2.12 函数的零点与方程的解（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，覆盖课标3大核心要求，对接高考评价体系，通过近5年真题统计明确零点区间判定、个数确定、参数范围3大常考题型（占比约60%），系统梳理必备知识与必记结论，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题母题+题型建模+素养落地”，如2024浙江温州三模零点个数题用数形结合法，培养直观想象素养，思维升华总结3类突破方法，课下精练卷分层训练，帮助学生掌握得分技巧，教师可精准定位学情，实现高效复习教学。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．12　函数的零点与方程的解 [课标要求] 1.理解函数的零点与方程的解的关系．　 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用．　 3.了解用二分法求方程的近似解． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十八) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(十八) 函数的零点与方程的解 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 感谢观看 【必备知识】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 坐标． (2)函数零点的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点． 横 零点 x轴 f(a)f(b)<0 一分为二 零点 (3)函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ，则在开区间 内,函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程 至少有一个解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 (a，b) f(x)＝0 【必记结论】 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 2．若f(x)＝g(x)－h(x)，则函数f(x)零点的个数就是函数g(x)，h(x)图象交点的个数． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　 ) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)＜0.(　　 ) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　 ) (4)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　　 ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　 ) × × × × × 2．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 函数y＝f(x)的零点所在区间有(　　 ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：选BCD.由对应值表可得：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0, 由零点存在定理可知：f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点. 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　 ) A．2 B．－2，0 C． D．0 解析：选D.当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝.综上，函数的零点为0. 4．函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　 ) A． B． C． D．(1，2) 解析：选C.易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，∵f＝ln ＝ln ，又＝81e<44＝256，∴f＝<0，∵f(1)＝ln 1＋1－>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为. 5．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是_____．(填写上所有符合条件的图号) 解析：用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求． 答案：①③ 题型一　函数零点所在区间的判定 【例1】　(1)方程＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　 ) A．(1，2) B．(2，e) C．(e，3) D．(3，4) 解析：选B.对于方程＋1＝0，有x>0，可得x＋ln x－e＝0， 令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0， 因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． (2)用二分法求方程＋1＝0在区间(2，3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.∵开区间(2，3)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【对点练习】　1.(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)已知2＜a＜3＜b＜4，函数y＝logax与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析：依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2＜a＜3＜b＜4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b＜0，f(3)＝loga3＋3－b＞0，∴x0∈(2，3)，即n＝2. 答案：2 题型二　确定函数零点的个数 【例2】　(1) 函数f(x)＝的零点个数为(　　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选B.法一(方程法)　由f(x)＝0， 得或解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 法二(图形法)　函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　 ) A．6 B．8 C．12 D．14 解析：选C.依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数， 且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)， 即函数f(x)是以2为周期的偶函数， 令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|， 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象， 如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点， 即函数g(x)共有12个零点． 思维升华　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数性质等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，根据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【对点练习】　2.(1)(2024·浙江温州三模)已知函数f(x)＝则关于x方程f(x)＝ax＋2的根不可能是(　　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C.作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与 函数y＝f(x)的图象交点的个数， 由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点； 当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点； 当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点； 所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点． (2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， ∴f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]， ∴x的取值为－. 故f(x)共有6个零点． 答案：6 题型三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 【例3】　(1)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，2) D．[0，＋∞) 解析：选C.当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减， 在(－1，0)上单调递增， 且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2； 当0<x<1时，f(x)＝ln (1－x)，f′(x)＝－<0， 其在(0，1)上单调递减，且f′(0)＝－1. 作出f(x)的图象，如图， 易知a的取值范围是[－1，2)． (2)(人教A版必修一P160)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k<0)的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围． 解：作出f(x)的图象如图， 方程f(x)＝k(k<0)的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f(x)图象的交点个数． ∵f(x)＝ 当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，函数在(－∞，－1)上单调 递减，[－1，0]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝－4，f(0)＝－3, 当x>0时，f(x)＝－2＋ln x，函数在(0，＋∞)上单调递增． ∴当实数解的个数为1时，k<－4； 当实数解的个数为2时，－3<k<0或k＝－4； 当实数解的个数为3时，－4<k≤－3. 角度2　根据零点的范围求参数范围 【例4】　(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C．(－∞，0) D． 解析：选B.由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－， 其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<g(－1)＝3-1＋1＝， 又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 【对点练习】　3.(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝ 若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(0，4) B．(0，3) C．(0，2) D．(0，1) 解析：选A.作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示， g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0，4)． (2)(2024·重庆诊断)已知函数f(x)＝且a∈N*.记g(x)＝f(x)＋t.若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为________． 