第二章 培优课2 指、对、幂的大小比较（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

培优课2　指、对、幂的大小比较 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点之一，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 技法一　直接法比较大小 角度1　利用函数的单调性法比较大小 若a=1.53，b=1.52，c=0.82，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a 答案：A 解析：函数y=1.5x在R上单调递增，函数y=0.8x在R上单调递减，所以1.53>1.52>1.50=1=0.80>0.82，所以a>b>c.故选A． 角度2　利用中间值法比较大小 设a=2 02，b=log2 025，c=lo2 025，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案：D 解析：a=2 02>2 0250=1，0=log2 0251<b=log2 025<log2 0252 025=1，c=lo2 025=-log2 0262 025<0，故c<0<b<1<a.即a>b>c.故选D． 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案：C 解析：取特殊值，令a=4，b=2，c=，则ac=，bc=，所以ac>bc，故A错误；abc=4×=，bac=2×=，所以abc>bac，故B错误；logac=log4=-1，logbc=log2=-2，alogbc=-8，blogac=-2，所以alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.故选C． 学生用书⬇第44页 在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的数，从而便于比较. 对点练1.已知a=1.60.3，b=1.60.8，c=0.70.8，则(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．b>c>a D．a>b>c 答案：A 解析：y=1.6x是增函数，故a=1.60.3<b=1.60.8，而1.60.3>1>c=0.70.8，故c<a<b.故选A． 对点练2.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案：B 解析：因为y=4.2x在R上单调递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b，因为y=log4.2x在(0，+∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，所以b>a>c.故选B． 技法二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 (1)(2024·山东临沂模拟)已知a=log34，b=log45，c=log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b (2)(2024·河南郑州模拟)已知a=log63，b=log84，c=lg 5，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为a=log34=，b=log45=，c=log56=，所以a-b=-=，因为lg 3lg 5 <=<==，所以-lg 3lg 5>0，lg 3lg 4>0，所以a-b>0，即a>b，同理可证b>c，故a>b>c.故选A． (2)由题意得，a=log63=log6=1-log62=1-，b=log84=log8=1-log82=1-，c=lg 5=lg=1-lg 2=1-，因为函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，则>>，所以a<b<c.故选D． 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 对点练3.已知a=2100，b=365，c=930，则a，b，c的大小关系是(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案：B 解析：c=930=360，a=2100⇒lg a=lg 2100=100lg 2≈30.1，b=365⇒lg b=lg 365=65lg 3≈31.011 5，c=930⇒lg c=lg 360=60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.故选B． 技法三　构造函数法比较大小 (1)已知a=e，b=3log3e，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c (2)(2024·湖南郴州质量检测)设=log2a，2b=lob，=5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．b<c<a 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)设f(x)=，x≥e，则f'(x)=≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，+∞)上单调递增，又a=f，b=3log3e==f(3)，c==f(5)，因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c.故选D． (2)构造函数f(x)=log2x-，因为函数y=log2x，y=-在(0，+∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，且f(1)=-<0，f(2)=>0，因为f(a)=0，由零点存在定理可知1<a<2；构造函数g(x)=2x-lox，因为函数y=2x，y=-lox在(0，+∞)上均为增函数，所以函数g(x)为(0，+∞)上的增函数，且g=-2<0，g=-1>0，因为g(b)=0，由零点存在定理可知<b<.因为=5，则c=lo5<lo1=0，因此c<b<a.故选B． 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 对点练4.(1)设x，y，z为正实数，且log2x=log3y=log5z>1，则的大小关系是(　　) A．<< B．<< C．<< D．== (2)(2024·江西南昌模拟)设a=e1.3-2，b=4-4，c=2ln 1.1，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由x，y，z为正实数，设log2x=log3y=log5z=k>1，可得x=2k>2，y=3k>3，z=5k>5.所以=2k-1>1，=3k-1>1，=5k-1>1，令f(x)=xk-1，因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(2)<f(3)<f(5)，即<<.故选B． (2)因为=e2.6<e3<33，=28>33，所以e1.3<2，所以a<0；b-c=4-4-2ln 1.1=2(2-2-ln 1.1)，令f(x)=2-2-ln x，所以f'(x)=-=，所以当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，所以f(1.1)>0，即2-2-ln 1.1>0，所以c<b，又c=2ln 1.1>2ln 1=0，所以a<c<b.故选B． 课时测评14　指、对、幂的大小比较 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1.设a=0.81.1，b=0.80.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．b<a<c 答案：C 解析：因为函数y=0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a<b<1，又c=1.10.8>1，所以a<b<c.故选C． 2.(2025·湖北武汉四调)记a=30.2，b=0.3-0.2，c=log0.20.3，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 答案：D 解析：因为b=0.3-0.2=，幂函数y=x0.2在上单调递增，又>3，所以>30.2>30=1，所以b>a>1，又对数函数y=log0.2x在上单调递减，所以c=log0.20.3<log0.20.2=1，故b>a>1>c.