=45°，所以kMA=-1，又kMA·kMB=-=-，所以kMB=.故选B． 5.已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-3，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由椭圆C：+=1知其左顶点A1(-2，0)，右顶点A2(2，0).设P(x0，y0)(x0≠±2)，则+=1，所以=-.记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2==-.因为直线PA2斜率的取值范围是[-3，-1]，所以直线PA1斜率的取值范围是.故选A． 6.已知P，A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB=，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y=x或y=-x B．y=x或y=-x C．y=x或y=-x D．y=x或y=-x 答案：A 解析：法一：令P(x，y)，A(m，n)，由A，B关于原点对称得B(-m，-n)，将P(x，y)，A(m，n)代入曲线方程得两式作差得·=.由kPAkPB=，得·=，整理得=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A． 法二：因为点A，B关于原点对称，且直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB=，得=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A． 7.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.若=2，则|AB|=　　　　.  答案： 解析：设|AF2|=t，则|BF2|=2t，由椭圆焦点弦公式可知，+=，所以=，所以t=，从而|AB|=. 8.过点M(-2，0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为　　　　.  答案：- 解析：法一：设直线m的方程为y=k1(x+2)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2).由整理得(1+2)x2+8x+8-2=0，Δ=64-4(8-2)(1+2)>0，则x1+x2=，x1x2=，所以y1+y2=k1(x1+2)+k1(x2+2)=k1=，所以P，则k2==-，则k1k2=-. 法二：由椭圆的相应结论知kOP·=-， 所以k1k2=-. 9.已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F1PF2=，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为　　　　.  答案：2 解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可知 所以设|F1F2|=2c， ∠F1PF2=，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+-2·cos，化简得+3=4c2，该式可化成+=4，所以+=4，所以==2. 10.已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1，F2，曲线C1和C2在第一象限交于点P，且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是，则双曲线C2的离心率的取值范围是　　　　.  答案： 解析：设椭圆C1：+=1(a>b>0)，双曲线C2：-=1(a1>0，b1>0)，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆的离心率e=，双曲线的离心率e1=，设|PF1|=s，|PF2|=t，如图.由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得s-t=2a1，联立可得s=a1+a，t=a-a1.在△PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2 -2(a+a1)·(a-a1)cos 60°=a2+3，即4=+，解得=.因为e∈，所以≤e2≤，2≤≤3，可得≤≤3，所以≤e1≤. 学生用书⬇第240页 学科网（北京）股份有限公司 $