8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 [课标要求] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十六) 目 录 目 录 高阶拓展(十一) 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 高阶拓展(十一) 阿波罗尼斯圆 感谢观看 > ＝ ＝ < > 【必备知识】 1．直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d，半径为r. 位置关系 相交 相切 相离 图形 量化 几何观点 d r d r d r 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 < 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)． 位置关系 圆心距d与半径的关系 公切线条数 相离 4 外切 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 1 内含 0 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ ． (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝＝. 2 【必记结论】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 3．两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 设C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，　② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线的方程可由①－②得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 4．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　 ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　 ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　 ) × × √ 2．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 解析：选A.圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1. 圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝. |O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交． 3．直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝，所以弦长l＝. 答案： 4．已知圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值是________． 解析：设⊙O1：x2＋y2＝1，⊙O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25， 故O1(0，0)，r1＝1，O2(－4，a)，r2＝5. (1)当两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2， 即＝6，解得a＝±2. (2)当两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|， 即＝4，解得a＝0. 综上所述，a的值为±2或0. 答案：±2或0 5．已知圆C的方程为x2＋(y－3)2＝4，则过点P(2，－1)的圆C的切线方程为____________． 解析：当过点P的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2， 圆心C(0，3)到直线x＝2的距离为2，此时直线x＝2与圆C相切． 当过点P的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0，则圆心C(0，3)到切线的距离为＝2， 解得k＝－， 所以切线方程为－x－y－2×－1＝0，即3x＋4y－2＝0. 综上所述，切线方程为x＝2或3x＋4y－2＝0. 答案：x＝2或3x＋4y－2＝0 题型一　直线与圆的位置关系 【例1】　(1)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　 ) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 解析：选C.方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1，2)． 因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交． 方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为≤2<3，所以直线与圆相交． (2)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a) 在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a， 即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离d＝≤1， 即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得，即a∈. 答案： 思维升华　判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：求出圆心到直线的距离，利用d与r的大小关系判断； (2)代数法：联立方程后利用解的情况判断． 【对点练习】　1.(1)若直线＝1与圆x2＋y2＝1相交，则(　　 ) A．<1 B．>1 C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1 解析：选B.由直线＝1，可化为bx＋ay－ab＝0， 因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，可得<1， 整理得a2＋b2>a2b2，所以>1. (2)已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0<k<”是“直线l与圆C相交”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，所以直线l与圆C相交⇔圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0<k<，所以“0<k<”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件． 题型二　圆的切线、弦长问题 角度1　切线问题 【例2】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　 ) A. 1 B． C． D． 解析：选B.