故选D． 3.(2025·贵州贵阳模拟)已知>>1，a=nn，b=nm，c=mn，则a，b，c的大小关系正确的为(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c 答案：B 解析：由题意>>1，故0<m<n<1，由指数函数的单调性，y=nx单调递减，故b>a，由幂函数的单调性，y=xn在(0，+∞)上单调递增，故a>c，综上，b>a>c.故选B． 4.(2024·山东济宁联考)若a=log382，b=log215，c=0.2-1.1，则(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a 答案：A 解析：因为5=log335>a=log382>log381=4=log216>b=log215，c=0.2-1.1=51.1>5，所以b<a<c.故选A． 5.设a=log0.30.2，b=log32，c=log3020，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 答案：B 解析：a=log0.30.2>log0.30.3=1，b=log32<log33=1，c=log3020<log3030=1，所以a>b，a>c，b-c=log32-log3020=-=<0，所以c>b，所以b<c<a.故选B． 6.(2024·山东潍坊模拟)若3x=4y=10，z=logxy，则(　　) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 答案：A 解析：因为3x=4y=10，所以x=log310>log39=2，1=log44<y=log410<log416=2，则1<y<2，所以x>y>1，而z=logxy<logxx=1，所以x>y>z.故选A． 7.设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 答案：A 解析：令2x=3y=5z=k(k>1)，则x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以=·=>1，则2x>3y，=·=<1，则2x<5z，所以3y<2x<5z.故选A． 8.(多选)(2025·河南名校模拟)已知正数x，y满足x>y，则下列选项正确的是(　　) A．log2(x2+1)>log2(y2+1) B．cos x>cos y C．(x+1)3>(y+1)3 D．e-x+1>e-y+1 答案：AC 解析：对于A，因为x>y>0，所以x2+1>y2+1>0，又y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以log2(x2+1)>log2(y2+1)，故A正确；对于B，不妨取x=，y=，则cos =0<cos =，故B错误；对于C，因为x>y>0，所以x+1>y+1>1，所以(x+1)3>(y+1)3，故C正确；对于D，因为x>y>0，所以-x+1<-y+1，又y=ex在R上单调递增，所以e-x+1<e-y+1，故D错误.故选AC． 9.(2024·河北唐山模拟)已知log4m=，log12n=，0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 答案：A 解析：由log4m=，得m==<2，由log12n=，得n=1== == ==>1，因此2>m>n；由0.9p=0.8，得p=log0.90.8>log0.90.81=2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.故选A． 10.已知a=，b=，c=4，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 答案：D 解析：先比较a和c的大小：==π2，===，因为<=2<π，所以<π2，所以a>c.然后比较b和c的大小：因为b2==2π<24=42=c2，所以b<c，综上，b<c<a.故选D． 11.(多选)(2024·山东聊城模拟)已知0<a<b<1，c>1，则(　　) A．ac>bc B．logac>logbc C．alogac>blogbc D．ac>ba 答案：BC 解析：对于A，因为c>1，所以y=xc在(0，+∞)上单调递增，所以ac<bc，故A错误；对于B，由c>1可知函数y=logcx单调递增，又0<a<b<1，故logca<logcb<0，所以>，即logac>logbc，故B正确；对于C，由题可知0>logac>logbc，0<-logac<-logbc，0<a<b<1，故-alogac<-blogbc，即alogac>blogbc，故C正确；对于D，函数y=ax单调递减，y=xa单调递增，0<a<b<1<c，故ac<aa<ba，故D错误.故选BC． 12.已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，则a，b，c从小到大的关系是　　　　.  答案：a<c<b 解析：由2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，可得2a=-a+k，log2b=-b+k，log3c=-c+k，且k<1，分别作出函数y=2x，y=log2x，y=log3x和y=-x+k的图象，如图， 由图可知：a<c<b. (每小题8分，共16分) 13.已知a=log32，b=log64，c=log96，则(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．a>c>b 答案：B 解析：当a>b>0，m>0时，有a-b>0，则-==>0，所以<.所以<=<=，所以log32<log64<log96，即c>b>a.故选B． 14.(多选)(2024·江西萍乡二模)已知2a=5b=10，则下列关系正确的是(　　) A．ea-b>1 B．a+b<ab C．a+4b<9 D．+>8 答案：AD 解析：因为2a=5b=10，所以a=log210=，b=log510=，对于A，a-b=-=>0，所以ea-b>e0=1，故A正确；对于B，a+b-ab=+-·===0，所以a+b=ab，故B不正确；对于C，因为a，b>0，+=lg 2+lg 5=1，所以a+4b==++5≥2+5=9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a+4b>9，故C不正确；对于D，+=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-lg 2+2)2=2lg 22-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8，故D正确.故选AD． (每小题12分，共24分) 15.已知a=22.1，b=2.12，c=ln 2.14，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 答案：C 解析：构造函数f(x)=x2，g(x)=2x，如图所示，当x∈(2，4)时，x2>2x，所以f(2.1)>g(2.1)， 所以2.12>22.1>22=4，即b>a，又因为ln 2.14=4ln 2.1，且函数y=ln x在(0，+∞)上单调递增，所以ln 2.1<ln e=1，即ln 2.14=4ln 2.1<4ln e=4，故b>a>c.故选C． 16.(2025·山东青岛模拟)已知正数a，b，c满足aea=bln b=ecln c=1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b 答案：D 解析：由aea=bln b=ecln c=1，得ea-=ln b-=ln c-=0，令函数f(x)=ex-，x>0，显然函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，而f=-2<0，f(1)=e-1>0，f(a)=0，则<a<1；令函数g(x)=ln x-，函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(2)=ln 2->0，而g=ln -<ln -=-<0， g(b)=0，则<b<2；令h(x)=ln x-，函数h(x)在(0，+∞)上单调递增，而h(1)=-<0，h=ln ->ln -=ln ->ln e-=0，h(c)=0，则1<c<，所以a，b，c的大小关系为a<c<b.故选D． 学生用书⬇第45页 学科网（北京）股份有限公司 $