第四章 培优课7 三角形中的高线、中线、角平分线（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

培优课7　三角形中的高线、中线、角平分线 题型一　三角形中的高线问题 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，∠A+∠B=3∠C，2sin(A－C)=sin B. (1)求sin A； (2)设AB=5，求AB边上的高. 解：(1)在△ABC中，∠A+∠B=π－∠C，因为∠A+∠B=3∠C， 所以3∠C=π－∠C，所以∠C=.因为2sin(A－C)=sin B，所以2sin =sin， 展开并整理得(sin A－cos A)=(cos A+sin A)，得sin A=3cos A， 又sin2A+cos2A=1，且sin A>0，所以sin A=. (2)由正弦定理=，得BC=·sin A=×=3. 由余弦定理AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos C，得52=AC2+(3)2－2AC·3cos， 整理得AC2－3AC+20=0，解得AC=或AC=2. 由(1)得，tan A=3>，所以<∠A<，又∠A+∠B=，所以∠B>， 即∠C<∠B， 所以AB<AC，所以AC=2.设AB边上的高为h，则·AB·h=·AC·BCsin C， 即5h=2×3×，解得h=6，所以AB边上的高为6. 1.设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 2.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度. 高线的两个作用：(1)产生直角三角形.(2)与三角形的面积相关. 对点练1.(2024·湖北武汉高三四调)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin=. (1)求角A； (2)若BC边上的高h=a，求cos Bcos C. 解：(1)由题意得2sin=， 则(sin B+cos B)sin A=sin B+sin Acos B+sin Bcos A， 有sin A=1+cos A，即2sin=1， 因为∠A∈(0，π)，所以∠A=. (2)由S△ABC=ah=bcsin A，则a2=bc， 所以a2=2bc， 有sin2A=2sin Bsin C，则sin Bsin C=， 又cos A=－cos=sin Bsin C－cos Bcos C=，则cos Bcos C=－. 学生用书⬇第120页 题型二　三角形中的中线问题 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD=1. (1)若∠ADC=，求tan B； (2)若b2+c2=8，求b，c. 解：(1)因为在△ABC中，D为BC的中点，∠ADC=，AD=1，所以=AD·DCsin ∠ADC=×1×a×=a， 因为△ABC的面积为，所以a=，解得a=4， 因为在△ABD中，∠ADB=， 由余弦定理得c2=BD2+AD2－2BD·ADcos ∠ADB， 即c2=4+1－2×2×1×=7，解得c=， 所以cos B==， sin B===， 所以tan B==. (2)在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，则a=2， 由S△ADC=××1×sin ∠ADC=， 解得sin ∠ADC=1， 而0<∠ADC<π，于是∠ADC=， 所以b=c==2. 与三角形中线有关的解题策略 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B=，在△ABC中，cos B=，联立得AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量法：=(b2+c2+2bccos A). 推导过程：由=(+)，得=(+)2=++||||·cos A，所以=(b2+c2+2bccos A). 对点练2.(2025·河北石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=. (1)求角C的大小； (2)若边c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的最大值. 解：(1)因为a=， 由正弦定理可得a=，则a2－ab=c2－b2， 即a2+b2－c2=ab，由余弦定理可得cos C===， 因为∠C∈，所以∠C=. (2)因为D为AB的中点，所以=， 则==+·+=， 又由余弦定理得，c2=a2+b2－2abcos C， 即4=a2+b2－ab，所以CD2==1+ab. 由4=a2+b2－ab得，4+ab=a2+b2≥2ab， 则ab≤4，当且仅当a=b=2取等号， 即CD2≤1+×4=1+2=7+4=， 所以CD≤+2，即中线CD长的最大值为+2. 学生用书⬇第121页 题型三　三角形中的角平分线问题 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B=bsin. (1)求角A的大小； (2)若AB=3，AC=1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长. 解：(1)因为asin B=bsin，由正弦定理得sin Asin B=sin Bsin. 因为sin B≠0，所以sin A=sin， 所以sin A=sin A+cos A， 即sin A=cos A，所以tan A=. 因为∠A∈(0，π)，所以∠A=. (2)法一：因为S△ABC=S△ABD+S△ADC， 所以AB·AC·sin∠BAC=AB·AD·sin∠BAD+AD·AC·sin∠DAC， 所以×3×1×sin=×3×AD×sin+×AD×1×sin，所以AD=. 法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cos∠BAC =32+12－2×3×1×cos=7，所以BC=. 在△ABD中，由正弦定理得=， 在△ADC中，由正弦定理得=. 因为sin∠BAD=sin∠DAC，sin∠ADB=sin∠ADC， 所以==，所以DC=. 在△ADC中，由余弦定理得DC2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠DAC，设AD=x，则=x2+1－2x·，即x2－x+=0，解得x=或. 在△ABC中，由余弦定理得cos C==－<0，所以∠C是钝角，则在△ADC中，AD>AC，所以AD=. 法三：在△ABD中，由正弦定理得=，在△ADC中，由正弦定理得=. 因为sin∠BAD=sin∠DAC，sin∠ADB=sin∠ADC， 所以==，所以=+=+=+()=+， 所以||2==||2+||2+· =×9+×1+×3×1×=，所以AD=. 