4.9 多边形与三角形中的特殊线段问题（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与解三角形中的特殊线段问题，覆盖三角形高线、中线、角平分线及多边形相关核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过真题分析梳理高频考点权重，归纳四类常考题型及对应解题策略，备考针对性强。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如2024年山西高考角平分线问题结合正弦定理突破，高线问题用等面积法简化计算，培养学生数学思维与符号表达能力。助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习框架，提升备考效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第四章 三角函数与解三角形 01 [题型解读] 1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题．　 2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题． 4．9　多边形与三角形中的特殊线段问题 01 03 02 04 题型一 题型三 题型二 题型四 课下巩固精练卷(三十七) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 课下巩固精练卷(三十七) 多边形与三角形中的特殊线段问题 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 06 感谢观看 题型一　高线问题 高线问题的处理策略 如图，在△ABC中，AD⊥BC. (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD＝AB·sin B＝AC·sin C. (3)a＝c·cos B＋b·cos C. 【例1】　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， ∴2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， ∴sin A cos C＝3cos A sin C， ∴sin A＝3cos A，即tan A＝3， ∴0<A<，∴sin A＝. (2)由(1)知cos A＝， 则sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理，可得b＝， 设AB边上的高为h，则AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2＝6. 【对点练习】　1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B. (1)求角C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． 解：(1)由已知得A＋B＋C＝π， 所以b sin ＝b sin ＝b cos ， 所以b cos ＝c sin B， 由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)， 所以sin B>0，0<<，cos >0， 所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ， 所以sin ，所以，则C＝. (2)由S△ABC＝ab sin C，得ab＝4c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 即c2≥4c， 因为c>0，所以c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号， 此时△ABC面积的最小值为4. 题型二　中线问题 中线问题的处理策略 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及∠BAC，求中线AD长． (1)倍长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理即可； (2)向量法：，平方即可； (3)余弦定理：邻补角余弦值互为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 补充：若将条件“AD为BC的中线”换为“＝λ”，则可以考虑方法②或方法③. 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sinC＝sin 2B. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长． 解：(1)∵sin C＝sin 2B，∴sin C＝2sin B cos B，由正弦定理得c＝2b cos B， 由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab， 又由c＝2b cosB，得c2＝4b2cos2B，则b2＝－a2－ab， 则a2＋b2－c2＝－ab，∴由余弦定理得cosC＝， 又∵C∈(0，π)，∴C＝，由sin C＝sin 2B，得sin ＝sin 2B， 又B∈，∴2B∈，∴2B＝. (2)由(1)得B＝，∴a＝b， 又S△ABC＝ab sin C＝2，即，故a＝2， ∴c＝＝， 设AC的中点为D，则AD＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD＝ ＝， ∴AC边上的中线长为. 【对点练习】　2.在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C. (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长． 解：(1)由已知b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C及正弦定理得 b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2－a2＝－bc， 所以由余弦定理得cos A＝， 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由S△ABC＝bc sin A＝，得bc＝8　①， 由(1)知b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2＝a2－8　②， 在△ABD中，由余弦定理得c2＝2＋2－·cos ∠ADB， 在△ADC中，由余弦定理得b2＝2＋2－·cos ∠ADC， 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，所以b2＋c2＝＋24　③， 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6. 题型三　角平分线问题 角平分线问题的处理策略 △ABC中，AD平分∠BAC. (1)角平分线定理：. (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理． 【例3】　已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， A＝60°，c＝b＋1，sin B＝. (1)求c的值； (2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 解：(1)由A＝60°，可得sin A＝，cos A＝， 由c＝b＋1>b，可得B为锐角， 则cos B＝， 所以sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B ＝， 由可得，解得c＝3. (2)由(1)可得b＝c－1＝2， 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°， 设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD， 可得，化简得 解得x＝，则AD＝. 【对点练习】　3.(2024·山西晋城质检)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b cos A＝2c cos B. (1)求角B； (2)若A＝，角B的平分线交AC于点D，BD＝，求CD的长． 解：(1)因为a cos B＋b cos A＝2c cos B， 所以由正弦定理可得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos B， 所以sin (A＋B)＝2sin C cos B， 即sin C＝2sin C cos B， 因为0<C<π，所以sin C>0，故cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝. (2)由(1)及题意可知∠ABD＝∠CBD＝， 又A＝，所以∠ADB＝，∠CDB＝，∠BCD＝， 所以BC＝BD＝， 在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos ∠CBD， 即CD2＝2＋2－2×＝2， 解得CD＝－1. 题型四　与多边形有关的问题 【例4】　(2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4. (1)若△ABC的面积为3，求AC； (2)若AD＝3，∠ACB＝∠ACD＋，求tan ∠ACD. 解：(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝， ∴S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝3， 解得AB＝3， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝13， ∴AC＝. (2)设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD＋， 在Rt△ACD中，AD＝3，易知AC＝， 在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝－α， 由正弦定理得，即， ∴2sin α＝3sin cos α－sin α， 可得tan α＝，即tan ∠ACD＝. 【对点练习】　4.(2023·株洲模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4. (1)求cos ∠DBC的值； (2)求AC的长度． 解：(1)在△ABD中，由勾股定理得BD＝， sin ∠ABD＝， cos ∠ABD＝， cos ∠DBC＝cos (60°－∠ABD)＝cos 60°cos ∠ABD＋sin 60°sin ∠ABD ＝. (2)因为∠DCB＝90°， 所以BC＝BD·cos ∠DBC＝3， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC ＝12＋27－2×2×3＝21， 所以AC的长度为. 1．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知b sin C＝c sin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a＝2，b＝，求线段BD的长． 解：(1)已知b sin C＝c sin ， 由正弦定理得sin B sin C＝sin C sin ， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin B＝sin ，即2sin cos ＝sin ， 因为∈，所以sin ≠0，则cos ， 所以，则B＝. (2)依题意，得a·BD·sin c·BD·sin ac sin ， 即a·BD＋c·BD＝ac， 即2BD＋c·BD＝2c，所以BD＝. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2＋ac， 即7＝4＋c2＋2c，解得c＝1或c＝－3(舍去)， 所以BD＝. 2．(2024·湖北八校联考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝. (1)若CD＝2，求sin ∠ADC； (2)若C＝45°，求四边形ABCD的面积． 解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，BD＝ ＝2， 且tan ∠ADB＝. 又∠ADB∈，所以∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得cos ∠BDC＝， 所以sin ∠BDC＝， 所以sin ∠ADC＝sin ＝sin ∠BDCcos ＋ . (2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos ， 整理得CD2－2CD－2＝0， 解得CD＝1＋或CD＝1－(舍去)， 所以四边形ABCD的面积为 S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝BC·CD·sin . 3．(2024·洛阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝－2a cos C. (1)求证：tan C＋3tan A＝0； (2)若△ABC的面积为2，判断△ABC是否为等腰三角形，并说明理由． 解：(1)证明：已知b＝－2a cos C， 由正弦定理得sin B＝－2sin A cos C， 由A＋B＋C＝π，有B＝π－(A＋C)， 可得sin (A＋C)＝－2sin A cos C， 所以sin A cos C＋cos A sin C＝－2sin A cos C， 即cos A sin C＝－3sin A cos C， 由cos C≠0，cos A≠0，得， 即tan C＝－3tan A，所以tan C＋3tan A＝0. (2)△ABC为等腰三角形，理由如下： 由题知b＝－2a cos C，b＝2，△ABC的面积为2， 则有S△ABC＝ab sin C＝·b sin C＝ ＝－tan C＝2， 所以tan C＝－，又0<C<π，所以C＝， 由(1)知tan A＝，又0<A<，所以A＝，则B＝， 所以△ABC是等腰三角形． 4．(2024·陕西咸阳检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，b sin B＋c sin C－2sin A＝－b sin C. (1)求角A的大小； (2)已知AD是△ABC的中线，求AD的最小值． 解：(1)因b sin B＋c sin C－2sin A＝－b sin C， 由正弦定理得b2＋c2－2a＝－bc， 由余弦定理得cos A＝， 又a＝2，代入化简得cos A＝，因0<A<π，则A＝. (2)因AD是△ABC的中线，故， 两边平方可得：， 即2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝(c2＋b2－bc)， 由(1)知b2＋c2＝4－bc，则2＝(4－2bc)＝1－bc， 又因b2＋c2＝4－bc≥2bc，即bc≤，当且仅当b＝c＝ 时等号成立， 此时2＝1－，即. 故当b＝c＝时，AD的最小值为. 5．(2024·山东淄博一模)如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的角平分线交BC于P点，AP＝2. (1)若BC＝8，求△ABC的面积； (2)若CP＝4，求BP的长． 解：(1)△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c， 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠CAB， 即64＝c2＋b2＋b·c　①， 因S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，即， 整理得b·c＝2b＋2c　②， ①②解得b·c＝2＋2， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝. (2)因为AP＝2，CP＝4，∠PAC＝， 所以在△APC中，由余弦定理可得CP2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos ∠CAP， 所以16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋， 由正弦定理得，即，解得sin C＝， 所以cos C＝， sinB＝sin (∠BAC＋C)＝sin ∠BAC cos C＋cos ∠BACsin C＝， 在△ABC中，由正弦定理得，则， 解得BC＝，所以PB＝BC－PC＝. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin C＋cos C＝a，b＝. (1)求角B； (2)若a＋c＝2，求边AC上的角平分线BD长； (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围． 解：(1)由sin C＋cos C＝a及正弦定理得sin C＋cos C＝sin A， 即sin B·sin C＋sin B·cos C＝sin A， 即sin B·sin C＋sin B·cos C＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B·sin C＝cos B sin C， 因为sin C≠0，所以tan B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由B＝及余弦定理得3＝c2＋a2－ac＝(c＋a)2－3ac， 又a＋c＝2，所以ac＝， 由S△ABC＝S△ABD＋S△BDC得 ac sin B＝c·BD·sin a·BD·sin ， 所以ac sin ＝BD·(c＋a)sin ， 所以，解得BD＝. (3)因为E是AC的中点，所以， 则2＝(c2＋a2＋2ca·cos B)＝(3＋ca＋ca)＝， 由正弦定理得ac＝sin A·sin C＝4sin A·sin C ＝4sin A·sin ＝4sin A·cos A＋) ＝2sin A cos A＋2sin2A＝sin2A＋1－cos 2A＝2sin ＋1， 因为△ABC为锐角三角形， 所以所以<A<， 所以<2A－<，所以<sin ≤1， 所以2<ac≤3， 所以(3＋2ca)∈， 所以BE∈，即边AC上的中线BE的取值范围为. $