10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦二项分布、超几何分布与正态分布核心考点，严格对接课标要求与高考评价体系。通过梳理知识体系、分析近5年高考真题考点权重，归纳出n重伯努利试验、3σ原则应用等常考题型，构建起“知识梳理-题型探究-真题演练”的备考链条，实用性强。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”的复习策略，如以2024新课标I卷正态分布真题为例，运用数学思维中的逻辑推理，剖析对称性求概率的解题技巧。特设易错点对比（如二项分布与超几何分布的区别），培养学生运算能力，助力学生高效突破考点，也为教师提供系统复习指导。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 10 [课标要求] 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．　 2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．　 3.了解服从正态分布的随机变量．借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．　 4.了解正态分布的均值、方差及其含义． 10．7　二项分布、超几何分布与正态分布 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十六) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 p p(1-p) np np(1-p) μ σ2 x轴上方 x＝μ x＝μ 上升 下降 x轴 高瘦 集中 矮胖 分散 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八十六) 二项分布、超几何分布与正态分布 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 感谢观看 【必备知识】 1．两点分布 (1)定义：若随机变量X的分布列如下表所示： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布). (2)两点分布的均值和方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布则EX＝ ，DX= . 2．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 ①伯努利试验：若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验. ②n重伯努利试验：一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝ (k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p). 显然，两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况. (3)二项分布的均值和方差 若X～B(n，p)，则EX＝ ，DX＝ . 3．超几何分布 (1)定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ ，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. (2)均值与方差 设随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝ ，DX＝ . 4．正态分布 (1)概念：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示，对应的分布密度函数解析式为：，x∈（-∞，+∞），其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. (2)正态曲线的几何意义 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X在区间(a，b］的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b］对应的曲边梯形面积的值(如图所示). 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，σ2).其中EX＝ ，DX＝ . (3)正态曲线的特点 ①曲线位于 ，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，关于直线 对称. ③曲线最高点位于 处. ④当x<μ时，曲线 ；当x>μ时，曲线 ；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 平移． ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较 ；当σ较大时，峰值低，曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较 ． (4)正态分布的3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ，σ2))的随机变量X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，这在统计学中称为3σ原则． P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 【必记结论】 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值EX＝，方差DX＝. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　　 ) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　 ) (3)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情况．(　　 ) (4)正态曲线落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外的部分对应事件的概率很小，接近于0.(　　 ) × √ √ √ 2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值EX＝(　　 ) A．2 B．1 C． D． 解析：选A.由题意可知，X～B，EX＝4×＝2. 3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________． 解析：随机变量X服从正态分布N(3，1)， ∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)， ∴＝3，∴c＝. 4．已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，则p的值为________． 解析：由题意，得解得p＝. 答案： 5．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P(X≤1)＝________. 解析：P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 题型一　n重伯努利试验与二项分布 【例1】　(1)(2024·湖南长沙三模)如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1 s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动4 s，设随机变量X为移动4 s后质点的坐标． ①求移动4 s后质点的坐标为正数的概率； ②求随机变量X的分布列及数学期望． 解：①设4次移动后坐标为正为事件A，由题X＝－4，－2，0，2，4， 则P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝4)， 由题P(X＝2)＝3×，P(X＝4)＝4＝， 所以P(A)＝. ②X的可能取值为－4，－2，0，2，4, 由(1)知P(X＝4)＝，P(X＝2)＝， 又P(X＝0)＝2×2＝， P(X＝－2)＝3＝， P(X＝－4)＝4＝， ∴分布列为 X 4 2 0 -2 -4 P ∴EX＝4×＋(－2)×＋(－4)×. (2)(人教A版选择性必修三P81)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． ①质点回到原点； ②质点位于4的位置． 解：设质点向右移动的次数为X， 又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则X～. ①质点回到原点，则X＝3， P(X＝3)＝3·3＝， 所以质点回到原点的概率是. ②当质点位于4的位置时，则X＝5， P(X＝5)＝5·＝， 所以质点位于4的位置的概率是. 思维升华　二项分布问题的解题关键 (1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 【对点练习】　1. (2024·太原模拟)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为. (1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值； (2)求乙总得分为100分的概率． 解：(1)设甲3次点球射进的次数为Y，则Y～B， Y的可能取值为0，1，2，3，且X＝50Y， 则X的所有可能的取值为0，50，100，150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝，P(X＝50)＝P(Y＝1) ＝， P(X＝100)＝P(Y＝2)＝， P(X＝150)＝P(Y＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 P EX＝0×＝100， (或EX＝E(50Y)＝50EY＝50×3×)． (2)设“乙第i次射进点球”为事件Ai(i＝1，2，3)， 则乙总得分为100分的事件为B＝A2A3. 