第六章 第二节 向量的分解与坐标表示（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第二节　向量的分解与坐标表示 【课程标准】　1.理解平面向量基本定理及其意义.　2.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.　3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.　4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v=xe1+ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是：如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2，则x=x'，y=y'. 我们称不共线向量e1，e2组成的集合称为平面上的一组基{e1，e2}，分解式v=xe1+ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标. 取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v=(x，y). [微提醒]　理解基应注意以下两点： (1)基{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量，因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基. (2)如果对于一个基{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到即基给定，同一向量的分解形式唯一. 2.向量线性运算的坐标表示 (1)平面向量的坐标运算 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 向量的加法运算 a+b=(x1+x2，y1+y2) 向量的减法运算 a－b=(x1－x2，y1－y2) 向量的数乘运算 λa=(λx1，λy1)(λ∈R) 向量的模 |a|= (2)向量坐标的求法 已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则=(x2－x1，y2－y1)，||=. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1=0. [微提醒]　因为x2，y2有可能为0，所以a∥b的充要条件不能表示为=. 【常用结论】 (1)若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0. (2)已知O为原点，P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由=可得点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由=可得△ABC的重心G的坐标为. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．平面内的任意两个向量都可以作为一个基 B．设{a，b}是平面内的一个基，若λ1a+λ2b=0，则λ1=λ2=0 C．若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成= D．平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 答案：BD 2.下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1=(0，0)，e2=(1，2) B．e1=(2，－3)，e2= C．e1=(3，5)，e2=(6，10) D．e1=(－1，2)，e2=(5，7) 答案：D 解析：由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底，而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.故选D． 3.若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 答案：D 解析：由题意可知=.若=，则P点坐标为(2，2)；若=，则P点坐标为(3，1).故选D． 4.(2024·上海卷)已知k∈R，a=，b=，且a∥b，则k的值为　　　　.  答案：15 解析：因为a∥b，所以2k=5×6，解得k=15. 学生用书⬇第157页 考点一　平面向量基本定理的应用师生共研 (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=(　　) A． B． C．+ D．+ (2)(多选)(2025 ·河南郑州模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且=3，F为AE的中点，则(　　) A．=+ B．=－+ C．= D．=－+ 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)法一：根据向量的运算法则可得，在△ABE 中，=+ .因为E 为AD 的中点，所以= ，在△ABD 中，=+= .因为D为BC 的中点，所以=.在△ABC 中，= .逐步代入，可得=+=+=()+=+=+=()+= .故选A． 法二：由D 为BC 的中点，得=(+) ，由E 为AD 的中点，得==(+) .在△ABE 中，==(+)= .故选A． (2)由AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得=+=+=+，又F为AE的中点，则==+，故A正确；=++=－++=－+，故B正确；=+=－++=－+，故D正确；=+==－+=－，故C错误.故选ABD． 运算遵法则、基定分解 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基，并运用该基将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基下的分解是不同的，但在每个基下的分解都是唯一的. 对点练1.(1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若p=xa+yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p=xa+yb C．若=x+y，则P，M，A，B共面 D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得=x+y (2)(2025·山西吕梁模拟)已知等边△ABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，若=3，则=(　　) A．+ B．+ C．+ D．+ 答案：(1)AC　(2)B 解析：(1)对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p=xa+yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得=x+y，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确. (2)在△ABC中，取为基底，因为点D，E分别为AB，BC的中点，=3，所以==，所以=+=+=+.故选B． 考点二　平面向量的坐标运算自主练透 1.已知a=(5，－2)，b=(－4，－3)，若a－2b+3c=0，则c等于(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为a－2b+3c=0，所以c=－(a－2b).因为a－2b=(5，－2)－(－8，－6) =(13，4)，所以c=－(a－2b)=.故选D． 2.(2025 ·河南郑州名校联盟)已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若=2－3，且=，则=(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由=2－3得+=3－3，即=3，又=，所以=3=.故选D． 3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A． B． C．2 D． 答案：B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB=1，则DC=AD=2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以=(－2，2)，=(－2，1)，=(1，2)，因为=λ+μ，所以(－2，2)=λ(－2，1)+μ(1，2)，所以解得故λ+μ=.故选B． 4.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基{a，b}表示c，则(　　) A．c=2a－3b B．c=－2a－3b C．c=－3a+2b D．c=3a－2b 答案：D 解析：如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a=(1，1)，b=(－2，3)，c=(7，－3)，设向量c=ma+nb，则c=ma+nb=(m－2n，m+3n)=(7，－3)，则⇒所以c=3a－2b.故选D． 学生用书⬇第158页 5.(2025·重庆期中检测)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB=150°，∠BOC=90°，||=2，||=1，||=3，若=λ+μ，则=(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由三角函数定义，易知A(2，0)，B，C(3cos 240°，3sin 240°)，即C，因为=λ+μ，所以=λ(2，0)+μ，所以解得所以=.故选D． 向量坐标运算问题的一般思路 1.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算. 2.巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用. 考点三　向量共线的坐标表示多维探究 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC=2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为　　　　.  (2)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  答案：(1)(2，4)　(2)(3，3) 解析：(1)由题意得，=2.设点D的坐标为(x，y)，则==，所以(4－x，2－y)=(2，－2)，即解得故点D的坐标为(2，4). (2)由O，P，B三点共线，可设=λ=，则==.又==，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得λ=.所以==，所以点P的坐标为(3，3). 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 1.求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. 2.求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值. 角度2　利用向量共线求参数 (1)向量a=(1，3)，b=(3x－1，x+1)，c=(5，7)，若(a+b)∥(a+c)，且c=ma+nb，则m+n的值为(　　) A．2 B． C．3 D． (2)已知向量===，若A，C，D三点共线，则m=　　　　.  答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由题意，得a+b=(3x，x+4)，a+c=(6，10)，因为(a+b)∥(a+c)，所以30x=6x+24，解得x=1，所以b=(2，2).则c=ma+nb=(m+2n，3m+2n)=(5，7)，即解得故m+n=3.故选C． (2)因为=+=，又A，C，D三点共线，所以=λ且λ∈R，则解得 利用向量共线的坐标表示求参数的步骤 第一步：根据已知条件求出相关向量的坐标； 第二步：利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组； 第三步：根据方程或方程组求解得到参数的值. 对点练2.(1)(2025·山西太原质检)已知向量a，b满足a=(1，2)，a+b=(1+m，1)，若a∥b，则m=(　　) A．2 B．－2 C． D．－ (2)(2025·江西宜春模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线 且向量与向量a=(1，－1)共线，若=λ+·，则λ=　　　　.  (3)(2025·广东广州模拟)在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上一动点，若=x+y，则3x+y的取值范围是　　　　.  答案：(1)D　(2)－1　(3)[1，3] 解析：(1)b=(a+b)－a=(1+m，1)－(1，2)=(m，－1).因为a∥b，所以2m+1=0，解得m=－.故选D． (2)设=，因为向量与向量a=(1，－1)共线，所以x+y=0，所以=.又=λ+，所以(x，－x)=λ(3，1)+(1－λ)·(－1，3)=(4λ－1，3－2λ)，即解得λ=－1. (3)设OA=OB=1，以O为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图.则==.不妨设与x轴的夹角为θ，则=(cos θ，sin θ).因为=x+y，所以解得所以3x+y=3cos θ－sin θ且在θ∈上单调递减，所以当θ=0时，3x+y=3，为最大值；当θ=时，3x+y=×=1，为最小值，所以3x+y的取值范围是[1，3]. [真题再现]　(2021·全国乙卷)已知向量a=(2，5)，b=(λ，4)，若a∥b，则λ=　　　　.  答案： 解析：因为a∥b ，所以2×4－5λ=0 ，解得λ= . [教材呈现]　(湘教版必修二P29练习3)已知a=(－6，－8)，b=(4，y)，若a∥b，求y的值. 点评：高考题及教材习题都考查两向量共线的坐标表示.涉及相同的知识点，相似度极高. 课时测评48　向量的分解与坐标表示 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基的是(　　) A．e1与e1+e2 B．e1－2e2与e1+2e2 C．e1+e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1+2e2 答案：D 解析：对于A，设e1+e2=λe1，则无解，故e1与e1+e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基；对于B，设e1－2e2=λ(e1+2e2)，则无解，故e1－2e2与e1+2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基；对于C，设e1+e2=λ(e1－e2)，则无解，故e1+e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基；对于D，e1－2e2=－(－e1+2e2)，所以e1－2e2与－e1+2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基.故选D． 2.已知向量a=(1，2)，b=(2，－2)，c=(1，λ).若c∥(2a+b)，则λ等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为a=(1，2)，b=(2，－2)，所以2a+b=(4，2).又c=(1，λ)，c∥(2a+b)，所以4λ=2，解得λ=.故选C． 3.(2025·广东潮州模拟)在A=90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，=λ+μ，则λ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 答案：A 解析：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AB=2，则B(2，0)，C(0，2)，F(1，1)，E(1，0)，=(－2，2)，λ+μ=λ+μ=，所以所以λ=－.故选A． 4.(2025·山东肥城模拟)在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量等于(　　) A．+ B． C．+ D． 答案：B 解析：如图，根据平面向量的运算法则，可得=+=+=+×(+)=++=.故选B． 5.(2025·江西新余模拟)如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，=a，=b，则等于(　　) A．a－b B．a－b C．－a+b D．－a+b 答案：C 解析：连接OC，OD和CD，如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA=OB=OC=OD=AC=CD=BD，所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，所以====－a+b.故选C． 6.(多选)若k1a+k2b=0，则k1=k2=0，那么下列对a，b的判断不正确的是(　　) A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线 C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0 答案：ACD 解析：由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a+k2b=0，则k1=k2=0，当a与b共线时，k1=k2=0只是其中一组解，此时解不唯一，故A错误，B正确；而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，故C错误；当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，故D错误.故选ACD． 7.(多选)(2025·四川乐山模拟)在等边△ABC中，==2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　　) A．= B．=+ C．= D．=+ 答案：AC 解析：由==2，所以=(+)，故A正确；=+=+=+()=+，故B错误；由于E，F，B三点共线，所以=λ+=λ+且=x=x=x+x，所以解得λ=，x=，故C正确；=+=+=+()=+=+，故D错误.故选AC． 8.(2025·苏北七市模拟)已知向量a=(6，2)，与a共线且方向相反的单位向量b=　　　　.  答案： 解析：因为a=，|a|==2，所以与a共线且方向相反的单位向量是b=－=. 9.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，=x+y，则x=　　　　.  答案： 解析：分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0)，B(2，0)，P(2，1)，Q(1，2)，C(2，2)，则===，又=x+y，则有2=2x－y且1=2x+2y，解得x=. 10.若在△ABC中，AB=，∠ABC=，BC=3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ=　　　　.  答案：0 解析：由题意可知，在Rt△ABD中，AB=，∠ABC=，所以BD=1，所以BD=BC，所以====+=+，又因为=λ+μ，所以λ=，μ=，所以λ－2μ==0. (每小题8分，共32分) 11.(2025·广东广州模拟)在△ABC中，D为BC边上的点，且S△ABD=2S△ADC，=x+y，则(　　) A．x=3，y=－2 B．x=，y=－ C．x=－2，y=3 D．x=－，y= 答案：A 解析：设点A到BC的距离为h，则×BD×h=2××DC×h，所以BD=2DC，故=+=+3=+3=3－2.又=x+y，故x=3，y=－2.故选A． 12.(多选)(2025·江苏南京模拟)在同一平面内，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点(O，P不在直线l上)，且=λ+μ，则λ+μ的值可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：AB 解析：因为当且仅当点P在直线l上时，λ+μ=1.而当O，P两点在l的异侧时，才会有λ+μ>1.因为O，P在直线l同侧，所以C，D错误；当OP∥l时，=k=k，此时λ+μ=0，所以B正确；当P在l关于点O对称的直线l'上时，λ+μ=－1，所以A正确.故选AB． 13.(新情境)(2025·安徽合肥模拟)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若=λ+μ，则λ+μ等于 (　　 ) A．－1 B．1－ C．+1 D．－－1 答案：A 解析：以C为坐标原点，DC，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得AC=，则A(0，)，B，C(0，0)，==(0，－).因为CB=CD=1，∠DCB=90°+45°=135°，故∠BDC=22.5°，因为tan 45°==1，所以tan 22.5°=－1，所以OC=DC·tan 22.5°=－1，故O(0，－1).又D(－1，0)，则=(1，－1)，因为=λ+μ=，所以解得所以λ+μ=－1.故选A． 14.(2025·广西北海模拟)如图①所示，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图②中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设=a，=b，若==3，则=　　　　(用a，b表示).  答案：－a+b 解析：因为==3，由正六边形的性质可知====，所以==+=+=+=+，所以=+=－++=－(－+)++=+==－a+b. (每小题9分，共18分) 15.(多选)如图，B是AC的中点，=2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且=x+y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　) A．当x=0时，y∈[2，3] B．当P是线段CE的中点时，x=－，y= C．若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．当P在C点时，x=1，y=2 答案：BC 解析：当x=0时，则=y，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，=+=3+(+)=3+=3+(－2+)=－+，故B正确；当x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C正确；因为=(+)，所以=2，当P在C点时，则=－+2，所以x=－1，y=2，故D错误.故选BC． 16.(新情境)(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta+(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有(　　) A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x} C．{(x，y)|x+2y－1≥0} D．{(x，y)|x2+y2≤1} 答案：ACD 解析：设=a，=b，=ta+b，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示， 观察选项A、B、C、D所对应的图形知，B不符合题意，A、C、D符合题意.故选ACD． 学生用书⬇第159页 学科网（北京）股份有限公司 $