第一章 第四节 基本不等式及其应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第四节　基本不等式及其应用 【课程标准】　1.探索并了解基本不等式的证明过程.　2.掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题. 1.基本不等式 (1)定理：对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立. (2)推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a=b时等号成立. 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数. 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式. 2.几个重要的不等式 (1)+≥2(a，b同号). (2)ab≤(a，b∈R). (3)≥(a，b∈R). 3.利用基本不等式求最值问题 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值是.(简记：和定积最大) [微提醒]　应用基本不等式求最值要注意： “一正，二定，三相等”，忽视任何一个条件，就可能会出错. 【自主检测】 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A．不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B．函数y=x+(x>0)的最小值是2 C．函数f(x)=sin x+的最小值为4 D．已知x，y均为实数，则“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件 答案：ACD 2.设a>0，则9a+的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 3.(用结论)已知0<x<3，则x(3-x)的最大值为　　　　.  答案： 解析：因为0<x<3，所以x(3-x)≤=.当且仅当x=3-x，即x=时， “=“成立. 4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　m2.  答案：25 解析：设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为×=m，其中0<x<10，所以y=x≤=25，当且仅当x=10-x，即x=5时，等号成立，所以ymax=25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 5.已知x>0，则2-3x-的最大值为　　　　.  答案：2-4 解析：因为x>0，所以3x+≥2=4.所以2-3x-≤2-4. 考点一　利用基本不等式求最值多维探究 角度1　配凑法 (1)已知x>，则f(x)=4x-2+的最小值为　　　　　　　.  (2)已知0<x<1，则x(3-2x)的最大值为　　　　　　　.  答案：(1)5　(2) 解析：(1)因为x>，所以4x-5>0，所以f(x)=4x-2+=4x-5++3≥2+3=5，当且仅当4x-5=，即x=时取等号. (2)x(3-2x)=·2x(3-2x)≤·=，当且仅当2x=3-2x，即x=时取等号. 角度2　常数代换法 (1)(2025·江苏扬州调研)设x>0，y>0，+2y=2，则x+的最小值为(　　) A． B．2 C．+ D．3 学生用书⬇第11页 (2)(2025·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案：(1)C　 (2)B 解析：(1)因为+2y=2，所以+y=1，因为x>0，y>0，所以x+==+xy++1=+xy+≥+2=+2×=+，当且仅当即时取等号.故选C． (2)由x>0，y>0，且+=1，可得xy=x+y，所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y，所以x+4y=(x+4y)=5++≥9，当且仅当=，即x=3，y=时取等号，所以4xy-3x≥9.故选B． 角度3　消元法 (1)已知正实数a，b满足+b=1，则的最大值为　　　　.  (2)已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是　　　　.  答案：(1)　(2)3 解析：(1) 因为正实数a，b满足+b=1，=1-b>0，0<b<1，=·2b=(1-b)·2b=2·b·(1-b)≤2=，当且仅当b=1-b，即b=，a=2时等号成立. (2) 因为x2+2xy-3=0，x>0，y>0，所以y=，x∈(0，)，所以2x+y=2x+==+≥2=3，当且仅当=，即x=1时取等号. 角度4　换元法 已知正数x，y满足+=1，则x+y的最小值为　　　　.  答案： 解析：令x+2y=m，2x+y=n，则+=1，m+n=(x+2y)+(2x+y)=3(x+y)，所以x+y==(m+n)=×≥=，当且仅当=，即m=2，n=2时等号成立，此时x=y=，故x+y的最小值为. 利用基本不等式求最值的方法 1.利用配凑法求最值，主要解决形如“cx+d+或ax(c-bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求+的最值”问题，先将+转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值. 注意：角度4中的换元法实质还是配凑法或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用. 对点练1.(1)(多选)(2024·湖南“一起考”大联考)已知a>0，b>0，a+b=ab，则(　　) A．a+b≤4 B．ab≥4 C．a+4b≤9 D．+≥ (2)已知a>1，b>0，且+=1，则2a+b的最小值为　　　　.  答案：(1)BD　(2)11 解析：(1)对于A、B，因为a+b=ab≤，所以a+b≥4，当且仅当a=b=2时等号成立，a+b =ab ≥ 2，则ab≥4，当且仅当a=b=2时等号成立，故A错误，B正确；对于C，若a+b=ab，则+=1，所以a+4b==5++≥5+2=9，当且仅当=，即b=，a=3时等号成立，故C错误；对于D，若a+b=ab，则+=1，所以+=+=-+1=+，由a>0，b>0及+=1，可知0<<1，则当=，即a=，b=3时，+取得最小值，故D正确.故选BD． (2) 因为a>1，b>0，a-1>0，所以2a+b=2(a-1)+b+2=[2(a-1)+b]+2= 7+ +≥7+ 2=11，当且仅当即a=4，b=3时等号成立. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围师生共研 (1)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为 (　　 ) A．[5，+∞) B．(5，+∞) C．(-∞，5] D．(-∞，5) (2)已知x>0，y>0，且+=1，若2x+y<m2-8m有解，则实数m的取值范围为 (　　 ) A．(-∞，-1)∪(9，+∞) B．(-∞，-1]∪[9，+∞) C．(-9，-1) D．[-9，1] 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)令f(x)=，x>0，由题意可得a≤f(x)min，f(x)=x++3≥2+3=5，当且仅当x=，即x=1时等号成立，a≤f(x)min=5，所以实数a的取值范围为(-∞，5].故选C． (2)因为x>0，y>0，且+=1，所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9，当且仅当=，且+=1，即x=y=3时取等号，此时2x+y取得最小值9，若2x+y<m2-8m有解，则9<m2-8m，解得m>9或m<-1，即实数m的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞).故选A． 分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题. 对点练2.(2025·广东佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，且不等式xy≥m2-6m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：[-2，8] 解析：因为正实数x，y满足4x+y-xy=0，所以xy=4x+y≥2=4，即≥4⇒xy≥16，当且仅当y=4x时等号成立，由xy≥m2-6m恒成立，可得16≥m2-6m，解得-2≤m≤8. 考点三　利用基本不等式解决实际问题师生共研 第19届亚运会于2023年9月在中国杭州举办，某公益团队联系亚运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设. 学生用书⬇第12页 据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. 则每套纪念品的最大利润为　　　　元.  答案：80 解析：因为每套纪念品售价为x元时，销售量为(15-0.1x)万套，则供货单价为元， 单套利润为x-50-=元，因为15-0.1x>0，所以0<x<150. 所以单套利润为y=x-50-=-+100≤100-2=80， 当且仅当150-x=10，即x=140时取等号， 所以每套纪念品售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元. 　　 利用基本不等式解决实际问题的策略 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 对点练3.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为　　　　cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小).  答案：12 解析：设直角梯形的高为x cm，因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，所以海报宽AD=x+4，海报长DC=+8， 故S矩形ABCD=AD·DC=(x+4)=8x++1 472≥2+1 472=192+1 472，当且仅当8x=，即x=12时，等号成立.所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 1.[真题再现]　(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A．x+y≤1 B．x+y≥-2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 答案：BC 解析：因为ab≤≤(a，b∈R)，由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，故A错误，B正确；由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，故C正确；因为x2+y2-xy=1变形可得+y2=1，设x-=cos θ，y=sin θ，所以x=cos θ+sin θ，y=sin θ，因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+=+sin∈，所以当x=，y=-时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，故D错误.故选BC． [教材呈现]　(湘教版必修一P62T9)若x>0，y>0，且xy=x+y+3，求x+y的取值范围. 点评：该高考题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到x+y与xy的转化及不等关系.从命题情境角度上，高考真题与教材题目“形似”，都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”，通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查. 2.[真题再现]　(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y=x2+2x+4 B．y=|sin x|+ C．y=2x+22-x D．y=ln x+ 答案：C 解析：对于A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1时，y取得最小值，且ymin=3，所以A不符合题意；对于B，因为y=|sin x|+≥2=4，所以y≥4，当且仅当|sin x|=，即|sin x|=2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y=2x+22-x≥2=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y=ln x+<0，所以D不符合题意.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P43T5)证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若a>0，则a+a3≥2a2；(2)若ab=4，则a2+b2≥8；(3)若-1≤x≤1，则≤；(4)若ab≠0，则≥2；(5)对任意实数a和b，a2+b2+≥3. 点评：该高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似. 课时测评4　基本不等式及其应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-10，每小题5分，共50分) 1.的最大值为(　　) A．9 B． C．3 D． 答案：B 解析：当-6≤a≤3时，3-a≥0，a+6≥0，由基本不等式得≤=，当且仅当3-a=a+6，即a=-时取等号.故选B． 2.设实数x满足x>0，则函数y=2+3x+的最小值为(　　) A．4-1 B．4+2 C．4+1 D．6 答案：A 解析：因为x>0，所以x+1>0，所以y=2+3x+=3+-1≥2-1=4-1，当且仅当3(x+1)=，即x=-1时等号成立，所以函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A． 3.(2024·辽宁葫芦岛模拟)若a>0，b>0，2ab+a+2b=3，则a+2b的最小值是(　　) A． B．1 C．2 D． 答案：C 解析：a>0，b>0，3=2ab+a+2b≤+(a+2b)，当且仅当a=2b时取等号，因此(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0，即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0，解得a+2b≥2，所以当a=2b=1时，a+2b取得最小值2.故选C． 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 答案：C 解析：由题意知，体积V=4 m3，高h=1 m，所以底面积S=4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y=20×4+10×≥80+20=160，当且仅当2x=，即x=2时取等号.所以该容器的最低总造价是160元.故选C． 5.(多选)(2025·福建部分地市第一次质检)已知正实数x，y满足x+y=1，则(　　) A．x2+y的最小值为 B．+的最小值为8 C．+的最大值为 D．log2x+log4y没有最大值 答案：AC 解析：因为x，y为正实数，且x+y=1，所以y=1-x，x∈(0，1).所以x2+y=x2-x+1=+，当x=时，x2+y的最小值为，故A正确；+==5++≥5+2=9，当且仅当x=，y=时等号成立，故B错误；=x+y+2=1+2≤1+x+y=2，当且仅当x=y=时等号成立，故+≤，即+的最大值为，故C正确；log2x+log4y=log2x+log2=log2， x2y=x2=x·x· ≤=，当且仅当x=2-2x，即x=时等号成立，所以x≤.所以log2x+log4y有最大值log2，故D错误.故选AC． 6.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a+b+≥2 B．> C．≥a+b D．(a+b)≥4 答案：ACD 解析：因为a>0，b>0，所以a+b+≥2+≥2，当且仅当a=b且2=，即a=b=时取等号，故A正确；因为a+b≥2>0，所以≤=，当且仅当a=b时取等号，故B错误；因为≤=，当且仅当a=b时取等号，所以==a+b-≥2-=，当且仅当a=b时取等号，所以≥，即≥a+b，故C正确；因为(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时取等号，故D正确.故选ACD． 7.函数y=(x>-1)的最小值为　　　　.  答案：0 解析：因为y==x-1+=x+1+-2(x>-1)，所以y≥2-2=0，当且仅当x=0时，等号成立.所以y=(x>-1)的最小值为0. 8.已知x>0，y>0，xy=x+4y+12，则xy的最小值为　　　　.  答案：36 解析：法一：由xy=x+4y+12，移项得(x-4)y=x+12，显然x≠4，所以y=，由y>0，得x>4， 所以xy=x·===x-4++20≥2+20=36， 当且仅当x=12，y=3时等号成立，所以xy的最小值为36. 法二：因为xy=x+4y+12≥2+12，所以-4-12≥0，解得≥6，即xy≥36，当且仅当x=4y，即x=12，y=3时，等号成立，所以xy的最小值为36. 9.(新设问)写出一个关于a与b的等式，使+是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　　　.  答案：a2+b2=1(答案不唯一) 解析：该等式可为a2+b2=1，证明如下：+==1+9++≥10+2=16，当且仅当b2=3a2时取等号，所以+是一个变量，且它的最小值为16. 10.(2025·江苏南京六校联考)函数y=loga(x+2)-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则+的最小值为　　　　.  答案：5 解析：对于函数y=loga(x+2)-3，令x+2=1，可得x=-1，y=-3，可知A(-1，-3)，若点A(-1，-3)在直线mx+ny+1=0上，则-m-3n+1=0，即m+3n=1，则+=+=++3，且mn>0，则>0，可得+=++3≥2+3=5，当且仅当=，即m=n=时等号成立，所以+的最小值为5. 11.(16分)已知正实数x，y满足等式+=2. (1)求xy的最小值；(6分) (2)若3x+y≥m2-m恒成立，求实数m的取值范围.(10分) 解：(1)2=+≥2， 即xy≥3，当且仅当x=1，y=3时等号成立， 所以xy的最小值为3. (2)3x+y==≥=6， 当且仅当x=1，y=3时等号成立. 即=6. 所以m2-m≤6，解得-2≤m≤3.所以实数m的取值范围是[-2，3]. (每小题6分，共18分) 12.(2025·山东菏泽一模)设实数x，y满足x+y=1，y>0，x≠0，则+的最小值为(　　) A．2-1 B．2+1 　 C．-1 D．+1 答案：A 解析：当x>0时，+=+=++1≥2+1=2+1，当且仅当=，即x=-1，y=2-时等号成立，此时有最小值2+1；当x<0时，+=+=+-1≥2-1=2-1，当且仅当=，即x=-1-，y=2+时等号成立，此时有最小值2-1.所以+的最小值为2-1.故选A． 13.设a>b>0，则a2++的最小值是　　　　.  答案：4 解析：因为a>b>0，所以a-b>0，所以a>0，a2++=a2+ab-ab++=a2-ab++ab+=a++ab+≥2+2=4，当且仅当即a=，b=时等号成立.所以a2++的最小值是4. 14.(2025·江西重点中学协作体联考)已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤+恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案： 解析：因为x+y=6，所以t=+=+ =x+1+-2+y+2+-4=3++，所以t=3++=3+=++≥+2=4，当且仅当y=4，x=2时等号成立，所以=4，a≤4，故实数a的取值范围是. (每小题8分，共16分) 15.(2025·浙江宁波“十校”联考)已知正实数a，b，c满足b+c=1，则+的最小值为　.  答案：16 解析：因为b+c=1，所以+=a·+=a·+=a·+=a·+，由于b，c为正实数，故由基本不等式得+≥2=6，当且仅当=，即b=，c=时，等号成立，所以a·+ ≥8a+=8(a+1)+-8≥2-8=16，当且仅当8(a+1)=，即a=时等号成立，综上，+的最小值为16. 16.(知识融合)(2024·山东潍坊模拟)若直线ax-by-3=0(a>0，b>0)过点(1，-1)，则+的最大值为　　　　.  答案：2 解析：直线ax-by-3=0过点(1，-1)，则a+b=3.又a>0，b>0，设t=+，则t>0，t2=a+1+b+2+2=6+2≤6+2=12，即t≤2，当且仅当a+1=b+2，即a=2，b=1时等号成立，所以+的最大值为2. 学生用书⬇第13页 学科网（北京）股份有限公司 $