因为A2A3互斥， 所以P(B)＝ ＝， 故乙总得分为100分的概率为. 题型二　超几何分布 【例2】　(2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20 品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12 (1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率； (2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值． 解：(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家． 记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B， 则P(A)＝，P(AB)＝， 所以P(B|A)＝. (2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家， 故X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×. 【对点练习】　2.(2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求EX． 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝. (2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×. 题型三　正态分布及其应用 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ； (2)标准差为σ； (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. ·教考衔接· 链接高考·【例3】　(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：选BC.由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)，所以C正确，D错误． 教材溯源·(人教A版选择性必修三P86)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　 ) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 解析：选D.由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具． 根据X和Y的分布密度曲线图可知， P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)， P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)． 所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大， 应选择骑自行车． 【对点练习】　3.(1)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(　　 ) (参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A．根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分 B．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 解析：选BD.对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误； 对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确； 对于C，当σ＝15时，P(X>120)＝[1－P(60≤X≤120)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，故这次考试分数高于120的约有20 000×0.022 75＝455(人)，故C错误； 对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝，由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为＋，故D正确． (2)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则EY＝_________________. 解析：因为X～N(800，σ2)，均值μ＝800，且P(X<801)＝0.6，所以P(800≤X<801)＝P(X<801)－P(X<800)＝0.6－0.5＝0.1，由题可得Y～B(10，0.1)，所以EY＝10×0.1＝1. 答案：1 【基础巩固题】 1．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X＝0)＝，则DY等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为随机变量X～B(2，p)，所以P(X＝0)＝(1－p)2＝，解得p＝或p＝(舍去)，所以Y～B，所以DY＝4×. 2．(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且EX＝EY，若P(Y≥3)＝，则p＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝得μ＝3，所以EX＝EY＝3，又X～B(8，p)，所以EX＝8p＝3，所以p＝. 3．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值Eξ为(　　 ) A． B． C．1 D． 解析：选D.ξ的所有可能取值为0，1，2， 则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， 则Eξ＝0×. 4．(2024·湖南长沙三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0，则P(2<X≤2＋k)=(　　 ) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析：选A.根据正态曲线的对称性，由P(X<2－k)＝P(X>2＋k)， 得μ＝＝2， 因为P(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0， 所以P(2<X≤2＋k)＝0.5－0.3＝0.2. 5．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为(　　 ) A．24 B．25 C．26 D．27 解析：选A.设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n. X所有可能的取值为0，1，2，…，n，则X～B，EX＝； Y所有可能的取值为0，1，2，…，32－n， 则Y～B，EY＝， 所以获胜的业余棋手总人数的均值E(X＋Y)＝EX＋EY＝ ≥10，解得n≥24. 6．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　 ) A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 解析：选B.设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p)． 若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率p＝，EX＝30×＝6， 若盒子中的有奖券有2张， 则中奖的概率p＝，EX＝30×， 若盒子中的有奖券有3张， 则中奖的概率p＝，EX＝30×＝16， 若盒子中的有奖券有4张， 则中奖的概率p＝，EX＝30×＝20， 根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天． 7．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　 ) A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4 C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2 解析：选ACD.因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2，故D正确． 8．(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　 ) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析：选BD.对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误； 对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确． 9．(2024·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________． 解析：因为P(X>0)＝2P(X≤0)， 所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1， 所以P(X≤0)＝，P(X>0)＝， 则至少有3个季度的收益为正值的概率为＋. 