第一章 第五节 一元二次函数、方程和不等式（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第五节　一元二次函数、方程和不等式 【课程标准】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=- 没有 实根 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} 且 R 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [微提醒]　对于不等式ax2+bx+c>0，求解时不要忘记a=0时的情形. 【常用结论】 (1)分式不等式的解法 ①>0(<0)⇔f(x)·g>0(<0). ②≥0⇔ (2)绝对值不等式的解法 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)；|x|<a(a>0)的解集为(-a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是 (　　) A．若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R C．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0 D．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集 答案：AD 2.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A．{x|x<-n或x>m} B．{x|-n<x<m} C．{x|x<-m或x>n} D．{x|-m<x<n} 答案：B 解析：(m-x)(n+x)>0⇒(x-m)(x+n)<0，又因为m+n>0，所以m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}.故选B． 3.不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　　　　　.  答案：(-∞，-1]∪ 解析：由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，得x≤-1或x≥，故不等式的解集为(-∞，-1]∪. 4.(易错题)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为　　　　　.  答案：(-3，0] 解析：当k=0时，满足题意；当k≠0时，解得-3<k<0，所以-3<k≤0，即实数k的取值范围为(-3，0]. 5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：{a|a≥0} 解析：当a=0时，不等式为3>0，满足题意；当a≠0时，需满足解得a>0，综上可得，实数a的取值范围为{a|a≥0}. 学生用书⬇第15页 考点一　一元二次不等式的解法多维探究 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)-3x2-2x+8≥0； (2)0<x2-x-2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0， 即(3x-4)(x+2)≤0，解得-2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. 解一元二次不等式的4个步骤 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解：原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. 因为a>0，所以a(x-1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当a=1时，不等式无解； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时， 不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为⌀； 当a>1时，不等式的解集为. 对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论： 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类. 2.根据判别式Δ与0的关系进行分类. 3.当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 对点练1.解下列关于x的不等式： (1)x-3>-2； (2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0)； (3)>1. 解：(1)由不等式x-3>-2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集为{x|x>4或0≤x<1}. (2)原不等式转化为(x-a)(x-a2)<0.当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}；当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a2=a，即a=1时，不等式的解集为⌀. (3)>1⇒-1>0⇒>0⇒<0⇒-1<x<0，故不等式的解集为(-1，0). 考点二　三个“二次”的关系师生共研 (多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，则 (　　) A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．b<0且c>0 C．a+b+c>0 D．不等式ax2-cx+b<0的解集是R 答案：AB 解析：由题意知a<0，所以A正确；由题意可得-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以所以得b<0，c>0，所以B正确；因为-1是方程ax2-bx+c=0的根，所以把x=-1代入方程得a+b+c=0，所以C不正确；把b=a，c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0，可得ax2+2ax+a<0，因为a<0，所以x2+2x+1>0，即(x+1)2>0，此时不等式的解集为{x|x≠-1}，所以D不正确.故选AB． 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 学生用书⬇第16页 对点练2.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是，则不等式ax2-bx+c>0的解集为　　　　.  答案： 解析：由条件知-2，-是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，所以-2-=-×=，所以b=a，c=a.从而不等式ax2-bx+c>0，即为a>0.因为a<0，所以原不等式等价于2x2-5x+2<0，即(x-2)(2x-1)<0，解得<x<2.所以不等式的解集为. 考点三　一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是 (　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(-∞，0)∪(1，+∞) D．(-∞，0]∪[1，+∞) 答案：A 解析：当k=0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上实数k的取值范围是[0，1].故选A． 