第二章 第三节 函数的奇偶性、周期性（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，涵盖定义、几何意义、性质应用等高考要求，按“概念梳理-判断方法-综合应用”逻辑架构知识，通过考点分角度讲解、真题演练、分层练习等环节，帮助学生构建知识网络，突破奇偶性判断、周期性应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“方法归类+素养导向”教学策略，如用定义法结合定义域分析奇偶性，通过周期性关系式推导培养数学思维，设置基础检测、能力提升分层练习。真题与教材习题对比强化实战，助力学生高效掌握高考题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第三节　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 对一切使F(x)有定义的x，F(-x)也有定义，并且 F(-x)=F(x) 关于y轴对称 奇函数 F(-x)=-F(x) 关于原点对称 [微提醒]　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期. 【常用结论】 (1)函数奇偶性常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. (2)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0). ②若f(x+a)=，则T=2a(a>0). ③若f(x+a)=-，则T=2a(a>0). 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0 B．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数 D．若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N+)也是函数的一个周期 答案：ABC 2.(用结论)若偶函数f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) 学生用书⬇第24页 A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 解析：偶函数f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).对照选项，A正确. 3.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)=x+ B．f(x)= C．y=|ln x| D．y=2|x| 答案：BD 解析：A选项，f(x)为奇函数，C选项，f(x)的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数.故选BD． 4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是(　　) A．-　 B． C．　 D．- 答案：B 解析：因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，所以a-1+2a=0，所以a=.又f(-x)=f(x)，所以b=0，所以a+b=.故选B． 5.已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(-1)=2f(10)+3，则f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=　　　　.  答案：0 解析：由题意知f(0)=0，f(10)=f(3×3+1)=f(1)，又f(-1)=2f(10)+3，且f(-1)=-f(1)，所以f(-1)=2f(1)+3，所以-3f(1)=3，即f(1)=-1.所以f(2 024)=f(675×3-1)=f(-1)=1，f(2 025)=f(675×3)=f(0)=0，f(2 026)=f(675×3+1)=f(1)=-1，所以f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=1+0-1=0. 考点一　函数奇偶性的判断自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)= B．f(x)= C．f(x)= D．f(x)= 答案：B 解析：对于A，f=，函数定义域为R，但f=，f=，则f≠f，故A错误；对于B，f=，函数定义域为R，且f===f，则f为偶函数，故B正确；对于C，f=，函数定义域为，不关于原点对称，则f不是偶函数，故C错误；对于D，f=，函数定义域为R，因为f=，f=，则f≠f，则f不是偶函数，故D错误.故选B． 2.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)=tan x B．f(x)=x2+x C．f(x)= D．f(x)=ln |1+x| 答案：AC 解析：对于A，函数的定义域为，关于原点对称，f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=x2-x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)==-f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC． 3.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x3-； (2)f(x)=； (3)f(x)=+； (4)f(x)= 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(-x)=(-x)3-=-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数. (2)由得-2<x<2，即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2}，关于原点对称. 因此f(x)==lg， 所以f(-x)=f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)法一：(定义法)当x>0时，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x)；当x<0时，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x)，所以f(x)为奇函数. 法二：(图象法)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 判断函数奇偶性的三种常用方法 1.定义法 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 考点二　函数奇偶性的应用多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数 (1)(2025·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数f=ln+ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A．- B．0 C． D．1 (2)(2024·河南开封第二次质量检测)若函数f(x)=是奇函数，则实数a=(　　) A．0 B．-1 C．1 D．±1 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)法一(赋值)：因为函数f=ln(ex+1)+ax为偶函数，所以f=f(1)，所以ln(e-1+1)+(-1)a=ln+a，所以2a=ln(e-1+1)-ln(e1+1)，解得a=-.故选A． 法二(通法)：f=ln+ax的定义域为R，f=ln-ax=ln-ax=ln(ex+1)-x-ax，由于f=ln+ax为偶函数，故f=f，即ln-x=ln+ax⇒x=0，故1+2a=0，解得a=-.故选A． 法三(利用已知函数奇偶性的结论)：由f=ln(ex+1)+ax得，f=ln+ln eax=ln[eax]=ln，已知函数y=ex+e-x是偶函数，所以(a+1)+a=0，解得a=-.故选A． (2)当x>0时，-x<0，则f=a2-1=-x-a=-f，则解得a=1，此时f=当x<0时，-x>0，所以f=-x+1=-=-f，符合题意.所以a=1.故选C． 学生用书⬇第25页 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)(2024·河北保定模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+ax+a+1，则f(-2)等于(　　) A．-2 B．2 C．-6 D．6 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=e-x+2x-1，则当x≥0时，f(x)=　　　　　　.  答案：(1)A　(2)-ex+2x+1 解析：(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)=a+1=0，解得a=-1，当x≥0时，f(x)=x2-x，则f(-2)=-f(2)=-2.故选A． (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时，f(0)=0.当x>0时，-x<0，f(x)=-f(-x)=-(ex-2x-1)=-ex+2x+1，又f(0)=-e0+2×0+1=0，则当x≥0时，f(x)=-ex+2x+1. 