第八章 第二节 两条直线的位置关系（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第二节　两条直线的位置关系 【课程标准】　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则 ①l1∥l2⇔方向向量平行⇔k1=k2且b1≠b2. ②l1⊥l2⇔方向向量垂直⇔(1，k1)·(1，k2)=1+k1k2=0⇔k1k2=-1. ③两条直线重合 ⇔k1=k2并且b1=b2. ④两条直线相交⇔k1≠k2. (2)两条直线的一般式方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则 ①l1∥l2⇔法向量平行⇔A1B2-A2B1=0，A1C2≠A2C1⇔A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ为非零实数. ②l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0. 2.两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点 设两条直线的方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点. (2)两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 方程组的解 一组解 无解 无数组解 直线l1，l2公共点的个数 一个 零个 无数个 直线l1，l2的位置关系 相交 平行 重合 3.三种距离公式 两点间的距离 平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|= 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= 两条平行线间的距离 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离d= [微提醒]　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式. 【常用结论】 (1)直线系方程 ①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). ②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). ③过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. (2)与对称问题有关的四个结论 ①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). ②点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y). ③点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). ④点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 学生用书⬇第214页 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2 B．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1 C．直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离 D．若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-，且线段AB的中点在直线l上 答案：CD 2.(用结论)过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(　　) A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0 C．2x+y-2=0 D．x+2y-1=0 答案：A 解析：因为所求直线与x-2y-2=0平行，故可设直线方程为x-2y+m=0，又因为直线过点(1，0)，所以1+m=0，即m=-1.故所求直线方程为x-2y-1=0.故选A． 3.若直线l1：ax-(a+1)y+1=0与直线l2：2x-ay-1=0垂直，则实数a=(　　) A．3 B．0 C．-3 D．0或-3 答案：D 解析：因为直线l1与直线l2垂直，所以2a+a(a+1)=0，整理得a2+3a=0，解得a=0或a=-3.故选D． 4.(1)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a的值为　　　　.  (2)若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为，则实数a=　　　　.  答案：(1)-1　(2)4或-16 解析：(1)由题意得=1，即|a+1|=，又a>0，所以a=-1. (2)将直线2x-y-3=0化为4x-2y-6=0，则直线2x-y-3=0与直线4x-2y+a=0之间的距离d==，根据题意可得：=，即|a+6|=10，解得a=4或a=-16. 5.(用结论)点P(2，5)关于直线x+y=1的对称点的坐标为　　　　.  答案：(-4，-1) 解析：点P(2，5)关于x+y=1的对称点的坐标为(1-5，1-2)，即(-4，-1). 考点一　两条直线的平行与垂直自主练透 1.已知直线l1：ax+(a-1)y+3=0，l2：2x+ay-1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．0或-1 B．-1或1 C．-1 D．1 答案：A 解析：由题意可知l1⊥l2，故2a+a(a-1)=0，解得a=0或a=-1，经验证，符合题意.故选A． 2.(多选)已知直线l1：x+my-1=0，l2：(m-2)x+3y+3=0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m=-1或m=3 B．若l1∥l2，则m=3 C．若l1⊥l2，则m=- D．若l1⊥l2，则m= 答案：BD 解析：若直线l1∥l2，则3-m(m-2)=0，解得m=3或m=-1，但当m=-1时，两直线方程分别为x-y-1=0，-3x+3y+3=0即x-y-1=0，两直线重合，故只有当m=3时两直线平行，故A错误，B正确；若l1⊥l2，则m-2+3m=0，解得m=，故C错误，D正确.故选BD． 3.已知三条直线2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为　　　　.  答案： 解析：由题意得直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0或4x+3y+5=0平行，或者直线mx-y-1=0过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点.当直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0或4x+3y+5=0平行时，m=或m=-；当直线mx-y-1=0过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点时，m=-.所以实数m的取值集合为. 判断两直线位置关系的注意点 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 考点二　两直线的交点与距离问题师生共研 (1)已知直线l1：2x-y-4=0，l2：x+y-5=0相交于点P，则P到直线l：x+2y+3=0的距离为(　　) A．2 B． C． D． (2)两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为　　　　.  答案：(1)A　(2) 解析：(1)由题意，联立可得故P(3，2).则P到直线l：x+2y+3=0的距离为d==2.故选A． (2)由两条直线平行，得=，所以a=6，所以直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0，则两平行线间的距离为d==. 两种距离的求解思路 1.点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式. 2.两平行直线间的距离：(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式). 注意：点P(x0，y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|. 学生用书⬇第215页 对点练1.(1)已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a=(　　) A．-或- B．- C．- D．-或- (2)已知直线l1：2x+3y-1=0和l2：4x+6y-9=0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为 1∶2，则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　.  答案：(1)D　(2)4x+6y+5=0或12x+18y-13=0 解析：(1)由题意得=，化简得|3a+3|=|6a+4|，解得a=-或a=-.故选D． (2)由题意得l1∥l2.设直线l：4x+6y+m=0，m≠-2且m≠-9.直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1=，d2=，因为=，所以=，即2|m+2|=|m+9|，解得m=5或m=-，即直线l为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0. 考点三　对称问题多维探究 角度1　中心对称 (1)直线x-2y-3=0关于定点M(-2，1)对称的直线方程是　　　　　　　.  (2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　　　　　　　　　.  答案：(1)x-2y+11=0　(2)x+4y-4=0 解析：(1)设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(-2，1)的对称点(-4-x，2-y)在已知直线上，所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0，即x-2y+11=0. (2)设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0，解得a=4，即点A(4，0)在直线l上，因为点P(0，1)也在直线l上，所以利用两点式可得直线l的方程为=，即x+4y-4=0. 角度2　轴对称 (1)一束光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=ax+2射出，则有(　　) A．a=，b=6 B．a=-3，b= C．a=3，b=- D．a=-，b=-6 (2)已知点A(4，-1)，B(8，2)和直线l：x-y-1=0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|+|PB|的最小值为　　　　.  答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意，知直线y=-3x+b与直线y=ax+2关于直线y=-x对称，所以直线y=ax+2上的点(0，2)关于直线y=-x的对称点(-2，0)在直线y=-3x+b上，所以-3×(-2)+b=0，所以b=-6.直线y=-3x-6上的点(0，-6)关于直线y=-x的对称点(6，0)在直线y=ax+2上，所以6a+2=0，所以a=-.故选D． (2)设点A关于直线l的对称点为A1，P0为A1B与直线l的交点，如图， 所以|P0A1|=|P0A|，|PA1|=|PA|.所以|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|≥|A1B|.即当P点运动到P0时，|PA|+|PB|取得最小值|A1B|.设A1(x1，y1)，则解得即A1(0，3).所以=|A1B|==. 1.中心对称问题的处理方法 (1)点关于点的对称： 利用中点坐标公式找关系求解. (2)直线关于点的对称： 法一：在已知直线上取两点，利用点关于点对称，求出对称点坐标，然后利用两点式求直线方程. 法二：在已知直线上取一点求对称点，利用关于一点对称的两条直线平行，求直线方程. 2.轴对称问题的处理方法 (1)点关于直线对称 若P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax+By+C=0对称，则有 其中B≠0，x1≠x2. (2)直线关于直线的对称 ①若直线与对称轴平行，则可在直线上取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用直线的点斜式方程求解. ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后取直线上一点，求该点关于对称轴的对称点，最后由直线的两点式方程求解. 