角度2　在给定区间上的恒成立问题 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5-m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.  答案： 解析：要使f(x)<5-m在x∈[1，3]上恒成立，即m+m-6<0在x∈[1，3]上恒成立. 法一：令g=m+m-6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g=g(3)，即7m-6<0，所以m<，所以0<m<；当m=0时，-6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g=g(1)，即m-6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，实数m的取值范围是. 法二：因为x2-x+1=+>0，m(x2-x+1)-6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立.令y=，因为函数y==在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可.所以实数m的取值范围是. 角度3　在给定参数范围内的恒成立问题 若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 (　　) A．[-1，3] B．(-∞，-1] C．[3，+∞) D．(-∞，-1)∪(3，+∞) 答案：D 解析：不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)， 可得解得x<-1或x>3.故选D． 恒成立问题求参数范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论. 对点练3.(1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|a<-2或a≥2} B．{a|-2<a<2} C．{a|-2<a≤2} D．{a|a<2} (2)已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为⌀，所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R.当a-2=0，即a=2时，-4<0，符合题意；当a-2≠0，即a≠2时，需满足解得-2<a<2.综上实数a的取值范围是{a|-2<a≤2}.故选C． (2)由题意得x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).因为f(x)<1在区间(m-1，-2m)上恒成立，所以(m-1，-2m)⊆(-1，5)，所以解得0≤m<，即m∈. [真题再现]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N=，则M∩N= (　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：法一：因为N==∪，而M=，所以M∩N=.故选C． 法二：因为M=，将-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N=.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P61T5)已知U=R，A={x|x2-16<0}，B={x|-x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法和集合交并运算，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系或因式分解法转化集合，再求集合交并运算进行问题解决. 课时测评5　一元二次函数、方程和不等式 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-10，每小题5分，共50分) 1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为 (　　) A．(-∞，0)∪ B． C． D． 答案：A 解析：由题意得x≠0，当x>0时，原不等式即为x(1-2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为-x(1-2x)>0，所以x<0.综上，原不等式的解集为(-∞，0)∪.故选A． 2.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为 (　　) A． B． C．{x|-2<x<1} D．{x|x<-2或x>1} 答案：A 解析：因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，所以ax2+bx+2=0的两根为-1，2，且a<0，即-1+2=-×2=，解得a=-1，b=1，则不等式可化为2x2+x-1<0，解得-1<x<，则不等式2x2+bx+a<0的解集为.故选A． 3.已知命题p： “∀x∈R，(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”为真命题，则实数a的取值范围是 (　　) A．-1<a<2 B．a≥1 C．a<-1 D．-1≤a<2 答案：D 解析：当a=-1时，3>0成立；当a≠-1时，需满足解得-1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为-1≤a<2.故选D． 4.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1，2)，解关于x的不等式ax2-bx+c>0”，给出如下一种解法.解：由ax2+bx+c>0的解集为(-1，2)，得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2，1)，即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2，1).参考上述解法，若关于x的不等式+<0的解集为∪，则关于x的不等式+<0的解集为 (　　) A．(-2，1)∪(1，3) B．(-3，-1)∪(1，2) C．(-3，-2)∪(-1，1) D．(-2，-1)∪(1，2) 答案：B 解析：若关于x的不等式+<0的解集为∪，则关于x的不等式+<0可看成是前者不等式中的x用代替得到的，所以∈∪，则x∈(-3，-1)∪(1，2).故选B． 5.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确的有(　　) A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4} C．不等式cx2-bx+a<0的解集为 D．a+b+c>0 答案：AD 解析：由不等式的解集为{x|x≤3或x≥4}可知a>0且所以对于A，由上可知，故A正确；对于B，bx+c=-7ax+12a>0，又a>0，所以x<，故B错误；对于C，cx2-bx+a =12ax2 + 7ax+a<0，又a>0，即12x2+7x+1<0，解得-<x<-，故C错误；对于D，a+b+c=a-7a+12a=6a>0，故D正确.故选AD． 6.(多选)关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为 (　　) A．- B．1 C．-1 D．-2 答案：AC 解析：由题意知a<0，则排除B；对于A，当a=-时，>0，即(x+2)(x-2)<0，解得-2<x<2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a=-1时，(-x-1)(x-3)>0，即(x+1)(x-3)<0，解得-1<x<3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a=-2时，(-2x-1)(x-5)>0，即(2x+1)(x-5)<0，解得-<x<5，解集中有5个整数，不符合题意.