答案： 10．某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表： 甲生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 B指标 2.01 1.97 1.96 2.03 1.97 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 乙生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 A指标 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 B指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其A指标大于1且B指标大于2的概率； (2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示B指标大于2的产品数，估计X的数学期望； (3)已知产品A、B指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：(1)记事件C为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A指标大于1且B指标大于2”， 由表知，甲生产线抽取的10件产品中，A指标大于1且B指标大于2的产品为4号、9号、10号，共3个， 因此P(C)可估计为. (2)记事件D1为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”， 记事件D2为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”， 由表知，甲生产线抽取的10件产品中，B指标大于2的产品为1号、4号、9号、10号，共4个，因此P(D1)可估计为； 乙生产线抽取的8件产品中，B指标大于2的产品为1号、2号、3号、5号、6号、7号、8号，共7个，因此P(D2)可估计为， 因此X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝PP＝＝， P(X＝1)＝P(D1)P＋PP(D2)＝＋， P(X＝2)＝P(D1)P(D2)＝， 所以X的期望为EX＝0×. (3)甲生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.01，0.07， 0.03，0.05，0.03，0.09，0.13，0.05，0.18，0.04，其平均值为0.068； 乙生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.03，0，0.1， 0.13，0.14，0，0.16，0.05，其平均值为0.076 25， 显然0.068<0.076 25，所以甲生产线产品更好的概率估计值最大． 【综合应用题】 11．(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　 ) A．a＋b＝1 B．当p＝时，a＝b C．当0<p<时，a随着n的增大而增大 D．当<p<1时，a随着n的增大而减小 解析：选ABC.对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确； 对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B， 则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，…，n)， 所以a＝＋＋＝， b＝＋＋＝， 所以a＝b，故B正确； 对于C，D，a＝p1(1－p)n-1＋p3(1－p)n-3＋…＝ ， 当0<p<时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确； 当<p<1时，(1－2p)n正负交替，故D不正确． 12．(多选)(2024·郑州调研)下列命题中正确的是(　　 ) A．已知随机变量X～B，则D(3X＋2)＝12 B．已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，则μ＝2 C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分为123分，方差为60；女生平均分为128分，方差为40，则抽取的100名学生二模数学成绩的方差为80 解析：选AB.对于A，随机变量X～B，则DX＝6×，则D(3X＋2)＝9DX＝12，故A正确． 对于B，随机变量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，则根据正态曲线的对称性可知μ＝＝2，故B正确． 对于C，将这组数据从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，9，因为8×30%＝2.4，所以第30百分位数是7，故C错误． 对于D，设50名男生的二模数学成绩为x1，x2，…，x50，50名女生的二模数学成绩为y1，y2，…，y50， 则 ＝50×(60＋1232)， ＝50×(40＋1282)， 又这100名学生的二模数学成绩平均分＝， 所以这100名学生二模数学成绩的方差s2＝×[50×(60＋1232)＋50×(40＋1282)]－＝56.25，故D错误． 13．(2024·银川模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则(0<x<a)的最小值为________． 解析：随机变量ξ～N(1，σ2)， 且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)， 可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4， 由0<x<4，可得0<4－x<4， 则[x＋(4－x)]· ＝＝4， 当且仅当，即x＝1时取等号． 所以(0<x<a)的最小值为4. 答案：4 14．对某地区过去20年的年降水量(单位：毫米)进行统计，得到以下数据： 887　 939　 643　 996　 715　 838 1 082 923 901 1 182 1 035 863 772 943 1 035 1 022 855 1 118 768 809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级． (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率； (2)根据经验，种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位：千元/亩)如下表所示．你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由． 年降水量作物种类 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 解：(1)将20年的年降水量按照降水量等级分类， 可知：降水量偏少的年份有4年，概率可估计为 ＝0.2； 降水量适中的年份有10年，概率可估计为 ＝0.5； 降水量偏多的年份有6年，概率可估计为 ＝0.3. 于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2，0.5，0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X，Y，Z， X的分布列为： X 8 12 P 0.5 0.5 故种植甲则每亩地获利的期望EX＝8×0.5＋12×0.5＝10千元， Y的分布列为： Y 12 10 7 P 0.2 0.5 0.3 故种植乙则每亩地获利的期望EY＝12×0.2＋10×0.5＋7×0.3＝9.5千元， Z的分布列为： Z 7 10 12 P 0.2 0.5 0.3 故种植丙则每亩地获利的期望EZ＝7×0.2＋10×0.5＋12×0.3＝10千元， 所以EY<EX＝EZ， 即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙， 又DX＝0.5×(8－10)2＋0.5×(12－10)2＝4， DZ＝0.2×(7－10)2＋0.5×(10－10)2＋0.3×(12－10)2＝3， DX>DZ，故种植丙时获利的稳定性更好， 因此，作物丙最适合在该地区推广种植． 15．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获得三等奖，得分在[80，90)内的学生获得二等奖，得分在[90，100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)若该市共有10 000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； (2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×10＋65×0.034×10＋75×0.016×10＋85×0.008×10＋95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)， 因为μ＋σ＝79，所以P(X>79)≈＝0.158 65， 故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.158 65×10 000≈1 587. (2)由μ＝64，得P(X>64)＝， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生， 该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量ξ～B， 所以P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以期望为Eξ＝0×(或Eξ＝3×)． $