因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5， 可得圆心C(2，0)，半径r＝， 过点P(0，－2)作圆C的切线，设切点为A，B， 因为|PC|＝＝， 可得sin ∠APC＝，cos ∠APC＝， 则sin ∠APB＝sin (2∠APC)＝2sin ∠APCcos ∠APC＝2×， cos ∠APB＝cos (2∠APC)＝cos2∠APC－sin2∠APC ＝2－2＝－＜0， 即∠APB为钝角， 所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝. (2)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________． 解析：已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0 的对称轴， 又圆心C(3，1)，半径r＝3， 所以直线l过圆心C(3，1)， 故3＋a－1＝0，即a＝－2，所以点A(－1，－2)， |AC|＝＝5， |AB|＝＝4. 答案：4 思维升华　解决直线与圆相切问题的策略 角度2　弦长问题 【例3】　(1)(多选)已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝r2，则(　　 ) A．存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直 B．直线l恒过定点(2，0) C．若r>4，则直线l与圆O相交 D．若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的取值范围为 解析：选AC.A：当k＝－2时，直线l：－2x－y－4＝0，即2x＋y＋4＝0，斜率为－2，与直线l0：x－2y＋2＝0垂直，故A正确； B：直线l：kx－y＋2k＝k(x＋2)－y＝0，恒过(－2，0)，故B不正确； C：圆心到直线的距离为d＝<4，则d<2，若r>4，则直线l与圆O相交，故C正确； D：r＝4，则直线l被圆O截得的弦长d1＝2，k2＋1≥1，0<≤4，则12<12＋≤16，所以弦长4<d1≤8，故D不正确． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值______． 解析：由条件知圆心C(1，0)， 点C到直线l：x－my＋1＝0的距离d＝， |AB|＝2. 由△ABC的面积为，得 ＋2＝0， 解得m＝±2或m＝±，不妨取m＝2. 答案：2(答案不唯一，可以是± ，±2中的任意一个) 思维升华　直线被圆截得的弦长的两种求法 (1)几何法：运用弦心距d，半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2； (2)代数法：解直线与圆的方程组成的方程组，计算弦长|AB|＝. 角度3　最值问题 【例4】　(1)已知点A，B在直线l：x－2y－2＝0上运动，且|AB|＝2，点C在圆(x＋1)2＋y2＝5上，则△ABC的面积的最大值为(　　 ) A．8 B．5 C．2 D．1 解析：选A.设圆心到直线的距离为d，C到直线的距离为d1， 又圆心坐标为(－1，0), 则d＝， 又半径为，则当d1最大时，d1＝d＋， 此时△ABC面积也最大，S△ABC＝＝8. (2)若直线l1：x＋my－2＝0与l2：mx－y＋2＝0(m∈R)相交于点P，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为________． 解析：直线l1：x＋my－2＝0过定点A(2，0)， 直线l2：mx－y＋2＝0过定点B(0，2)． 显然这两条直线互相垂直，因此P在以AB为直径的圆上， 设该圆的圆心为D，显然点D的坐标为(1，1)， 所以该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2， 由圆的切线性质可知：|PM|＝ ＝， 所以. 答案： 【对点练习】　2.(1)直线l过点(0，2)，被圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0截得的弦长为2，则直线l的方程是(　　 ) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝2 D．y＝x＋2或y＝2 解析：选D.因为直线l被圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心到直线距离为＝1，设直线l的方程为y＝kx＋2(斜率不存在时不满足题意)，则＝1.∴k＝0或k＝ ，即直线l的方程是y＝x＋2或y＝2. (2)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析：圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 如图，连接PC， 因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2×＝|AP|＝， 所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3，即四边形PACB面积的最小值为. 答案：2 题型三　圆与圆的位置关系 【例5】　(1)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　 ) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：选BD.由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误； 作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2，故B正确，C错误； 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确． (2)(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________． 解析：设圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径为r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心C(3，4)，半径r2＝4，则|OC|＝5＝r1＋r2，因此两圆外切． 由图象可知，共有三条直线符合条件，显然x＋1＝0符合题意； 又由方程(x－3)2＋(y－4)2＝16和x2＋y2＝1相减可得方程3x＋4y－5＝0，即为过两圆公共切点的切线方程； 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x－3y＝0，直线OC与直线x＋1＝0的交点为，设过该点的直线为y＋＝k(x＋1)，则＝1，解得k＝，从而该切线的方程为7x－24y－25＝0. 答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＝－1(填一条即可) 【对点练习】　3.(1)(2024·四川遂宁模拟)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m有且仅有3条公切线，则m＝(　　 ) A．14 B．28 C．9 D．－11 解析：选A.