故选AC． 7.不等式>x的解集是　　　　　　　.  答案：(-∞，-1)∪(1，5) 解析：不等式>x化为以下两个不等式组或解即解得x<-1，解即解得1<x<5，所以原不等式的解集是(-∞，-1)∪(1，5). 8.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为　　　　.  答案：-4 解析：因为当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，所以a≥-恒成立，又当x∈[1，3]时，x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，所以-≤-4，所以a≥-4，故a的最小值为-4. 9.若a<0，则关于x的不等式组的解集为　　　　.  答案：(a，-a) 解析：因为a<0，所以由ax-a2=a(x-a)<0，得x>a.由x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)<0，得2a<x<-a.所以原不等式组的解集为(a，-a). 10.(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，则实数c的值为　　　　.  答案：9 解析：因为函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，所以f(x)=x2+ax+b=0只有一个根，即Δ=a2-4b=0，则b=，不等式f(x)<c的解集为(m，m+6)，即x2+ax+<c的解集为(m，m+6)，则x2+ax+-c=0的两个根为m，m+6，所以|m+6-m|===6，解得c=9. 11.(12分)已知集合：①A=；②A={x|x2-2x-3<0}；③A={x||x-1|<2}，集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题： (1)定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，当m=0时，求A-B；(5分) (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围.(7分) 解：(1)选①： 由>1，可得>0，即(x-3)(x+1)<0， 解得-1<x<3， 故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0， 即x(x-1)<0，解得0<x<1， 故B=(0，1)，则A-B=(-1，0]∪[1，3). 选②： x2-2x-3<0，解得-1<x<3， 故A=(-1，3)， 由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0， 解得0<x<1，故B=(0，1)， 则A-B=(-1，0]∪[1，3). 选③： |x-1|<2，-2<x-1<2，解得-1<x<3， 故A=(-1，3)， 由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0， 解得0<x<1， 故B=(0，1)， 则A-B=(-1，0]∪[1，3). (2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A=(-1，3). 由x2-(2m+1)x+m2+m<0， 即(x-m)[x-(m+1)]<0， 解得B=(m，m+1)， 因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⫋A， 所以或 解得-1≤m≤2，故实数m的取值范围为[-1，2]. 12.(6分)已知函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若关于x的不等式f≤4的解集为∪，则不等式f>2x2的解集为 (　　) A．(-∞，-2)∪(2，+∞) B．(-2，2) C．(-∞，-4)∪(4，+∞) D．(-4，4) 答案：B 解析：因为函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，所以f在上单调递减，又f≤4的解集为(-∞，-2]∪，可得f>4的解集为， 所以当x≥2，或x≤-2时，y=f(x)的图象在y=4图象的下方，当-2<x<2时，y=f(x)的图象在y=4图象的上方，又因为当x≥2，或x≤-2时，y=2x2的图象在y=4图象的上方，当-2<x<2时，y=2x2的图象在y=4图象的下方，所以当x≥2，或x≤-2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的下方，当-2<x<2时，y=f(x)的图象在y=2x2图象的上方，则不等式f>2x2的解集为.故选B． 13.(16分)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式f(x)≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(6分) (2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a-1.(10分) 解：(1)∀x∈R，f(x)≥-2恒成立等价于∀x∈R，ax2+(1-a)x+a≥0， 当a=0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. (2)依题意，因为a<0，则f(x)<a-1⇔ax2+(1-a)x-1<0⇔>0， 当a=-1时，-=1，解得x≠1； 当-1<a<0时，->1，解得x<1或x>-； 当a<-1时，0<-<1，解得x<-或x>1. 所以，当a=-1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当-1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<-1时，原不等式的解集为. (每小题8分，共16分) 14.(知识融合)已知0<θ<，若cos2θ+2msin θ-2m-2<0恒成立，则实数m应满足的条件是　　　　.  答案：m≥- 解析：因为cos2θ+2msin θ-2m-2<0，所以1-sin2θ+2msin θ-2m-2=-sin2θ+2msin θ-2m-1<0.设x=sin θ(0<x<1)，f(x)=-x2+2mx-2m-1.由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立.当对称轴x=m≤0时，f(x)在x∈(0，1)上单调递减，则f(x)<f(0)=-2m-1≤0，即-≤m≤0；当对称轴0<x=m<1时，f(x)≤f(m)=-m2+2m2-2m-1=m2-2m-1<0，解得1-<m<1+，即0<m<1；当对称轴x=m≥1时，f(x)在x∈(0，1)上单调递增，则f(x)<f(1)=-1+2m-2m-1=-2<0，即m≥1.综上所述实数m应满足的条件是m≥-. 15.(新定义)(多选)设<x>表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式<x>2+<x>-12≤0的解可以为 (　　) A． B．3 C．-4.5 D．-5 答案：BC 解析：因为不等式<x>2+<x>-12≤0，所以(<x>-3)(<x>+4)≤0，即-4≤<x>≤3，又因为<x>表示不小于实数x的最小整数，<>=4，<3>=3，<-4.5>=-4，<-5>=-5，所以不等式<x>2+<x>-12≤0的解可以为3，-4.5.故选BC． 学生用书⬇第17页 学科网（北京）股份有限公司 $