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)=1，则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是(　　) A．[-2，2] B．[-1，3] C．[0，2] D．[1，3] (2)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x-2)<0的x的取值范围为 (　　 ) A．(-∞，-1)∪(2，5) B．(-∞，-1)∪(0，5) C．(-1，0)∪(2，5) D．(-1，0)∪(5，+∞) 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为f(x)是奇函数，故f(-2)=-f(2)=-1.又f(x)是增函数，-1≤f(x-1)≤1，所以f(-2)≤f(x-1)≤f(2)，则-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，所以x的取值范围是[-1，3].故选B． (2)因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，所以f(x)在(-∞，0)上也单调递增，且f(-3)=0，f(0)=0，所以当x∈(-∞，-3)∪(0，3)时，f(x)<0，当x∈(-3，0)∪(3，+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x-2)<0，可得或解得-1<x<0或2<x<5，即x∈(-1，0)∪(2，5).故选C． 函数奇偶性的应用类型及解题策略 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f=ln为偶函数，则a=(　　) A．-1 B．0 C． D．1 (2)(2025·山东青岛模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x-2，则不等式f(x)≤2的解集是　　　　.  答案：(1)B　(2)[-2，2] 解析：(1)法一：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，所以(1+a)ln =(-1+a)ln 3，解得a=0，当a=0时，f=xln ，由>0，解得x>或x<-，则其定义域为，或，关于原点对称.f=ln =ln =ln =xln =f，故此时f为偶函数.故选B． 法二：因为y=ln 是奇函数，又f为偶函数，所以函数y=x+a是奇函数，所以a=0.故选B． (2)因为当x≥0时，f(x)=2x-2，所以偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=2，所以f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，所以|x|≤2，解得-2≤x≤2. 考点三　函数的周期性师生共研 (1)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13，且f(3)=2，则f(2 025)=　　　　.  (2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)+f(x+1)=f(2)，则f(2 024)=　　　　.  (3)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　　.  答案：(1)　(2)0　(3)f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4] 解析：(1)因为f(x)f(x+2)=13，所以f(x+2)=，所以f(x+4)===f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)==. (2)因为f(x+3)+f(x+1)=f(2)，代入x-2，得f(x+1)+f(x-1)=f(2).两式相减得，f(x+3)=f(x-1)，即f(x+4)=f(x)，所以4为函数f(x)的周期.因此f(2 024)=f(4×506)=f(0)，在f(x+3)+f(x+1)=f(2)中，令x=-1，则f(2)+f(0)=f(2)，所以f(0)=0，即f(2 024)=0. (3)根据题意，设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，则有4-x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x)，又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]，则有f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4]. 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 对点练2.(1)(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-2，则(　　) A．f(2 027)=0 B．f(x)的值域为[-1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[-6，6]上有8个零点 (2)(2024·山东枣庄模拟)设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=其中m∈R.若f=f，则m=　　　　.  答案：(1)AB　(2)1 解析：(1)f(2 027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=0，故A正确；当x∈[0，2]时，f(x)=2x-2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[-1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[-1，2]，故B正确；当x∈[0，2]时，f(x)=2x-2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，故C错误；令f(x)=2x-2=0，所以x=1，所以f(1)=f(-1)=0，由于函数的周期为4，所以f(5)=f(-5)=0，f(3)=f(-3)=0，所以f(x)在[-6，6]上有6个零点，故D错误.故选AB． (2)因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=所以f=f=+2×+m=-+m，f==，所以=-+m⇒m=1. 学生用书⬇第26页 [真题再现]　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a= (　　 ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 (2)(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.  答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为f(x)=为偶函数，则f(x)-f(-x)=-==0，又因为x不恒为 0，可得ex-e(a-1)x=0，即ex=e(a-1)x，则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.故选D． (2)因为f(x)=(x-1)2+ax+sin=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x，且函数为偶函数，所以a-2=0，解得a=2.经验证，当a=2时满足题意. [教材呈现]　1.(湘教版必修一P90T9)已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3，求a，b，c的值. 2.(湘教版必修一P90T10)已知函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，求a的值. 点评：高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法. 课时测评8　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的函数是(　　) A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=-x2+1 D．y=2-|x| 答案：B 解析：y=|x|+1是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，符合题意.故选B． 2.已知定义域为[a-4，2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2，则f(a)+f(b)=(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 答案：A 解析：依题意得a-4+2a-2=0，解得a=2，由f(0)=b+2=0，得b=-2，所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故选A． 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)是增函数，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(-3)>f(-2) B．f(π)>f(-2)>f(-3) C．f(π)<f(-3)<f(-2) D．f(π)<f(-2)<f(-3) 答案：A 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(-3)>f(-2).故选A． 4.(2024·广西南宁模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)-f(x)=f(1)，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=(　　) A．0 B．6 C．8 D．16 答案：C 解析：因为f(x)为偶函数，f(x+2)-f(x)=f(1)，所以f(-1+2)-f(-1)=f(1)，解得f(1)=0，所以f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)=f(0)=8，f(99)=f(1)=0，故f(99)+f(100)=8.故选C． 5.(多选)已知f(x)=cos 2 025x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为(　　) A．g(x)=lg B．g(x)=3x-3-x C．g(x)=+ D．g(x)=ln 答案：BD 解析：因为f(x)=cos 2 025x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即g(-x)=-g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域为(-1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(-x)=+=+=-≠-g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(-x)=ln，而g(-x)+g(x)=ln+ln=0，符合题意.故选BD． 6.(多选)(2024·广东湛江检测)已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|≥2 B．当x<0时，f(x)=-x2-2x-3 C．x=1是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)在(-∞，-1)上单调递增 答案：ABD 解析：当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+2x+3=-f(x)， 所以f(x)=-x2-2x-3， 所以f(x)= 作出f(x)的图象如图所示.由图可知f(x)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)=-x2-2x-3，故B正确；由图象可知x=1显然不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(-∞，-1)上单调递增，故D正确.故选ABD． 7.(2025·河南郑州名校联考)函数f=-log2是偶函数，则a的值为　　　　.  答案： 解析：法一：因为f是偶函数，所以f-f(-x)=8ax-log2=x=0，所以a=. 法二：由f=-log2，得f=4x2+a2-1+4ax-log2，设g=4x2+a2-1，h(x)=4ax-log2，易知g是偶函数，当h(x)=4ax-log2(23x+1)是偶函数时，函数f才能是偶函数，所以h(x)=log224ax-log2=log2=log2是偶函数，所以(3-4a)+(-4a)=0，解得a=. 8.(2024·广东潮州模拟)已知函数f(x)=ln+m+1(其中e是自然对数的底数，e=2.718…)是奇函数，则实数m的值为　　　　.  答案：-1 解析：对于函数f(x)=ln+m+1，>0，解得x<-1或x>1，所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，因为函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，即ln+ln+2m+2=ln+ln+2m+2=2m+2=0，解得m=-1. 9.若函数f(x)=ex-e-x，则不等式f(ln x)+f(ln x-1)>0的解集是　　　　.  答案： 解析：因为f(x)=ex-e-x，定义域为R，且f(-x)=-=-f(x)，故其为奇函数，又y=ex，y=-e-x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)>f(1-ln x)，也即ln x>1-ln x，整理得ln x>，解得x>，故不等式的解集为. 10.(13分)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值；(6分) (2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围.(7分) 解：(1)设x<0，则-x>0， 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx， 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 11.(14分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(3分) (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(5分) (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026).(6分) 解：(1)证明：因为f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2， 所以f(x)=x2+2x. 又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]， 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0， f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0， f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=f(0)+f(1)+f(2)=1， 所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026)=1. (每小题6分，共12分) 12.(2024·安徽马鞍山模拟)函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+2ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 答案：B 解析：由题意可得解得f(x)=，因为f(x)=≥=，当且仅当ex=5e-x，即x=ln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B． 13.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x+2)=-f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=log2(2-x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 024)=1 C．当x∈[2，3]时，f(x)=-log2(4-x) D．函数f(x)在[0，2 023]内有1 011个零点 答案：ABC 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函数的一个周期为4，故A正确；f(2 024)=f(4×506+0)=f(0)=1，故B正确；当x∈[2，3]时，x-2∈[0，1]，则f(x)=-f(x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x)，故C正确；易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 021)=f(2 023)=0，于是函数f(x)在[0，2 023]内有1 012个零点，故D错误.故选ABC． (每小题8分，共16分) 14.(多选)(2024·河北廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)=2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)=-1 答案：ABD 解析：因为∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，取x=1，y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，又f(1)=1，所以f(0)=2，故A正确；取x=0，y=x可得f(x)+f(-x)=f(0)f(x)，因为f(0)=2，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，B正确；取x=1，y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，又f(1)=1，f(0)=2，所以f(2)=-1，故D正确.故选ABD． 15.(新考法)已知函数f(x)=在区间[-3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为　　　　.  答案：2 解析：f(x)===+1，令g(x)=f(x)-1=，则g(-x)=-=-g(x)，所以函数g(x)在[-3，3]上为奇函数，则g(x)max+g(x)min=0，即M-1+N-1=0，所以M+N=2. 学科网（北京）股份有限公司 $