与三角形角平分线有关的解题策略 　　在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1.利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD. 2.内角平分线定理：=. 3.等面积法：因为S△ABD+S△ACD=S△ABC，所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin A，所以AD=2bccos，整理得AD=(角平分线长公式). 对点练3.(2025·广东佛山模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C+sin2B－sin2A=sin Bsin C. (1)求∠A； (2)已知∠A的角平分线交BC于点D，求的取值范围. 解：(1)因为sin2C+sin2B－sin2A=sin Bsin C， 由正弦定理可得c2+b2－a2=bc， 所以cos A==.又∠A∈，所以∠A=. (2)因为========+. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<∠B<， 所以tan B>， 所以<+<2， 即的取值范围为. 课时测评37　三角形中的高线、中线、角平分线 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－4，每小题5分，共20分) 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若asin A=bsin B+(c－b)sin C，且AD=，b=3c，则a的值为(　　) A． B． C．3 D．22 答案：B 解析：由asin A=bsin B+(c－b)sin C及正弦定理得a2=b2+(c－b)c.由余弦定理得cos A==，所以∠A=.由三角形内角平分线定理得==，所以=+，两边平方得==+·+，即=c2+c·3c·+，解得c=，则由余弦定理得a2=b2+c2－2bccos A=42+－2×4××=，所以a=.故选B． 2.(2024·江苏南通诊断测试)在△ABC中，已知∠A=60°，BC=2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：C 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得a2=b2+c2－2bccos A=b2+c2－bc，即4=b2+c2－bc，所以4=b2+c2－bc≥bc，当且仅当b=c时，等号成立.因为=，所以===(b2+c2+bc)=(4+bc+bc)≤(4+8)=3，所以||≤.故选C． 3.(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=　　　　.  答案：2 解析：如图所示：记AB=c，AC=b，BC=a， 法一：由余弦定理可得，22+b2－2×2×b×cos 60°=6，因为b>0，解得b=1+， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得， ×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°，故AD===2. 法二：由余弦定理可得，22+b2－2×2×b×cos 60°=6，因为b>0，解得b=1+，由正弦定理可得，==，解得sin B=，sin C=，因为1+>>2，所以∠C=45°，∠B=180°－60°－45°=75°，又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，即AD=AB=2. 4.(2024·河南洛阳模拟)如图，在△ABC中，BC=AC，∠BAC=，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD=DC=1，则BD的最大值是　　　　.  答案：2+ 解析：在△ABC中，设AC=x，则BC=AC=x，由∠BAC=及正弦定理得=，即=，解得sin∠ABC=.因为∠ABC∈，所以∠ABC=，则∠ACB=.在△ACD中，设∠ADC=θ，则由余弦定理可得AC2=AD2+CD2－2AD·CDcos θ，即x2=2－2cos θ，由正弦定理可得=，所以xsin∠ACD=sin θ.在△BCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2－2BC·CDcos∠BCD，即BD2=3x2+1－2xcos =3x2+1+2xsin∠ACD=3x2+1+2sin θ=3(2－2cos θ)+1+2sin θ=4sin+7≤4+7，当θ=+=时，BD取得最大值，最大值为2+. 5.(12分)(2024·江西上饶一模)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a+c=b(sin A+cos A). (1)求∠B；(5分) (2)若b=3，且△ABC的面积为，BD是△ABC的中线，求BD的长.(7分) 解：(1)因为a+c=b(sin A+cos A)， 由正弦定理可得sin A+sin C=sin B(sin A+cos A)， 即sin A+sin(A+B)=sin B(sin A+cos A)， 即sin A+sin Acos B=sin Asin B， 又因为sin A>0，所以sin B－cos B=1， 所以sin=. 又因为∠B∈(0，π)，所以∠B－∈， 所以∠B－=，所以∠B=. (2)因为S△ABC=，所以acsin B=得ac=4， 由余弦定理得：a2+c2=b2+2accos B=13. 又=(+)，所以||2=(+)2=(c2+a2+2accos B)=， 得||=，故BD的长为. 6.(12分)(2024·安徽淮南模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件(若两个都选，以第一个评分). (1)求角A的大小；(5分) (2)求BC边的中线AD长的最小值.(7分) 条件①：(a－b)(sin A+sin B)=(c－b)sin(A+B)； 条件②：=2acsin B. 解：(1)选条件①：(a－b)(sin A+sin B)=(c－b)sin(A+B)， 因为△ABC中∠A+∠B=π－∠C， 所以(a－b)(sin A+sin B)=(c－b)sin C， 由正弦定理可得(a－b)(a+b)=(c－b)c， 即b2+c2－a2=bc，cos A==， 又∠A∈(0，π)，所以∠A=. 选条件②：=2acsin B， 由余弦定理可得2bccos A=2acsin B， 即bcos A=asin B， 由正弦定理可得sin Bcos A=sin Asin B， 因为∠B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos A=sin A，即tan A=， 又∠A∈(0，π)，所以∠A=. (2)由(1)知，∠A=，△ABC的面积为2， 所以bcsin=2，解得bc=8， 由平面向量可知=， 所以= = = ==bc=6， 当且仅当b=c=2时取等号，故BC边的中线AD的最小值为. 7.(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为. (1)求角C的大小；(5分) (2)如图，若∠CAB=，角C的平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB的值.(7分) 解：(1)由题可知S△ABC=absin C=，所以=2absin C.由余弦定理a2+b2－c2=2abcos C，可知sin C=cos C，可得tan C=. 因为∠C∈(0，π)，所以∠C=. (2)不妨令AC=3，因为∠C=，所以AB=3，BC=6.又CE为∠ACB的平分线，所以AE=，BE=CE=2，得DE=2， 所以在△ACD中，由余弦定理可得AD2=CA2+CD2－2CA×CD×cos=21，即AD=. 在△BDE中，因为ED=BE=2，∠BED=， 所以△BDE为等边三角形，所以BD=2. 在△ABD中，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2－2AD×BD×cos∠ADB，则cos∠ADB=. 8.(14分)(2024·河北邯郸模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S=(a2+b2－c2)，c=2. (1)若B=，求a；(6分) (2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值. 条件①：CD为∠C的平分线；条件②：CD为边AB上的中线.(8分) 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：(1)因为S=， 由余弦定理可得a2+b2－c2=2abcos C， 所以S=·2abcos C， 由三角形的面积公式可得S=absin C， 所以·2abcos C=absin C， 所以tan C=，又∠C∈(0，π)，故∠C=. 由正弦定理得，=， 且sin A=sin=sin=sincos+cossin=， 所以=，故有a=+. (2)选择条件①： 在△ABC中，由余弦定理a2+b2－c2=2abcos C，得a2+b2－12=ab， 即=12+3ab≤12+3，故0<a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立， 又因为S△CDA+S△CDB=S△ABC， 所以CD===≤=3， 故CD的最大值为3. 选择条件②： 由题知2=+，平方得4||2=++2·=b2+a2+2abcos C=a2+b2+ab，在△ABC中，由余弦定理得a2+b2－12=ab， 即=12+3ab≤12+3， 所以(a+b)2≤48，当且仅当a=b=2时，等号成立， 故有4|CD|2=a2+b2+ab=－ab==+4≤36， 从而0<|CD|≤3，故CD的最大值为3. 9.(14分)(2024·湖北高三摸底)在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠ABD=45°，AE=EC，DE=2BE，AB=6，AD=3. (1)求AC的长；(6分) (2)求sin∠ADC的值.(8分) 解：(1)在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2－2AB·BD·cos∠ABD， 所以18=36+BD2－2×6×BD×cos 45°，化简得BD2－6BD+18=0，解得BD=3， 所以BD=AD=3，AB=6， 所以BD2+AD2=AB2，则∠ADB=90°. 又DE=2BE，则DE=2， 所以AE2=DE2+AD2=+=26， 则AE=，又AE=EC，所以AC=2. (2)由∠ADB=90°，AE=，DE=2，AD=3， 得sin∠EAD==，cos∠EAD==. 在△ACD中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠EAD=50，则CD=5. 在△ACD中，由正弦定理，得=， 则sin∠ADC==. 10.(16分)(2024·河北邯郸二模)已知条件：①2a=b+2ccos B；②2asin Acos B+bsin 2A=2acos C；③sin C=3－2cos2. 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：　　　　.  (1)求角C的大小；(6分) (2)若c=2，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值.(10分) 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 解：(1)选择条件①：2a=b+2ccos B， 在△ABC中，由余弦定理得2a=b+2c·=b+， 整理得a2+b2－c2=ab，则cos C==，又∠C∈(0，π)，所以∠C=. 选择条件②：2asin Acos B+bsin 2A=2acos C， 于是asin Acos B+bsin Acos A=acos C， 在△ABC中，由正弦定理得，sin2Acos B+sin Asin Bcos A=sin Acos C， 因为sin A≠0，则sin Acos B+sin Bcos A=cos C， 即sin=cos C， 因为∠A+∠B+∠C=π，因此sin C=cos C，即tan C=，又∠C∈(0，π)，所以∠C=. 选择条件③：sin C=3－2cos2， 在△ABC中，因为sin C=2－=2－cos C，即sin C+cos C=2， 则sin=1，又∠C∈(0，π)，即有∠C+∈，则∠C+=，所以∠C=. (2)由(1)知，∠C=，有∠ABC+∠BAC=， 而∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，即有∠ABI+∠BAI=，于是∠AIB=， 设∠ABI=θ，则∠BAI=－θ，且0<θ<， 在△ABI中，由正弦定理得， ====4， 所以BI=4sin，AI=4sin θ， 所以△ABI的周长为2+4sin+4sin θ=2+4+4sin θ =2+2cos θ+2sin θ=4sin+2， 由0<θ<，得<θ+<， 则当θ+=，即θ=时，△ABI的周长取得最大值4+2， 所以△ABI周长的最大值为4+2. 学生用书⬇第122页 学科网（北京）股份有限公司 $