2.10 指、对、幂的大小比较（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

2．10　指、对、幂的大小比较 [题型解读]　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 题型一　直接法比较大小 角度1　利用函数的性质 【例1】　设a＝，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 解析：选C.因为函数y＝为增函数， 所以，即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b<c，故c>b>a. 思维升华　题中出现同底数、同指数的幂值，同底数、同真数的对数比较大小时，可以构造函数，利用函数的单调性比较大小．一般地，如下几种情况： (1)底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； (2)指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小． 角度2　找中间值 【例2】　设a＝5-0.7，b＝，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 解析：选D.结合函数y＝5x，y＝，y＝lg x的图象易知0<a＝5-0.7<50＝1，b＝＝1，c＝lg <lg 1＝0，所以b>a>c. 思维升华　利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 角度3　特殊值法 【例3】　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　 ) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 解析：选C.取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，∴ac>bc，故A错误； abc＝，∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华　此类比较大小的题目，以参数范围的形式给出，可以考虑用特殊值验证． 【对点练习】　1.(1)(2024·山东临沂二模)若实数a，b，c 满足a＝2sin ，b3＝7，3c＝10，则(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c 解析：选A.因为a＝2sin <2sin ＝1， 又b3＝7，则b＝，且1<<＝2，即1<b<2， 因为3c＝10，所以c＝log310>log39＝2， 所以c>b>a. (2)(2024·江西上饶模拟)设 ＝2，b＝，则有(　　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：选B.由a＝2，得a＝＝log23>log22<，而c>0，所以a<c<b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 角度1　作差法 【例4】　(2024·宿州模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则(　　 ) A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>0 解析：选B.由3m＝4，得m＝log34， ∵log23－log34＝>>0， ∴log23>log34， log34－log45＝>>0， ∴log34>log45， ∴b＝4m－5＝－5>－5＝0， a＝2m－3＝－3<－3＝0， ∴b>0>a. 角度2　作商法 【例5】　已知a＝0.8-0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 解析：选B.由<<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8-0.4，∴b<c<a. 角度3　指对转换 【例6】　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　 ) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 解析：选A.法一(中间值法)　令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝， 所以3y＝. 因为>>， 所以lg >lg >lg >0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法二(特值法)　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z. 思维升华　本例可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁、明了；关键根据对数换底公式，将x，y，z写成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比较，也可借助中间值比较大小．当然解题时也可直接取一个固定的k值． 角度4　构造函数法比较大小 【例7】　(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选D.设f(x)＝，x≥e，则f′(x)＝≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，又a＝f(e)，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)，因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c. (2)已知a＝，b＝2 025，则a，b的大小关系为________． 解析：构建函数f(x)＝x ln (x>0)， 则f′(x)＝ln ， 令g(x)＝ln (x>0)， 则g′(x)＝－<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 025)>f(2 024)，即a<b. 答案：a<b 思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 【对点练习】　2.(1) 已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 解析：选D.因为53＝＝81，所以， 所以，即a>c. 因为73＝3＝625，所以， 所以，即b<c.所以a>c>b. (2)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 解析：选B.因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (3)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则的大小关系不可能是(　　 ) A．<< B．<< C． D．<< 解析：选B.法一　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知，此时选项C正确． 取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确． 取x＝ ，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，此时易知<<，此时选项D正确． 综上，利用排除法可知本题应选B. 法二　设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以＝5k-1. 又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论． 若k＝1，则＝1，所以，所以选项C有可能正确． 若0<k<1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1>3k-1>5k-1，所以<<，所以选项D有可能正确． 若k>1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1<3k-1<5k-1，所以<<，所以选项A有可能正确． 综上，利用排除法可知选B. (4)已知a＝1010，b＝911，c＝119，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 解析：选A.令f(x)＝(20－x)ln x(x≥9)，则f′(x)＝－ln x＋(20－x)·＝－ln x＋－1，显然当x≥9时，f′(x)单调递减且f′(9)＝－ln 9＋－1＜0，故f(x)在[9，＋∞)上单调递减，f(9)＞f(10)＞f(11)，即11ln 9＞10ln 10＞9ln 11，即，可得911＞1010＞119，即c＜a＜b. 特殊对数值秒解比较大小 熟记以下数：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln π≈1.14，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8，ln 7≈1.95，当题目出现与之有关的式子时，可通过其对应的值或者对数运算法则进行大小比较． 【典例】　(2024·浙江宁波模拟)已知a＝＋ln 2，b＝，则(　　 ) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 解析：选B.法一(构造函数法)　设f(x)＝ln (1＋x)－x(x>0)，则f′(x)＝<0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)<f(0)＝0， 即ln (1＋x)<x(x>0)， 所以ln <，即ln <， 所以2ln 2<＋ln 3，即ln 2<，所以＋ln 2<，即a<b. 由25<32，可得ln 25<ln 32，即2ln 5<5ln 2，即<ln 2， 所以<＋ln 2，即c<a. 综上所述，b>a>c. 法二(特殊对数值法)　因为a＝＋ln 2≈0.5＋0.7＝1.2，b＝≈0.67＋0.55＝1.22，c＝≈0.5＋＝1.14，所以b>a>c. 思维升华　通过两种方法的比较可看出，利用构造函数的方法比较麻烦，如果熟记几个特殊对数值能达到妙解的效果． 【对点练习】　若a＝ln 2，b＝2ln (ln 2)，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选D.法一(构造函数法)　∵a＝2ln ＝2ln ，b＝2ln (ln 2)，c＝， 而函数f(x)＝2ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，∴a<b<c. 法二(特殊对数值法)　因为a＝ln (ln 3－ln π)2≈ln (1.1－1.14)2＝ln (0.04)2，b＝ln (ln 2)2≈ln (0.7)2，所以a＜b＜0，因为c＝ln 2>0，所以a＜b＜c. 学科网（北京）股份有限公司 $