圆C1：(x－1)2＋y2＝1的圆心C1(1，0)，半径r1＝1， 圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝30－m的圆心C2(5，3)，半径r2＝， 因为圆C1与圆C2有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 则|C1C2|＝r1＋r2，即解得m＝14. (2)(2024·长沙联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 解析：圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0， 则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1， 则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆． 若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C有公共点， 则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2， 即≤2，解得0≤k≤， 即k的最大值为. 答案： 【基础巩固题】 1．(2023·河北唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　 ) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 解析：选C.圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝<r2＋r1，所以圆C1与C2的位置关系是相交． 2．(2024·四川绵阳模拟)已知直线l：x－y＋m＝0，圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0，则“l与C有公共点”是“－2－5<m<5－2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0， 即(x－3)2＋(y－1)2＝25，圆心为C(3，1)，半径r＝5， 若l与C有公共点，则≤5，解得－2－5， 所以由“l与C有公共点”推不出“－2－5<m<5－2”， 故充分性不成立； 由－2－5<m<5－2推得出l与C有公共点，故必要性成立； 所以“l与C有公共点”是“－2－5<m<5－2”的必要不充分条件． 3．(2024·重庆三模)已知从点P(1，－1)发出的光线经y轴反射，反射光线与圆C：x2＋y2－6x－6y＋＝0相切，其反射光线的斜率为(　　 ) A． B．2 C．或2 D．－或 解析：选C.点P(1，－1)关于y轴的对称点P′(－1，－1)， 由反射光线性质知，反射光线即为过点P′(－1，－1)作圆C： (x－3)2＋(y－3)2＝的切线， 设切线的斜率为k，则切线l：y＋1＝k(x＋1)， 由得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或2. 4．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 解析：选B.因为x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8， 所以圆心C(－1，－2)，圆的半径r＝2， 又因为圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝， 所以r－d＝， 所以过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有2个交点， 另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切， 只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有3个． 5．(2024·湖南常德模拟)已知圆C：(x－4)2＋(y＋3)2＝1和两点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则a的最小值为(　　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C.由∠APB＝90°，得点P在圆x2＋y2＝a2上， 又点P在圆C上，所以两圆有交点， 因为圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径为a， 圆C的圆心为(4，－3)，半径为1， 所以|a－1|≤OC≤a＋1，又OC＝＝5， 所以|a－1|≤5≤a＋1，解得4≤a≤6， 所以a的最小值为4. 6．(2024·浙江模拟预测)过点M(0，1)作圆O1：(x－2)2＋(y－2)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则原点O到直线AB的距离为(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选A.由图可知，O1A⊥MA，O1B⊥MB， 则M，A，O1，B四点共圆，圆的直径是MO1， 点M(0，1)，O1(2，2)， |MO1|＝， MO1的中点坐标为， 所以四边形MAO1B的外接圆的方程为(x－1)2＋2＝， 即x2＋y2－2x－3y＋2＝0，圆O1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0， 两式相减得直线AB的方程2x＋y－5＝0， 则原点到直线2x＋y－5＝0的距离d＝. 7．(多选)(2024·湖南长沙三模)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(　　 ) A．直线l恒过定点(－1，1) B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝8 解析：选AD.由直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)， 得m(x＋1)＋x＋2y－1＝0， 因为m∈R，则满足解得 所以直线恒过定点(－1，1)，故选项A正确． 因为当m＝0时，直线l为x＋2y－1＝0， 则圆心C(－2，0)到直线l的距离为d＝， 则此时直线l与圆相交所得劣弧的顶点到直线l的距离d1＝2－∈(0，1)， 所以圆上只有 2个点到直线的距离为 1，故选项B错误． 因为直线l过定点(－1，1)，又(－1＋2)2＋12<4， 所以定点在圆内，则直线l与圆C一定相交，故选项C错误． 由圆的方程x2＋y2－2x＋8y＋a＝0 可得，(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a， 所以圆心为(1，－4)，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则，解得a＝8，故选项D正确． 8．(多选)(2024·安徽合肥二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则(　　 ) A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B．若圆O与圆C相切，则a＝±2 C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2<a<2 D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 解析：选AD.根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)， 半径r＝1， 圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2. 对于A，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1， 即＝1，解得a＝0. 两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2. 综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B项不正确； 对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线， 则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)， 即∈(1，3)，可得1<<3，解得－2<a<2且a≠0， 故C项不正确； 对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦 上时，公共弦长等于2r＝2，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 9．(2024·湖北黄石模拟)已知过点P(3，3)作圆O：x2＋y2＝2的切线，则切线长为________． 解析：由圆O：x2＋y2＝2，可得圆心O(0，0)，半径r＝， 设切点为C，因为P(3，3)，可得|PO|＝3， 所以切线长为|PC|＝＝4. 答案：4 10．(人教A版选择性必修一P92)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． 解：解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0. 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得＝1， 解得k＝0或. 因此，所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)． 因为直线l与圆相切， 所以方程组只有一组解， 消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0　①. 因为方程①只有一个解，所以Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0， 解得k＝0或. 所以所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 【综合应用题】 11．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是(　　 ) A．－1 B．＋1 C．2－1 D．4＋2 解析：选D.如图，由题可知，圆心为O(0，0)， 半径R＝1， 若直线l：x＋y－4＝0上存在两点A，B， 使得∠APB≥恒成立， 则O：x2＋y2＝1始终在以AB为直径的圆内或圆上， 点O(0，0)到直线l的距离d＝， 所以AB长度的最小值为2(d＋1)＝4＋2. 12．(多选)已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．圆Ω恒过原点O B．圆Ω与圆x2＋y2＝4内切 C．直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为 D．直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相离 解析：选ABC.对于A，将O(0，0)代入圆Ω的方程， 得cos2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圆Ω恒过原点O，A正确； 对于B，圆Ω的圆心为A(cosθ，sin θ)，半径为1； 圆x2＋y2＝4的圆心为B(0，0)，半径为2，所以|AB|＝1＝2－1， 所以圆Ω与圆x2＋y2＝4内切，B正确； 对于C，点A(cos θ，sin θ)到直线x＋y＝的距离为 ＝＝－sin ， 所以直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长为2 ，C正确； 对于D，点A(cos θ，sin θ)到直线x cos α＋y sin α＝0的距离为 ＝|cos(θ－α)|≤1， 所以直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相交或相切，D错误． 13．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法错误的是(　　 ) A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线|PA|长的最小值为1 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 解析：选AC.对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2，0)，半径r＝1， 所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为， 因为－1<<＋1，故圆C上不是只有一个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质，可得切线长|PA|＝min＝min＝1，故B正确； 对于C，四边形ACBP的面积为2×＝|PA|，因为|PA|min＝1， 所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误； 对于D，设P(t，－t)，由题知A，B在以PC为直径的圆上， 又由C(2，0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0， 即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0， 因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0. 两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0， 即2x－3－t(x－y－2)＝0， 由解得 即直线AB恒过定点，故D正确． 14．(2024·河北邯郸一模)已知点A(0，0)，B(6，0)，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为________________(写出一条即可)． 解析：由题意可知直线l是圆x2＋y2＝1与圆(x－6)2＋y2＝9的公切线， 因为两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条． 当直线l是两圆的外公切线时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点(－3，0)，设直线l的方程为x＝my－3，则＝1，解得m＝±2， 此时直线l的方程为x＋2y＋3＝0或x－2y＋3＝0. 当直线l是两圆的内公切线时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点，设直线l的方程为x＝ny＋，则＝1，解得n＝±， 此时直线l的方程为2x＋y－3＝0或2x－y－3＝0. 答案：x＋2y＋3＝0或x－2y＋3＝0或2x＋y－3＝0或2x－y－3＝0(写出一条即可) 15．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4，1)． (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求l的方程． 解：(1)由题意可知，圆C的圆心为(2，0)，半径r＝2， ①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4， 此时直线与圆相切，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k， ∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 若直线l与圆相切，则d＝＝2，解得k＝－， ∴l：－x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0， 综上，当直线l与圆C相切时， 所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0. (2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k， ∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0， 设圆心到直线l的距离为d，则d＝， 由垂径定理可得，d2＋＝4， 即＋3＝4，整理得3k2－4k＝0， 解得k＝0或k＝， 则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0. 16．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0. (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程． 解：(1)证明：圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为 (x＋1)2＋(y＋1)2＝16， ∴C2(－1，－1)，r＝4， ∵圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为C1(0，0)，半径为R＝， ∴|C1C2|＝，∵4－<<4＋， ∴两圆相交． (2)由圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0， 将两圆方程相减，可得2x＋2y－4＝0， 即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0. (3)由解得或 则交点为A(3，－1)，B(－1，3)， ∵圆心在直线x＋y－6＝0上，设圆心为P(6－n，n)， 则|AP|＝ ，解得n＝3， 故圆心P(3，3)，半径r＝|AP|＝4， ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝16. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．(λ＝1时P点的轨迹是线段AB的中垂线) 2．阿波罗尼斯圆的证明 设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)． 又设P(x，y)，则由|PA|＝λ， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 当λ＝1时，|PA|＝|PB|，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． 【例1】　(2024·广西河池模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O(0，0)，A，动点P(x，y)满足，若点P的轨迹与圆C：x2＋y2＋6x＋2y＝r2－10(r>0)有且仅有三条公切线，则r＝(　　 ) A． B．1 C．2 D．3 解析：选D.由题意可得， 化简得x2＋y2－2x－4y＋1＝0， 即(x－1)2＋(y－2)2＝4， 即动点P(x，y)的轨迹为以(1，2)为圆心，2为半径的圆， 由C：x2＋y2＋6x＋2y＝r2－10(r>0)，可得(x＋3)2＋(y＋1)2＝r2， 故圆C以(－3，－1)为圆心，r为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有r＋2＝＝5，即r＝3. 【对点练习】　1.(1)已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，动点M满足|MA|＝2|MO|，设动点M的轨迹是曲线C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与曲线C恒有公共点，则b的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.设点M(x，y)，∵|MA|＝2|MO|，∴(x＋2)2＋y2＝4x2＋4y2， ∴动点M的轨迹为圆C：3x2＋3y2－4x－4＝0， 又直线l：y＝k(x－1)＋b恒过点(1，b)，且若对任意实数k， 直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点， ∴(1，b)在圆C的内部或圆上，∴3＋3b2－8≤0，即3b2≤5， 解得－，故b的取值范围为 . (2)(2024·甘肃张掖模拟)若圆C：x2＋y2－2y－1＝0上存在唯一点P，使得|PA|＝，其中A(a，0)，O为坐标原点，则正数a的值为(　　 ) A．3± B．2± C．3± D．2± 解析：选B.由题得圆C：x2＋y2－2y－1＝0的圆心坐标为C(0，1)， 半径为， 设P(xP，yP)，则|PA|＝＝， 因为|PA|＝， 化简得(xP＋a)2＋＝2a2，故点P在以(－a，0)为圆心， 半径为a的圆上， 又因为存在唯一的点P也在圆C上，所以两圆是外切或内切， 所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值， 即a 或＝， 解得a＝－2±或a＝2±，因为a是正数，所以a＝2±. 【例2】　(2024·黑龙江双鸭山模拟)已知A为直线2x＋y－4＝0上的动点，B为圆(x＋1)2＋y2＝1上的动点，点C(1，0)，则2|AB|＋|BC|的最小值为(　　 ) A．4 B．3 C．2 D． 解析：选C.设D(x0，0)，B(x1，y1)，不妨令|BC|＝2|BD|， 则， 整理得3(x1＋1)2＋＋4x1＋8x1x0＋4， 又3(x1＋1)2＋＝3，所以－4x1－8x1x0－1＝0， 则(2x0＋1)(2x0－4x1－1)＝0，解得x0＝－， 所以存在定点D＝2|BD|， 要使2|AB|＋|BC|最小，即2(|AB|＋|BD|)最小，则A，B，D三点共线， 且DA垂直于直线2x＋y－4＝0时取得最小值，如图所示， 所以2. 【对点练习】　2.(2024·湖北黄石三模)已知在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB＝4，点M在以C为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为(　　 ) A．3 B． C．1＋2 D．2－1 解析：选B.如图，建立平面直角坐标系， 则A(4，0)，B(0，4)，取D(1，0)， 设M(x，y)，则x2＋y2＝4， 所以＝ ＝|MD|， 又|MB|＋|MD|≤|BD|＝， 所以. $