课下巩固精练卷(66) 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(六十六)　直线与圆、圆与圆的位置关系 【基础巩固题】 1．(2023·河北唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　 ) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 解析：选C.圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝<r2＋r1，所以圆C1与C2的位置关系是相交． 2．(2024·四川绵阳模拟)已知直线l：x－y＋m＝0，圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0，则“l与C有公共点”是“－2－5<m<5－2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝25，圆心为C(3，1)，半径r＝5， 若l与C有公共点，则≤5，解得－2－5， 所以由“l与C有公共点”推不出“－2－5<m<5－2”，故充分性不成立； 由－2－5<m<5－2推得出l与C有公共点，故必要性成立； 所以“l与C有公共点”是“－2－5<m<5－2”的必要不充分条件． 3．(2024·重庆三模)已知从点P(1，－1)发出的光线经y轴反射，反射光线与圆C：x2＋y2－6x－6y＋＝0相切，其反射光线的斜率为(　　 ) A． B．2 C．或2 D．－或 解析：选C.点P(1，－1)关于y轴的对称点P′(－1，－1)，由反射光线性质知，反射光线即为过点P′(－1，－1)作圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝的切线， 设切线的斜率为k，则切线l：y＋1＝k(x＋1)， 由得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或2. 4．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 解析：选B.因为x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8， 所以圆心C(－1，－2)，圆的半径r＝2， 又因为圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝， 所以r－d＝， 所以过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有3个． 5．(2024·湖南常德模拟)已知圆C：(x－4)2＋(y＋3)2＝1和两点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则a的最小值为(　　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C.由∠APB＝90°，得点P在圆x2＋y2＝a2上，又点P在圆C上，所以两圆有交点， 因为圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为(4，－3)，半径为1， 所以|a－1|≤OC≤a＋1，又OC＝＝5，所以|a－1|≤5≤a＋1，解得4≤a≤6， 所以a的最小值为4. 6．(2024·浙江模拟预测)过点M(0，1)作圆O1：(x－2)2＋(y－2)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则原点O到直线AB的距离为(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选A. 由图可知，O1A⊥MA，O1B⊥MB， 则M，A，O1，B四点共圆，圆的直径是MO1，点M(0，1)，O1(2，2)， |MO1|＝，MO1的中点坐标为， 所以四边形MAO1B的外接圆的方程为(x－1)2＋2＝， 即x2＋y2－2x－3y＋2＝0，圆O1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0， 两式相减得直线AB的方程2x＋y－5＝0， 则原点到直线2x＋y－5＝0的距离d＝. 7．(多选)(2024·湖南长沙三模)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(　　 ) A．直线l恒过定点(－1，1) B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝8 解析：选AD.由直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)＋x＋2y－1＝0， 因为m∈R，则满足解得 所以直线恒过定点(－1，1)，故选项A正确． 因为当m＝0时，直线l为x＋2y－1＝0， 则圆心C(－2，0)到直线l的距离为d＝， 则此时直线l与圆相交所得劣弧的顶点到直线l的距离d1＝2－∈(0，1)， 所以圆上只有 2个点到直线的距离为 1，故选项B错误． 因为直线l过定点(－1，1)，又(－1＋2)2＋12<4， 所以定点在圆内，则直线l与圆C一定相交，故选项C错误． 由圆的方程x2＋y2－2x＋8y＋a＝0 可得，(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a， 所以圆心为(1，－4)，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则，解得a＝8，故选项D正确． 8．(多选)(2024·安徽合肥二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则(　　 ) A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B．若圆O与圆C相切，则a＝±2 C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2<a<2 D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 解析：选AD.根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1， 圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2. 对于A，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0. 两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2. 综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B项不正确； 对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)， 即∈(1，3)，可得1<<3，解得－2<a<2且a≠0，故C项不正确； 对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r＝2，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 9．(2024·湖北黄石模拟)已知过点P(3，3)作圆O：x2＋y2＝2的切线，则切线长为________． 解析：由圆O：x2＋y2＝2，可得圆心O(0，0)，半径r＝， 设切点为C，因为P(3，3)，可得|PO|＝3， 所以切线长为|PC|＝＝4. 答案：4 10．(人教A版选择性必修一P92)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． 解：解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0. 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得＝1，解得k＝0或. 因此，所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)． 因为直线l与圆相切， 所以方程组只有一组解， 消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0　①. 因为方程①只有一个解，所以Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，解得k＝0或. 所以所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 【综合应用题】 11．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是(　　 ) A．－1 B．＋1 C．2－1 D．4＋2 解析：选D. 如图，由题可知，圆心为O(0，0)，半径R＝1， 若直线l：x＋y－4＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立， 则O：x2＋y2＝1始终在以AB为直径的圆内或圆上，点O(0，0)到直线l的距离d＝， 所以AB长度的最小值为2(d＋1)＝4＋2. 12．(多选)已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．圆Ω恒过原点O B．圆Ω与圆x2＋y2＝4内切 C．直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为 D．直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相离 解析：选ABC.对于A，将O(0，0)代入圆Ω的方程，得cos2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圆Ω恒过原点O，A正确； 对于B，圆Ω的圆心为A(cosθ，sin θ)，半径为1；圆x2＋y2＝4的圆心为B(0，0)，半径为2，所以|AB|＝1＝2－1，所以圆Ω与圆x2＋y2＝4内切，B正确； 对于C，点A(cos θ，sin θ)到直线x＋y＝的距离为＝＝－sin ，所以直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长为2，C正确； 对于D，点A(cos θ，sin θ)到直线x cos α＋y sin α＝0的距离为＝|cos(θ－α)|≤1，所以直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相交或相切，D错误． 13．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法错误的是(　　 ) A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线|PA|长的最小值为1 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 解析：选AC. 对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2，0)，半径r＝1， 所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为， 因为－1<<＋1，故圆C上不是只有一个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质，可得切线长|PA|＝min＝min＝1，故B正确； 对于C，四边形ACBP的面积为2×＝|PA|，因为|PA|min＝1，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误； 对于D，设P(t，－t)，由题知A，B在以PC为直径的圆上， 又由C(2，0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0， 因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0. 两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0， 由解得 即直线AB恒过定点，故D正确． 14．(2024·河北邯郸一模)已知点A(0，0)，B(6，0)，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为________________(写出一条即可)． 解析： 由题意可知直线l是圆x2＋y2＝1与圆(x－6)2＋y2＝9的公切线， 因为两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条． 当直线l是两圆的外公切线时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点(－3，0)，设直线l的方程为x＝my－3，则＝1，解得m＝±2， 此时直线l的方程为x＋2y＋3＝0或x－2y＋3＝0. 当直线l是两圆的内公切线时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点，设直线l的方程为x＝ny＋，则＝1，解得n＝±， 此时直线l的方程为2x＋y－3＝0或2x－y－3＝0. 答案：x＋2y＋3＝0或x－2y＋3＝0或2x＋y－3＝0或2x－y－3＝0(写出一条即可) 15．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4，1)． (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求l的方程． 解：(1)由题意可知，圆C的圆心为(2，0)，半径r＝2， ①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k， ∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 若直线l与圆相切，则d＝＝2，解得k＝－， ∴l：－x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0， 综上，当直线l与圆C相切时，所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0. (2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k， ∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0， 设圆心到直线l的距离为d，则d＝， 由垂径定理可得，d2＋＝4， 即＋3＝4，整理得3k2－4k＝0， 解得k＝0或k＝， 则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0. 16．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0. (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程． 解：(1)证明：圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16， ∴C2(－1，－1)，r＝4， ∵圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为C1(0，0)，半径为R＝， ∴|C1C2|＝，∵4－<<4＋， ∴两圆相交． (2)由圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0， 将两圆方程相减，可得2x＋2y－4＝0， 即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0. (3)由 解得或 则交点为A(3，－1)，B(－1，3)， ∵圆心在直线x＋y－6＝0上，设圆心为P(6－n，n)， 则|AP|＝，解得n＝3， 故圆心P(3，3)，半径r＝|AP|＝4， ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $