第一章 第二节 常用逻辑用语（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第二节　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.命题 (1)命题：可以判断真假的陈述句.成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题. (2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立“也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p. (3)逆命题：将一个命题的条件和结论互换位置后得到的命题.这个命题与原命题是互为逆命题. 2.充分条件和必要条件 (1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，称p是q的充要条件. 换句话说：如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件. [微提醒]　区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “任意”“所有”“每一个” ∀ 存在量词 “存在某个”“至少有一个” ∃ 4.全称命题和特称命题 命题 名称 定义 命题结构 命题 简记 全称 命题 含有全称量 词的命题 对M中任意一个元素x，有p(x)成立 ∀x∈M， p(x) 特称 命题 含有存在量 词的命题 存在M中的某个元素x，使p(x)成立 ∃x∈M， p(x) 5.含量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈I，p(x) ∃x∈I， ¬p(x) ∃x∈I，p(x) ∀x∈I， ¬p(x) 学生用书⬇第5页 [微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 【常用结论】 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. (3)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C．已知集合A，B，A∪B=A∩B的充要条件是A=B D．命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题 答案：ABC 2.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：ABD 3.(用结论)命题“∀x∈R，x2+x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，+x0≤0　　 B．∃x0∈R，+x0<0 C．∀x∈R，x2+x≤0 D．∀x∈R，x2+x<0 答案：B 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确. 4.若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，1) 5.已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　　　　.  答案：(-∞，3) 考点一　充分条件、必要条件的判定自主练透 1.(2024·全国甲卷)设向量a=，b=，则(　　) A．x=-3是a⊥b的必要条件 B．x=-3是a∥b的必要条件 C．x=0是a⊥b的充分条件 D．x=-1+是a∥b的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，则a·b=0，所以x·(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x=0时，a=，b=，故a·b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C． 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn=na1+d，则=a1+d=n+a1-，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即-=D，=S1+(n-1)D，即Sn=nS1+n(n-1)D，当n≥2时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，即an=a1+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，于是an=a1+2(n-1)D，又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C． 3.(2024·湖北武汉模拟)已知p：ab≤1，q：a+b≤2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：当a=-1，b=4时，p不能推出q；当a=-2，b=-2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D． 4.(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：当sin2α+sin2β=1时，例如α=，β=0，但sin α+cos β≠0，即由sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0；当sin α+cos β=0时，sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1，即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知， “sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”成立的必要不充分条件.故选B． 充分条件、必要条件的两种判定方法 1.定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. 2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 学生用书⬇第6页 考点二　充分必要条件的探求与应用师生共研 (1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 (2)已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　　　　.  答案：(1)C　(2)[0，3] 解析：(1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C． (2)由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， 所以P={x|-2≤x≤10}. 因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， 又S≠⌀，所以解得0≤m≤3， 故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. [变式探究] 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为　　　　.  答案：[9，+∞) 解析：由例题知P={x|-2≤x≤10}. 因为¬P是¬S的必要不充分条件， 所以P是S的充分不必要条件， 所以P⇒S且S⇏ P.所以[-2，10]⫋[1-m，1+m]. 所以或所以m≥9， 则m的取值范围是[9，+∞). 2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由. 解：由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S， 所以所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A．-2<x<1 B．-1<x<1 C．0<x<2 D．-1<x<0 答案：A 解析：不等式x2<1等价于-1<x<1，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(-1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A． 考点三　全称量词命题与存在量词命题多维探究 角度1　含有量词的命题的否定 (2024·福建漳州模拟)已知命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x-，则命题p的否定为(　　) A．∀x≥0，ln<x- B．∃x≥0，ln<x- C．∀x<0，ln<x- D．∃x<0，ln<x- 答案：B 解析：根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln≥x-，则命题p的否定为：∃x≥0，ln<x-.故选B． [变式探究] (变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案? 解：p：∃x≥0，ln(1+x)≥x-的否定为¬p：∀x≥0，ln(1+x)<x-.故选A． 角度2　含量词命题的真假判断 (多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，3x-1>0 B．∀x∈N+，(x-1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0=2 答案：ACD 解析：当x∈N+时，x-1∈N，可得(x-1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD． 角度3　含量词命题的应用 (1)已知命题p：∀x∈R，x2-a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2-a=0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为　　　　.  (2)已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　.  答案：(1)(-∞，-2]　(2)(-∞，0) 解析：(1)由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≤-2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(-∞，-2]. (2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(1)=2，g(x)max=g(4)=2+m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2+m，解得m<0，故实数m的取值范围是(-∞，0). 学生用书⬇第7页 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 3.含有双量词命题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 对点练2.(1)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，-x2-1<0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得= (2)已知命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0，命题q：∀x>0，x+>a.若p假q真，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，+∞) B．(-∞，2] C．(1，2) D．(-1，2] 答案：(1)ABC　(2)C 解析：(1)∀x∈R，-x2≤0，所以-x2-1<0，故A是真命题；当m=0时，nm=m恒成立，故B是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C是真命题；因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，所以≤<，故D是假命题.故选ABC． (2)命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0为假命题，则∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题，满足Δ=22-4a<0，解得a>1.命题q：∀x>0，x+>a为真命题，由x+≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，可知a<2.综上，实数a的取值范围为(1，2).故选C． 1.[真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：对于p而言，取x=-1，则有=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修一P22T10)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)p：任意有理数都可以写成两个整数之商； (2)q：∃x∈R，x2+2x+3≤0. 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. 2.[真题再现]　(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C． [教材呈现]　(湘教版必修一P17例3)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　；  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　；  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　；  (4)若x∈R，则x2=2是x=2的　　　　.  点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材例题角度完全一致，且难度小于教材例题. 课时测评2　常用逻辑用语 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1.命题“∃x>0，x2-2|x|<0”的否定是(　　) A．∃x>0，x2-2|x|≥0 B．∃x≤0，x2-2|x|≥0 C．∀x>0，x2-2|x|≥0 D．∀x≤0，x2-2|x|≥0 答案：C 解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x>0，x2-2|x|<0”的否定为“∀x>0，x2-2|x|≥0”.故选C． 2.(2025·山东德州模拟)在△ABC中，“A>”是“sin A>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：在△ABC中，A∈(0，π)，由A>，得sin A>0，由sin A>，得<A<π，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分条件.故选B． 3.已知命题：”∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 答案：B 解析： “∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16-4a≥0，解得a≤4.故选B． 4.(2025·河北石家庄模拟) “a≥”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：圆C1：x2+y2=4的圆心为C1(0，0)，半径为r1=2，圆C2：(x-a)2+(y+a)2=1的圆心为C2(a，-a)，半径为r2=1.若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1-r2|，即≥1，解得a≤-或a≥，所以“a≥”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的充分而不必要条件.故选A． 5.(2023·安徽皖南八校三模)给出下列四个命题，其中正确命题为(　　) A． “∀x>0，x2+x>1”的否定是“∃x0>0，+x0<1” B． “α>β”是“sin α>sin β”的必要不充分条件 C．∃α，β∈R，使得sin(α+β)=sin α+sin β D．“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件 答案：C 解析：对于A，“∀x>0，x2+x>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为∃x0>0，+x0≤1，故A错误；对于B， “若sin α>sin β，则α>β”是假命题，如sin>sin，而<，故B错误；对于C，取α=β=0，则sin(α+β)=sin 0=sin 0+sin 0=sin α+sin β，故C正确；对于D，因为函数y=2x是R上的增函数，则“a>b”是“2a>2b”的充要条件，故D错误.故选C． 6.(2024·山东日照模拟)已知a>0，b>0，则“<”是“ln a>ln b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为y=在定义域上单调递减，所以由<得a>b>0，而y=ln x在定义域上单调递增，故<⇒ln a>ln b，满足充分性；由ln a>ln b得a>b>0，所以<，满足必要性.故选C． 7.(多选)(2024·湖南常德模拟)下列命题中为真命题的是(　　) A．“a-b=0”的充要条件是“=1” B．“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件 C．命题“∃x∈R，x2-2x<0”的否定是“∀x∉R，x2-2x≥0” D．“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件 答案：BD 解析：对于A，由=1⇒a-b=0，但a=b=0⇏=1，所以“=1”是“a-b=0”的充分不必要条件.故A错误；对于B，取a=2，b=-1，满足a>b，但>，所以a>b⇏<；同理取a=-1，b=2，满足<，但a<b，所以<⇏a>b，所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件.故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2-2x<0”的否定是“∀x∈R，x2-2x≥0”.故C错误；对于D，因为a>2，b>2⇒ab>4，但ab>4⇏a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件.故D正确.故选BD． 8.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2+2x+3=0 C． “α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0” 答案：CD 解析：2是一个素数，但2是偶数，故A是假命题；对于方程x2+2x+3=0，其中Δ=22-4×3=-8<0，所以不存在实数，使得x2+2x+3=0成立，故B是假命题；由α=β ⇒sin α=sin β，但由sin α=sin β不能得到α=β，故“α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件，故C是真命题；命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0”，故D是真命题.故选CD． 9.(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0，下列说法正确的是(　　) A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是m>1 C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 答案：BCD 解析：对于A，方程为x2+3=0，方程没有实数根，故A错误；对于B，如果方程没有实数根，则Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9<0，所以1<m<9，m>1是1<m<9的必要条件，故B正确；对于C，因为方程有两个正根，所以所以0<m≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，故C正确；对于D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以m<0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0，故D正确.故选BCD． 10.若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为　　　　.  答案：- 解析：因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min，因为y=sin x在上单调递增，所以x=-时，y=sin x最小，其最小值为y=sin =-sin =-，所以m≤-，所以实数m的最大值为-. 11.已知p：|x-1|>2，q：x2-2x+1-a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：(0，2] 解析：由题可得p：x>3或x<-1，q：x2-2x+1-a2≥0⇔·≥0，因为a>0，所以1-a<1+a，解得x≥1+a或x≤1-a.因为q是p的必要不充分条件，所以解得0<a≤2，所以实数a的取值范围是(0，2]. 12.(开放题)写出一个使命题“∃x∈(2，3)，mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件　　　　(用m的值或范围作答).  答案：m=1(答案不唯一) 解析：当x∈(2，3)时，易知x2-x=-∈.又∃x∈，mx2-mx-3>0⇔∃x∈，m>⇔m>，x∈⇔m>.显然m=1⇒m>，m>⇏m=1，故“m=1”是命题“∃x∈(2，3)，mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件. (每小题8分，共16分) 13.(数学文化)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”.根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不是充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件. 14.(多选)(2025·山西吕梁模拟)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x>1，x2<1”的否定是“∃x≤1，x2≥1” B． “a>10”是“<”的充分不必要条件 C．若函数f的定义域为，则函数f的定义域为 D．记A，B为函数f=图象上的任意两点，则f> 答案：BCD 解析：对于A， “∀x>1，x2<1”的否定为“∃x>1，x2≥1”，故A错误；对于B，由<，得>0，故a>10或a<0，因此“a>10”是“<”的充分不必要条件，故B正确；对于C，f中，0≤x≤2，f中，0≤2x≤2，即0≤x≤1，故C正确；对于D，f==，因为-=-=≥0，因为x1≠x2，所以>>0，所以>，所以f>，故D正确.故选BCD． (每小题12分，共24分) 15.(多选)设定义在[1，6]上的函数f(x)=x+，则(　　) A．对任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长 B．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长 C．对任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长 D．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长 答案：AD 解析：函数f(x)=x+在[1，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，f(x)min=f(2)=4，f(x)max=f(6)=.对任意a，b，c∈[1，6]，不妨令f(a)≥f(b)≥f(c)，则f(b)+f(c)≥2f≥2f(x)min>f(x)max≥f，即f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；取a=b=2，c=2+2，满足a，b，c∈[1，6]，则f=f=4，f=4，显然有[f(a)]2+[f(b)]2=[f(c)]2，即存在以f(a)，f(b)，f(c)为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确.故选AD． 16.(新角度)(多选)(2025·河南开封模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为f=表示不超过x的最大整数，例如=-4，=2.下列命题中正确的有(　　) A．∃x∈R，f=x-1 B．∀x∈R，n∈Z，f=f+n C．∀x，y>0，f+f=f D．∃n∈N+，f+f+f+…+f=92 答案：BD 解析：对于A，当x∈Z时，f(x)=x，当x∉Z时，f(x)∈Z，而x-1∉Z，因此f(x)≠x-1，故A错误；对于B，∀x∈R，n∈Z，令f(x)=m，则m≤x<m+1，m+n≤x+n<m+n+1，因此f(x+n)=m+n=f(x)+n，故B正确；对于C，取x=，y=2，0<lg 2<1，则f=-1，f(lg 2)=0，f=f(0)=0，显然f+f(lg 2)≠f，故C错误；对于D，n∈N+，当1≤n≤9时，f(lg n)=0，当10≤n≤99时，f(lg n)=1，而f(lg 100)=2，因此f(lg 1)+f(lg 2)+f(lg 3)+…+f(lg 99)+f(lg 100)=92，此时n=100，故D正确.故选BD． 学生用书⬇第8页 学科网（北京）股份有限公司 $