解析：当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增， 当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增． 由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根， 即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点， 所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方， 即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意． 因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 答案：2 【基础巩固题】 1．(2024·天津红桥一模)函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　 ) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 解析：选C.函数f(x)＝ex＋2x－6是R上的连续增函数，∵f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，2) D．[2，＋∞) 解析：选A.因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增， 由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3. 3．若函数f(x)＝ln x－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B． C．(0，1) D． 解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝ln x－a在区间(1，e)上为增函数，故f(1)＝ln 1－1＋a＜0，f(e)＝ln e－a＞0，解得－2＜a＜2. 4．(人教A版必修一P160)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　 ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 解析：选B. 由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0， 由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x. 在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、y＝－x的图象， 由图象知a<0，b>0，∴a<c<b. 5．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道＝2.236 067…，令<<，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即<<，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为(　　 ) A．五 B．四 C．三 D．二 解析：选A.第一次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第二次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第三次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第四次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第五次用“调日法”后得<<，且<0.01，符合题意， 即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五． 6．(2024·安徽名校联考)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为(　　 ) A．100 B．102 C．200 D．202 解析：选A.令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝0， 因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0， 则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的函数． 因为f(x)在[0，2]上单调递增， 则f(x)在[－2，0]上单调递减， 所以f(x)在一个周期内有两个零点， 故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100. 7．(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　 ) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝－2 C．f(x)＝2x-1－1 D．f(x)＝1－ln (x＋2) 解析：选BCD.对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； 对于D，∵f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 8．(多选)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是(　　 ) A．log32 B．log32 C．3log23 D．9log23 解析：选AD.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1， ∴当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]， ∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1， 即当x∈[－1，0]时，f(x)＝－2－x＋1， 又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)， 则f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数， 又由函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点， 得函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)的图象在(－1，7)上有4个不同的交点， 又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1， 当a>1时，由图可得loga(5＋2)<1＝logaa，解得a>7； 当0<a<1时，由图可得loga(7＋2)>－1＝logaa-1，解得0<a<. 综上可得a∈∪(7，＋∞)， 故选项A，D满足条件． 9．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为________． 解析：由已知可得＝log3b，＝log2c， 作出y＝，y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示， 则y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象与y＝的图象的交 点的横坐标分别为a，b，c， 由图象可得b>c>a. 答案：b>c>a 10．(2007·广东高考)已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围． 解：①函数在区间[－1，1]上只有一个零点， 此时 或解得1≤a≤5. ②函数在区间[－1，1]上有两个零点， 此时解得a≥5. 综上所述，如果函数在区间[－1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为[1，＋∞)． 【综合应用题】 11．(2024·安庆模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，则实数k的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1]∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪[1，＋∞) 解析：选A.由题意得，方程＝|x－k|有三个不相等的实数根． 而y＝ 分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象， 当k＝1时，y＝|x－1|； 当x≥1时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝所以x＝1＝1， 所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1， 如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1，0)相切． 所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．如果关于x的方程2x＋3x＋4x＝ax(a∈N*)在区间(1，2)内有解，则a的一个取值可以为________． 解析：因为2x＋3x＋4x＝ax在(1，2)内有解，故a>4， 方程2x＋3x＋4x＝ax可化为－1＝0， 令f(x)＝－1， 因为a>4，所以f(x)在R上单调递减， 所以即解得<a<9， 又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8. 答案：6(答案不唯一) 13．已知函数f(x)＝(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______． 解析：作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示， 依题意f(x)＝有2个零点， 由图象可得实数λ的取值范围是(2，4]∪(5，＋∞)． 答案：(2，4]∪(5，＋∞) 14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． 证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴c＝－a－b. ∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b. ∵2c＞2b，∴－3a＞4b. 若a＞0，则－3＜＜－； 若a＝0，则0＞－b，0＞b，不成立； 若a＜0，则＜－3，＞－，不成立． 综上，a＞0且－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0， ∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c， f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 综上，f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 15．(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2，2)， 故定义域关于原点对称． 又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (2)由f(x)＝log2(a＋x)， 得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)， 所以＝a＋x，所以a＝＋(2－x)－3， 故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程 a＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上的图象有两个交点． 设t＝2－x，x∈(－2，2)，则y＝＋t－3，t∈(0，4)． 作出函数y＝＋t－3，t∈(0，4)的图象，如图所示． 当1<a<2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈(0，4)的图象有两个交点， 即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1，2)． $