对点练2.已知直线l：3x-y+3=0，求： (1)点P(4，5)关于直线l对称的点的坐标； (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于点(1，2)对称的直线方程. 解：(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则kPP'·kl=-1，所以×3=-1　①， 又PP'的中点在直线l上，所以3×-+3=0　②， 联立①②，解得 所以点P(4，5)关于直线l对称的点的坐标为(-2，7). (2)联立解得即两直线的交点坐标为，易知点(2，0)在直线x-y-2=0上，设点(2，0)关于直线l的对称点的坐标为(m，n)， 则解得 即所求直线过点， 利用两点式得=， 整理得7x+y+22=0，即所求直线的方程为7x+y+22=0. (3)在直线l：3x-y+3=0上取点M(0，3)，设其关于点(1，2)对称的点为M'(xM'，yM')， 则解得 即M'(2，1). 因为直线l关于点(1，2)对称的直线平行于l， 所以所求直线的斜率为3， 所以所求直线的方程为y-1=3(x-2)，即3x-y-5=0. 学生用书⬇第216页 [真题再现]　(1)(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m=(　　) A． B． C．- D．- 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)由题意得x2+y2-2x+6y=0，即+=10，则其圆心坐标为，则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3.故选D． (2)由题意，F1(-，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即=2×，解得m=-或m=-3(此时直线与椭圆C不相交，舍去).故选C． [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P87T3)求点A(-3，4)到直线3x-2y+6=0的距离. 点评：这两道高考题与教材练习题非常类似，都是求点到直线的距离，2024年北京卷涉及求圆心，2023年新高考Ⅱ卷涉及直线与椭圆的位置关系，都是教材练习题的变式和引申，试题源于教材高于教材. 课时测评63　两条直线的位置关系 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2024·江西南昌三模)若a为实数，则“a=1”是“直线l1：ax+y+2=0与l2：x+ay-3-a=0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若直线l1：ax+y+2=0与l2：x+ay-3-a=0平行，则a2-1=0，解得a=1或a=-1，当a=1时，直线l1：x+y+2=0，l2：x+y-4=0，此时l1∥l2，符合题意；当a=-1时，直线l1：-x+y+2=0，即l1：x-y-2=0，l2：x-y-2=0，此时l1，l2重合，不符合题意，所以“a=1”是“直线l1：ax+y+2=0与l2：x+ay-3-a=0平行”的充要条件.故选C． 2.若直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直，垂足为(1，b)，则a+b+c等于(　　) A．-6 B．4 C．-10 D．-4 答案：D 解析：因为ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直，故2a-20=0，即a=10，因为垂足为(1，b)，故故故a+b+c=-4.故选D． 3.已知直线l经过直线l1：x+y=2与l2：2x-y=1的交点，且直线l的斜率为-，则直线l的方程是(　　) A．3x-2y-1=0 B．3x-2y+1=0 C．2x+3y-5=0 D．2x-3y+1=0 答案：C 解析：解方程组得所以两直线的交点坐标为(1，1).因为直线l的斜率为-，所以直线l的方程为y-1=-(x-1)，即2x+3y-5=0.故选C． 4.(2024·山西太原模拟)已知直线l与直线3x-2y=6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　) A．15x-10y-6=0 B．15x-10y+6=0 C．6x-4y-3=0 D．6x-4y+3=0 答案：A 解析：若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设直线l的方程为+=1，其中a≠0且a≠-1，则直线l的斜率为k=-=，解得a=-，所以直线l的方程为-=1，即15x-10y-6=0.故选A． 5.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为(　　) A．3 B．0 C．-1 D．1 答案：C 解析：直线mx-y+1-2m=0可化为y=m(x-2)+1，故直线过定点Q(2，1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ=m·=-1，解得m=-1.故选C． 6.(多选)已知直线l过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(4，-5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0 C．3x+2y-7=0 D．2x+3y-7=0 答案：AC 解析：由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为=-4，所以直线l的方程是y-2=-4(x-1)，即4x+y-6=0；当直线l经过线段AB的中点(3，-1)时，l的斜率为=-，此时l的方程是y-2=-(x-1)，即3x+2y-7=0.故选AC． 7.(多选)若三条直线x+3y+7=0，x-y-1=0，x+2ny+n=0能围成一个三角形，则n的值不可能是(　　) A． B．1 C．- D．- 答案：ACD 解析：由得所以两条直线交于点(-1，-2).当x+2ny+n=0也过(-1，-2)时，-1+2n×(-2)+n=0，解得n=-，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形；当x+3y+7=0与x+2ny+n=0平行时，有2n=3，则n=，不能构成三角形；当x-y-1=0与x+2ny+n=0平行时，有2n=-1，则n=-，不能构成三角形，所以n≠且n≠-且n≠-.故选ACD． 8.已知直线l1：2x+y+1=0和直线l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为　　　　.  答案：-2　 解析：已知直线l1：2x+y+1=0和l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，则2+a=0，解得a=-2；若l1∥l2，则2a=1，解得a=，此时直线l2：2x+y+6=0，显然两直线不重合，故此时l1与l2间的距离d==. 9.直线2x+4y-5=0关于直线x=2对称的直线的方程为　　　　　　　　　.  答案：2x-4y-3=0 解析：设直线2x+4y-5=0上任意一点P(x0，y0)关于直线x=2对称的点为Q(x，y)，则所以代入2x0+4y0-5=0，得2(4-x)+4y-5=0，整理得2x-4y-3=0. 10.已知直线l过直线l1：x-y+1=0和l2：x+y-=0的交点A，且原点到直线l的距离为，则直线l的方程为　　　　　　　　　.  答案：x=或x-y+1=0 解析：由解得故A. ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=，原点(0，0)到直线x=的距离为，符合题意. ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-=k，即kx-y-k+=0.由原点(0，0)到直线l的距离d==，解得k=，故直线l的方程为x-y+1=0.综上所述，直线l的方程为x=或x-y+1=0. (每小题8分，共32分) 11.(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0，下列结论正确的是(　　) A．若l1∥l2，则a=6 B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为 C．若l1⊥l2，则a= D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交 答案：AD 解析：若l1∥l2，则4a=3×8，所以a=6，故A正确；由A知，l2：6x+8y-11=0，直线l1的方程可化为6x+8y+24=0，故两条平行直线之间的距离为=，故B不正确；若l1⊥l2，则3a+4×8=0，所以a=-，故C不正确；由A知，当a=6时，l1∥l2，所以若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确.故选AD． 12.设△ABC的一个顶点是A(3，-1)，内角B，C的平分线的方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是(　　) A．y=3x+5 B．y=2x+3 C．y=2x+5 D．y=-+ 答案：C 解析：A关于直线x=0的对称点是A'(-3，-1)，关于直线y=x的对称点是A″(-1，3)，由角平分线的性质可知，点A'，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y=2x+5.故选C． 13.已知直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2+|PB|2=(　　) A．10 B．13 C．16 D．20 答案：B 解析：直线l1：x-my+1=0过定点A，令y=0，得x=-1，所以A(-1，0)；直线l2：mx+y-m+3=0过定点B，直线l2的方程可化为m(x-1)+y+3=0，令x=1，得y=-3，所以B(1，-3).因为1·m-m·1=0，所以l1⊥l2.因为l1与l2相交于点P，所以△PAB是以AB为斜边的直角三角形，由勾股定理可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+ (0+3)2=13.故选B． 14.(新情境)瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则△ABC欧拉线的方程为　　　　　　　　　　.  答案：x-y+2=0 解析：因为△ABC的顶点为A(-4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则△ABC的重心G，显然△ABC的外心M在线段AC的垂直平分线x=-1上，设M(-1，a)，由|MA|=|MB|得= ，解得a=1，即点M(-1，1)，直线MG：y-1=(x+1)，化简整理得x-y+2=0，所以△ABC欧拉线的方程为x-y+2=0. (每小题9分，共18分) 15.(新定义)(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=. 已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是(　　) A．若d1=d2=1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1=1，d2=-1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2<0，则直线P1P2与直线l相交 答案：AD 解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1=d2=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c =，直线P1P2与直线l平行，故A正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，故B错误；对于C，若d1=d2=0，满足d1+d2=0，即ax1+by1+c=ax2+by2+c=0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，故C错误；对于D，若d1·d2<0，即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)<0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，故D正确.故选AD． 16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为　　　　.  答案：6 解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，-2)，C(b，3).因为AC⊥AB，所以·=0，即ab-6=0，所以ab=6，b=.Rt△ABC的面积S=·=·=≥×=6(当且仅当a2=4时取等号).所以△ABC的面积的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $